泛函分析12

作者：由 Eric 發表于收藏時間：2020-04-13

第二節凸集與凸泛函，Hahn-Banach定理

1。凸集與凸體

閉線段

：邏輯上閉線段是定義出來的，是從一般向量空間中的線段表示式中歸納出來的。兩個係數

$\alpha,\beta$

的取值範圍

，這

默認了關於凸集和凸體，我們是在實線性空間討論的

，而第一節第1段曾說，在沒有

相反說明

的地方，所敘述的對於

複線性空間

也是成立的，這裡應當屬於“有相反說明”，但是該相反說明持續到哪裡，《教程》

未有

分明的界限，需警惕。

證明二維向量空間，線段的表示式所表示的點正好在以兩點為端點的線段上：

$\alpha \vec x+\beta \vec y=\alpha(\vec x-\vec y)+\vec y\\$

在平面上依靠向量的三角形法則，可以看出該定義的合理性。

凸集

：包含兩點，則必包含該兩點所成

閉線段

。

凸集的核

：該概念的引入一時難以找到

幾何上簡單的對應

，凸集的核乃是這樣一些點

的全體：對於任意的

$y\in L$

，可找到數

$\varepsilon=\varepsilon(y)>0$

，使得對於

$|t|<\varepsilon$

，有

$x+ty\in E\\$

凸體

：其

核

非空的凸集。

先定義凸集的核，後定義凸體

，這完全從解析的角度

逐步引入

概念，雖然具備了邏輯的完備性，但是一時讓人失去了

幾何的直觀

。

在三維空間中如此定義凸體：點不都在同一平面的凸集稱為凸體

，突出了“體”的直觀意義。但是如果按照這樣的直觀敘述定義凸體，顯然不如

純粹的解析形式

更加一般。

此時線上性空間中還未引入拓撲或者度量

，有些地方將凸體定義為：含有內點的凸集。然而

內點是拓撲中的概念

，如此定義在邏輯上另我無法接受。雖然這樣的定義形象的給出了凸集的核的直觀意義，凸集的核乃是這樣的一些點，從該點

沿全空間允許的任何方向

都可加上某個向量，結果還在該凸集內。對於某些抽象的線性空間，如何判斷其是否為凸集，是否為凸體，仍需要積累大量的數學技巧，但上述那些定義的構建過程已經令人望而生畏，如格羅滕迪克所言“彷彿來自虛空”。

（線性拓撲空間後回來再看此處），這裡實際上需要一點概念上的補充：

兩個拓撲空間的積拓撲

，也就是說二維空間中的一條線段不是

空間中的開集，因為在一個維度中對應開區間，在另一個維度中對應一個點（而一個點在此處是閉集），《教程》中並未引入這些概念，和這些概念有關的定理，從連結看甚至“拓撲基”的定義都不止一種，一本書必定會侷限於作者的思路，但這本書已經將很多

“核心”概念

闡明，上述“乘積空間”的概念很自然的會隨著對某一問題的解決自發去獲得。

不僅如此，凸體如何才能用“內點”概念定義，也即如何線上性空間中引入拓撲？對這個問題的思考，也是理解線性拓撲空間的金鑰匙

，線性空間上的拓撲並不是隨意的，有很強的限制，其要求對於加法和數乘是連續的。

定理1

：

任意多

個凸集的交仍是凸集。（容易記成凸集的交仍是凸集，這裡任意多個是不能忘記的，比可數個或者有限個更強的條件）

證明：簡潔卻深刻。

類比第55頁

極小拓撲

的引入，第84頁

線性包

的引入。這裡自然可以引入凸包的概念。

凸包

：線性空間中包含

任意集

的

最小凸集

。

佔有最廣位置

：不存在兩個以上的點在同一條直線上。很抱歉這樣的定義是不對的（很容易犯的錯誤），

實際上二維空間中佔有最廣位置的點最多三個

。其實不存在兩個以上的點在同一直線上我們也能自己定義這樣的點集為某個概念，但是四個點的情況，有時其中三個點構成的三角形包含另一個點，此時凸包的構造將和點的選取有關。

單純形

：佔有最廣位置點的凸包。

定理2

：單純形的解析表示：

$x=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k x_k,\alpha\geq 0,\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k=1$

證明：首先要證明表示中的點是凸集，而凸集按定義證明，我們假設兩個點可以表示為上述表示式：

$x_1=\sum\alpha_k x_k,x_2=\sum\beta_k x_k$

，可證明線段

$\alpha x_1+\beta x_2$

也可表示為上述表示式；其次要證明

任一

包含

這些點（指佔有最廣位置的點）

的凸集應該也包含形如表示式的點，也就是證明表示式乃所有包含最廣位置點的凸集的交，那它自然就是最小凸集了。《教材》直接作為結論使用，但我認為不是顯然的結論，可以用歸納方法進行證明：假設包含

，則一定有：

$x_1=\sum_{k=1}^1\alpha_k x_k=\alpha_1 x_1,\sum_{k=1}^1\alpha_k=\alpha_1=1$

，再證明包含

$x=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k x_k,\alpha\geq 0,\sum_{k=1}^{n}\alpha_k=1$

，且包含

$x_{n+1}$

，則一定包含

$x=\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k x_k,\alpha\geq 0,\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k=1$

，兩個約束條件的等價性是關鍵，實際上有：

$\sum_{k=1}^{n+1}\alpha_k=1\Rightarrow\alpha_{n+1}+(1-\alpha_{n+1})\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{1-\alpha_{n+1}}=1\Rightarrow\sum_{k=1}^{n}\frac{\alpha_k}{1-\alpha_{n+1}}=1$

2。（正）齊次凸泛函

在二維笛卡爾座標中，正比例函式是

線性泛函

的特殊情況。開口向上的拋物線，可以視為

凸泛函

的特例，

拋物線上任意兩點的連線不低於兩點間的拋物線

，這是凸泛函最直觀的幾何上的理解，這裡的凸指的是向下凸。嚴格的表述為：

$p(\alpha x+(1-\alpha)y)\leq\alpha p(x)+(1-\alpha)p(y),0\leq\alpha\leq1$

正齊次

：

為齊次的（也是正齊次的），

則為正齊次凸泛函，這是最簡單的例子（二維笛卡爾座標系中未想到其他的例子）。

線性泛函是正齊次凸泛函的子集（可以發現正齊次的條件其實就是線性條件中可加性條件中：等號變為不等號或稱為次可加性， #FormatImgID_22# 取值限定為非負）

，可再舉出一例齊次函式，比如向量函式

$p(\vec x)=\frac{x_1^2}{x_2}+\frac{x_2^2}{x_1}$

為

齊次泛函但不是線性的

，因為它不滿足可加性。齊次容易和

齊次多項式

混淆，這裡的齊次概念要求齊次多項式是

一次

的。

例1：透過對線性泛函取絕對值可構造出正齊次凸泛函。

線性泛函一定是正齊次凸的，正齊次凸泛函不一定是線性泛函

。

注：我們在說明泛函概念的時候曾斷言，泛函的取值可以是複數，然而這裡齊次凸泛函的取值不能是複數，因為它的定義涉及比大小，而複數是無法進行比大小的。這是對齊次凸泛函的一個容易讓人忽略的隱含限制條件

3。閔可夫斯基泛函

是線性空間中核包含點

的凸體，則

閔可夫斯基泛函透過凸體定義

：

$p_A(x)=\inf\left\{r:\frac{x}{r}\in A,r>0\right\}\\$

對於該定義式的理解可參考連結：

閔可夫斯基泛函的取值範圍為

$[0,\infty)$

，

就是一個閔可夫斯基泛函，例2中將看到它是與何凸體對應的泛函。一個自然的問題，

兩個不同的凸體可能對應某個相同的閔可夫斯基泛函嗎

？

例1：

全空間是凸體

，其所對應的閔可夫斯基泛函恆等於0。

例2：閔可夫斯基泛函是用下確界符號定義的函式，這可能給理解帶來的一定困難。該例子可以限定在

空間中討論，該空間中過原點的球（一維情況為線段）乃是核包含原點的凸體，其所對應的閔可夫斯基泛函為

$p_A(x)=\frac{|x|}{R}$

，此處

表示半徑，容易和閔可夫斯基定義式中的

混淆，

線性空間中 #FormatImgID_33# 的閔可夫斯基泛函為其縮短至凸體 #FormatImgID_34# 中所需的最小倍數

。這也回答了二維笛卡爾座標中的齊次凸泛函不只有形如

的函式。

定理3

：閔可夫斯基泛函是齊次凸的與

非負

的。（這裡需要齊次凸泛函不一定是非負的例子，其實

線性泛函

就是這樣的例子，比如正比例函式左半軸就是負的，因此這裡加上非負的要求，即是說閔可夫斯基泛函是齊次凸泛函中，非負的那一類。）凸體也可以反過來透過非負齊次凸泛函定義為：

$A=\{x:\frac{p(x)}{k}<1\}$

，

為某一正數。（這裡和書上的寫法不同，其實這裡

的引入不是很必要，反而影響理解凸體和閔可夫斯基泛函一一對應的關係，任一閔可夫斯基泛函除以正數

，仍是閔可夫斯基泛函，在段末注1中有該結論，因此可除到左邊消去）

證明

：閔可夫斯基泛函的齊次凸和非負性可從定義出發證明，再證明

是凸體。然而這樣的證明為什麼說非負齊次凸泛函和凸體是一一對應的。我的問題在於，閔氏泛函的定義中，兩個不同的凸體，會不會給出相同的閔氏泛函？而反過來凸體的定義中，兩個不同的閔氏泛函會不會給出相同的

取值範圍。我們知道

$f(x)\leq k,g(x)\leq k$

兩不等式可能有相同值域，但左邊函式可能大相徑庭。因此該證明邏輯上另我暫時無法接受的點在於，還應該證明式（6）對於不同的凸體，所以定義的閔可夫斯基泛函不同，對於式（7），對於不同的閔可夫斯基泛函，所對應的凸體不同，而這也僅僅說明式（6）是全體凸體到閔可夫斯基泛函的某個子集的一一對映，式（7）是全體閔可夫斯基泛函到凸體的某個子集的一一對映，再利用康托爾-伯恩斯坦定理（第一章第三節第五段）得到凸體和閔可夫斯基泛函是等勢的，一一對映是存在的，再證明（6）（7）是互為逆對映，則說明（6）（7）即是所求的一一對映，但是《教程》的證明只是說明了（6）式定義的泛函是非負齊次凸的，（7）式由非負齊次凸條件得出是凸體，僅從這樣的證明得出一一對應的結論，另我無法立刻接受。

4。哈恩-巴拿赫定理

關於復形式的說明：

在複線性空間中需要重新定義齊次凸泛函，因為齊次凸泛函的定義用到了小於號，這蘊含了齊次凸泛函的只能取實數值，而在複線性空間中，正齊次的定義

$p(\alpha)=\alpha p(x)$