反對稱矩陣的基本性質

向量的叉乘可以用反對稱矩陣表示成如下形式：

\bm{a}\times\bm{b} =\begin{bmatrix} \bm{i} & \bm{j} & \bm{k}\\ a_1 & a_2 & a_3\\b_1 &b_2&b_3 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\a_3b_1- a_1b_3 \\a_1b_2-a_2b_1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}\bm{b}=\left［\bm{a}\right］^{\wedge}\bm{b} ，\bm{a}\in \bm{R}^3，\bm{b} \in \bm{R}^3 \\

三階反對稱矩陣有如下性質：

反對稱矩陣的基本性質

\left［ \bm{a} \right］^{\wedge} = -{\left［ \bm{a} \right］^{\wedge}}^T \\

2。 叉乘的基本性質，叉乘順序互換，叉乘結果大小不變，方向相反

\left［ \bm{a} \right］^{\wedge}\bm{b} = -\left［ \bm{b} \right］^{\wedge}\bm{a} \\

3。 叉乘的基本性質，向量與自己叉乘等於零向量

\left［ \bm{a} \right］^{\wedge}\bm{a} = \bm{0} \\

4。 叉乘的基本性質，向量叉乘的結果同時垂直於叉乘的兩個向量

\bm{b}^T \left［ \bm{a} \right］^{\wedge}\bm{b} = 0 \\

5。 混合積公式，標量三重積，

\bm{a}\cdot（\bm{b}\times\bm{c}） = \bm{b}\cdot （\bm{c}\times \bm{a}）=\bm{c}\cdot（\bm{a}\times\bm{b}）

\bm{a}^T\left［ \bm{b}\right］^{\wedge} \bm{c} = \bm{b}^T\left［ \bm{c}\right］^{\wedge} \bm{a} = \bm{c}^T\left［ \bm{a}\right］^{\wedge} \bm{b} \\

6。 向量三重積，

\bm{a}\times （\bm{b}\times\bm{c}） = \bm{b}（\bm{a}\cdot\bm{c}） - \bm{c}（\bm{a}\cdot\bm{b}）

，寫成矩陣相乘形式有

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge} \left［ \bm{b}\right］^{\wedge} \bm{c} = \bm{b}\left（\bm{a}^T\bm{c} \right） - \left（\bm{a}^T\bm{b} \right）\bm{c} = \left（\bm{b}\bm{a}^T \right）\bm{c} - \left（\bm{a}^T\bm{b} \right）\bm{c} =\left（ \bm{b}\bm{a}^{T} - \bm{a}^T\bm{b}I_{3}\right）\bm{c} \\

由於對於任意的三維向量

\bm{c}

都成立，所以有

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge} \left［ \bm{b}\right］^{\wedge}=\bm{b}\bm{a}^{T} - \bm{a}^T\bm{b}I_{3} \\

7。 二次冪公式，性質6的一個特例

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge} \left［ \bm{a}\right］^{\wedge}=\bm{a}\bm{a}^{T} - \bm{a}^T\bm{a}I_{3}\Rightarrow {\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}}^2=\bm{a}\bm{a}^{T} - \|\bm{a}\|_2^2I_{3} \\

8。 三次冪公式和特徵值，在性質7上兩邊各左乘一個

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}

，可以得到

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}

的零化多項式。

{\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}}^3=- \|\bm{a}\|_2^2\left［ \bm{a}\right］^{\wedge} \\

\lambda^3+\| \bm{a}\|_2^2 \lambda =0 \\

因此可以得到

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}

的特徵值為

\lambda_1=0

，以及

\lambda_{2、3}=i\|\bm{a}\|_2

，反對稱矩陣的特徵值有一個是0，另外兩個是相等的虛數。特徵值0對應的特徵向量為

\bm{a}

，因為有

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}\bm{a}=0\bm{a}

9。 當

\bm{a}

不為零向量時

Rank（\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}）=2 \\

10。零空間

由性質3、性質8和性質9可知，

Rank（\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}）=2

，

\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}

必有一維零空間，且

\bm{a}

是其中一個解，於是

Null\left（ \left［ \bm{a}\right］^{\wedge}\right）=Span\left（\bm{a}\right） \\

11。 旋轉矩陣的伴隨性質，當

U

是一個旋轉矩陣，有

\left［ \bm{U}\bm{a}\right］^{\wedge}=\bm{U}\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}\bm{U}^T \\

12。 三階反對稱矩陣可以分解為

\bm{S}=\left［ \bm{a}\right］^{\wedge}=k\bm{U}\bm{Z}\bm{U}^T \\

，

\bm{S}

為反對稱矩陣，

k

為常數，

\bm{U}

為正交矩陣，

\bm{Z}=\begin{bmatrix} 0& 1& 0\\ -1& 0 & 0\\ 0 & 0& 0\end{bmatrix}

轉載或參考文章

反對稱矩陣的性質