醫學影象重建系列第零章：重建相關的文獻

作者：由 Geraltian 發表于收藏時間：2022-01-13

前言

醫學成像有許多種類，包括磁共振（Magnetic Resonance Imaging，MRI）、CT（Computed Tomography，計算機斷層成像）、PET（Positron Emission Tomography，正電子發射斷層成像）。。。這些成像方式各不相同，但有一個原則是一致的，它們都是透過一定方式在人體內產生特異訊號（比如在MRI裡是氫原子密度，CT是人體輻射衰減，PET是正電子發射。。。），這些訊號是不能直接被人眼識別的，這就需要一定的計算，將這些訊號轉換為人眼可以識別的影象。這個計算過程，就被稱為醫學影象重建（medical image reconstruction，MIR）。

這些醫學成像的基本重建方法上個世紀就都解決了，那為什麼醫學影象重建這個領域依然火熱呢？主要就是因為，還有很多有挑戰的重建場景值得繼續研究。比如，低於奈奎斯特取樣的快速核磁共振成像，低劑量CT成像，稀疏視角、小角度CT成像，多模態共成像等。在深度學習的風口上，重建這個領域也迎來了自己的新發展前景。

碩士階段陰差陽錯來做重建這個領域，開始覺得拿深度學習搞一搞完事了，沒想到，越學越發現，重建背後是一個廣闊的世界，重建其實只是資料科學中一個大問題下的一個具體問題。這裡面涉及到最佳化、壓縮感知、深度學習、反問題、泛函分析。。。等等知識。我覺得是非常有意思和有前景的一個領域。

雖然博士階段不會再研究重建了（還有更加有意思和有前景的領域等著我），但是從中學到的很多東西普適性很強，以後一定也會派上用場。回顧碩士階段，我感覺剛入門的時候，對重建領域真是兩眼一抹黑。這個領域不冷不熱，沒有分割那樣人滿為患，但做的人也不少。問題是，我感覺入門的資料特別少，中文資料更是鳳毛麟角，質量也不高。

慶幸的是，我的學習能力還是很強，不斷自己找資料、判斷和學習文獻，終於還是形成了自己的知識體系。我想不如分享一下我對重建的一些經驗。最主要的目的是為實驗室以後做這個領域的人一些參考。同時也是一種分享的慾望吧，畢竟如果以後博士不做這個領域了，碩士階段學習時花費的心血似乎有點浪費，分享一下可能還會對別人有一些啟發。

隨手寫，我也不在意能不能堅持寫完以及質量高不高，作為業餘時間一個小消遣吧。

第零篇先推一下學過的相關文獻，挺多的其實。以下的文獻都是我學習過的，沒自己看過的都不推，所以如果還有重要的文獻漏掉的也很正常，不過我感覺自己還是儘可能找尋了相關文獻。

推薦的入門text

Fessler教授的網站

重建領域的大牛（中的大牛），密歇根大學的Jeffrey A。 Fessler 教授，他個人網站上有一本醫學影象重建的教材，沒寫完，是draft，但是已經基本能看了。這本書是我學重建時感覺最切合的教材，因為本身作者就是這個領域的主要貢獻者，寫的非常深刻（就是很難），學了這本書基本對重建的基礎就打牢了（前提是你讀的下來）。

話說fessler的個人網站排版是真亂啊。裡面還有很多東西，沒事可以看著玩

還有

Michael T。 McCann； Michael Unser，Biomedical Image Reconstruction： From the Foundations to Deep Neural Networks， now， 2019。

Wang， Ge， Yi Zhang， Xiaojing Ye， and Xuanqin Mou。

Machine learning for tomographic imaging

。 IOP Publishing， 2019。

Bertero M， Boccacci P， Ruggiero V。 Inverse Imaging with Poisson Data［M］。 IOP Publishing， Bristol， 2018。

一些基礎知識

對於CT、MRI、PET。。。的物理基礎就不講了，選一本醫學成像教材看看就知道了。不過這類教材講物理原理更多，講重建方法略少。重建的話，我當年學的是曾更生的《醫學影象重建》，講得很好，容易理解。但是那本書裡CT只講了濾波反投影，迭代方法少，但其實理解迭代方法更重要。而且對MRI和PET的介紹太淺顯。要看的話，MRI肯定是梁志培那本；PET的話，Bailey， Dale L。， Michael N。 Maisey， David W。 Townsend， and Peter E。 Valk。

Positron emission tomography

。 Vol。 2。 London： Springer， 2005。是標準教材，其中有兩章是重建主題的。

不針對特定成像方式，抽象地一般來說，我們用

來表示上文提到的透過一定手段得到的人體特異訊號，這裡的

一般是一個連續函式（比如代表CT中的sinogram，MRI裡的k空間訊號）文獻裡一般稱

是“觀測值”（measurement）。

為什麼本身是一個函式呢？因為它其實是一種對映，從人體位置變數對映到訊號變數

而用

來表示重建的人體影象（它也是個函式）。那麼，可以用一個數學關係表示成像過程：

$y=\mathcal{A}x+e \tag{1}$

這裡的

$\mathcal{A}$

代表特定成像方式的數學表述。比如在CT裡，這個

$\mathcal{A}$

是Randon投影，在MRI裡是傅立葉變換。總之根據方式不同，這個

$\mathcal{A}$

可以是不同的描述。

就是噪聲了。注意兩點，這裡都是連續函式，因為實際的訊號和人體影象都是連續的。這裡的

並不一定就是加性噪聲，比如泊松噪聲的話，這裡就不是

而是泊松變數。

重建是一個訊號處理過程，現在重建都離不開計算機，那麼我們必然要把（1）式離散化。這個離散過程其實影響很大，有不少文章研究，但是我們做重建一般都是直接處理離散過的訊號，所以一般都跳過離散化整個過程。離散化後，（1）式變成：

$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{e} \tag{2}$

這裡，

$\mathbf{x}$

、

$\mathbf{y}$

都是向量（更一般的，可以是tensor），而

$\mathbf{A}$

是一個矩陣。很顯然，這個離散化的成像公式，其實就是一個方程組。

不嚴謹地說，醫學影象重建任務，就是已知

$\mathbf{y}$

和

$\mathbf{A}$

，求解

$\mathbf{x}$

。

實際上，在科學裡，還有很多類似的場景，都可以用（1）式來描述，比如地震探測、石油勘探等等。他們都有一個特徵，就是知道“觀測”訊號，我們要從這個觀測訊號去反推出目標的“狀態”。這類問題，叫做 inverse problem。

看上去好像挺簡單的，但是就這麼個東西，研究了五十年還是方興未艾！文獻一大堆。箇中原因需要看inverse problem的專門文獻，下文會列出來一些。這裡提一個比較直觀的理解。正向問題，比如我問你1+1=？，很容易結果是2；但是反過來，我知道2這個結果，我問你它是幾加幾得出來的，顯然這個問題就沒法解了。這就是（2）式難解的【其中一個】原因。另一個【其中一個】原因是噪聲的存在，學過數值分析的人知道，矩陣如果條件數很大，那麼方程微小的誤差會引起巨大的結果偏差。還有很多其他原因，不寫了。

另外，其實稍微展開一下思路就能發現，對於影象處理很多問題，（1）式和（2）式也是成立的。比如去噪，（2）裡的

$\mathbf{A}$

就是一個單位矩陣；再比如超解析度，（2）裡的

$\mathbf{A}$

是一個下采樣操作。所以其實重建這個領域很廣大，去噪、去雨、去霧、超分等等都可以算作重建。事實上，這些問題本身就被稱為 image reconstruction。

那麼，醫學影象重建裡和自然影象重建的不同在哪呢，我覺得如果要說不同，一個很重要的不同在於，醫學影象裡有很多物理知識幫助我們建模，所以我們對

$\mathbf{A}$

的具體形式是知道的，它來自成像裝置（比如CT機器、核磁機器的設定），而對於自然影象處理，很多情況下

$\mathbf{A}$

我們是不知道的，比如超分辨，並不知道下采樣具體的形式。這一點對於重建方法的選擇其實影響很大！

上面的描述其實並不嚴謹，包括成像過程的推導、離散化等，略去了很多重要的細節。還有，（2）式的形式是在成像方式是線性的條件下才成立的，當然對CT、MRI、PET等常見方式，（2）都是成立的，但總歸還有很多非線性的成像方式，就不是（2）式這麼簡單了。

更加完整、嚴謹的推導請看

【1】Michael T。 McCann； Michael Unser，Biomedical Image Reconstruction： From the Foundations to Deep Neural Networks， now， 2019。

的第一章。

Review & primer

基於深度學習的重建

我認為“深度學習醫學影象重建”這個主題最好的review：

【2】S。 Ravishankar， J。 C。 Ye and J。 A。 Fessler， “Image Reconstruction： From Sparsity to Data-Adaptive Methods and Machine Learning，” in

Proceedings of the IEEE

， vol。 108， no。 1， pp。 86-109， Jan。 2020， doi： 10。1109/JPROC。2019。2936204。

作者 Jong Chul Ye 和 Jeffrey A. Fessler 都是重建領域的的大牛，特別是fessler，google一下就知道了。這兩位的名字還會在本系列裡多次出現。

這篇文章最大亮點就是總結重建的整個發展過程。事實上我就是根據本文的劃分來構建我的知識體系的。

醫學影象重建經歷了四個大的階段，每個階段都有一種佔據主流的方法：

第一個階段是anaytical methods，就是濾波反投影（FBP）、傅立葉變換（在MRI中）這類從數學推匯出的直接法，其特點是簡單、快速，但是對噪聲等問題基本沒轍；

第二個階段是iterative reconstruction methods，基於迭代演算法進行重建。這個階段東西就太多了，之後的系列文會細講，簡單說就是這個階段，是把重建問題轉化為一個如下的最佳化問題：

$\hat{\boldsymbol{x}}=\underset{\boldsymbol{x}}{\arg \min } f(\boldsymbol{x})+\beta R(\boldsymbol{x}) \tag{*}$

就是重建影象，希望找到一個能最小化

$f(\boldsymbol{x})+\beta R(\boldsymbol{x})$

的

作為最終解

$\hat{x}$

。這裡的

$f(\boldsymbol{x})$

是一個data fidelity項，我看有人譯為資料保真項的，這一項是保證重建影象經過成像後和

儘可能相近。但是隻有這一項是不夠的，因為很多時候，存在無窮多的

可以讓這項為0，何況實際的

還存在噪聲。所以需要有一個regularization項（翻譯成正則項，可能就熟悉了，因為深度學習裡也有一個正則項）來限制

，也就是

$\beta R(\boldsymbol{x})$

，這裡的

$\beta$

是一個平衡係數（別看這只是一個係數，實際上，調這個

$\beta$

本身就是一個大難題，有專門的文章研究怎麼調

$\beta$

更好。。。）

怎麼設計這個

$R(\boldsymbol{x})$

，就是重建的核心問題。

與其說這是一門技術，不如說這是一門藝術

。對這個問題，有海量的文章出來，構成了重建第二個發展階段。之所以說這個階段是iterative reconstruction methods，是因為21世紀前十年，很多設計的

$R(\boldsymbol{x})$

是一個凸函式，比如最簡單的

、

，複雜一些的高斯函式、差分函式等。這些情況下，這個最佳化問題可以用迭代最佳化演算法解，比如次梯度下降、近似梯度點下降、ADMM等。

很容易想到，能不能用更復雜的函式來替代

$R(\boldsymbol{x})$

呢，比如非凸函式，甚至神經網路？答案是顯然的，事實上，可以說，設計

$R(\boldsymbol{x})$

本身就是推動重建發展的一個動力。在下面的第三階段、第四階段，上述最佳化問題這個正規化依然適用，甚至可以說，第三階段、第四階段本身就是想用更加先進的計算方法（壓縮感知、深度學習）來解這個問題才產生的。

下面這篇文章可以帶你領略設計

$R(\boldsymbol{x})$

這門高超的藝術。不過要提醒一下，它是Acta Numerica的文章，難度巨大，後文還會提到另一篇同期刊的文章：

Benning M， Burger M。 Modern regularization methods for inverse problems［J］。 Acta Numerica， 2018， 27： 1-111。

（*）這種形式，叫做變分模型，（Variational Model）。還說一點，其實（*）式的由來和貝葉斯方法緊密相關，可以從貝葉斯後驗機率的角度推出（*），見【1】

想更深入瞭解變分模型及其方法，請看：

Chen Y， Ye X， Zhang Q。 Variational Model-Based Deep Neural Networks for Image Reconstruction［J］。 Handbook of Mathematical Models and Algorithms in Computer Vision and Imaging： Mathematical Imaging and Vision， 2021： 1-29。

第三個階段就是review裡題目中寫的，sparsity類方法，而與之聯絡的，就是訊號領域大名鼎鼎、震古爍今、日新月異、虎虎生威。。。的壓縮感知方法（compressed sensing）。回到（2）式：

$\mathbf{y}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{e} \tag{2}$

設

$\mathbf{y}$

是一個m維向量，

$\mathbf{x}$

是一個n維向量（即使

$\mathbf{x}$

代表影象，把畫素按順序排列就是一個一維向量，所以無所謂），那麼

$\mathbf{A}$

顯然是一個

$m \times n$

的矩陣。每次測量，得到一次訊號，一共測量m次，所以

$\mathbf{y}$

是m維的； n可以直接當做

$\mathbf{x}$

的畫素值，也就是未知數個數。容易理解，要想解n個未知數，顯然已知方程數（m）需要滿足一定數量，否則（2）是個欠定方程。當然m太多也是問題，（2）變成了一個超定方程，因為噪聲存在，可能會無解。

但是，在目前很多最先進的成像方式裡，m是遠遠小於n的！因為在醫學裡，每次訊號測量花費都很“昂貴”的，不僅是花錢，還有時間等。比如做過MRI的都知道，一次核磁掃描時間很長，基本半小時以上，對病人、醫療資源安排都是很大的負擔。主要是因為相位掃描次數跟畫素數成正比。所以為了減少掃描時間，會盡可能減少掃描次數，也就是減少m了。再比如CT裡，每一次CT投影，對人體都有輻射，那當然我們希望投影次數越少越好，也就是m越小越好。

但是，根據奈奎斯特取樣定律，取樣值不能無限減少。那麼，有沒有可能，取樣值低於奈奎斯特取樣率，還能把（2）這個欠定方程解出來呢？

大名鼎鼎的壓縮感知理論回答了這個問題。這裡不細說，知乎裡有一些優質的回答：

但可以直觀地理解，顯然（2）如果是一個欠定方程組沒法解，因為解有無窮多個。

但是如果我們知道，真實的那個解是有獨特性質的，我們是不是又可以找到這個解了呢？

回到1+1=？這個問題，反過來，已知2，問是幾加幾得到的，顯然有無窮多解，但是如果我們知道：2是由兩個正整數相加得到的，那麼答案是唯一的，2=1+1。直觀地理解，我們如果有關於真實解的額外資訊，我們就有可能解出欠定的（2）。

壓縮感知就是利用了一個具體的額外資訊：真實的解是稀疏的。稀疏就是指一個向量裡不為0的元素個數，也就是也大名鼎鼎的0範數。知道真實的解0範數小於某個閾值，我們就可以在低於奈奎斯特取樣率的情況下解出真實解。但是，實際的影象萬一不是稀疏的呢？那麼我們可以用一種變換讓它稀疏：比如小波變換。

這也就是review 【2】裡題目中sparsity的意思。目前MRI裡已經應用了，這大大減少了MRI掃描時間。

這個階段，重建的主流方法是sparsity：怎麼設計更好的變換，讓影象變為sparse的；怎麼設計更好的演算法，從sparse裡重建影象。。。

第四個階段，就是data-driven，其實也就是深度學習階段了。這個階段目前正在勢頭上，看review裡怎麼總結的吧。以後有時間我來總結下。

除了【2】之外，還有很多高質量綜述：

【3】Wang， Ge， Jong Chul Ye， and Bruno De Man。 “Deep learning for tomographic image reconstruction。”

Nature Machine Intelligence

2， no。 12 （2020）： 737-748。

wang ge教授發在nature machine intelligence上的綜述。wang ge教授也是重建領域的大牛了，你如果做重建，也會常常見到他的名字。。。這篇綜述總結得也很好，和【2】不同，更多是從深度學習方法上來分類的。不過我覺得這篇綜述更重要的意義是，重建的綜述發在了nature的子刊上，說明這個領域很重要啊（是不是另說，咱要這麼相信。。。）

其實wang ge教授還專門寫了本書：

Wang， Ge， Yi Zhang， Xiaojing Ye， and Xuanqin Mou。

Machine learning for tomographic imaging

。 IOP Publishing， 2019。

可以看做是對文獻【3】的拓展成書。另外幾位作者裡，有四川大學的zhang yi老師，他的實驗室也是重建領域的大實驗室。

這本書適合作為入門教材

，裡面有深度學習和重建的基礎知識。不過我覺得這本書對深度學習重建的總結不太完整，不如直接讀那幾篇原始論文。書裡還有量子計算的內容，不知道為啥有這個東西。。。

我最推薦的另外一本入門教材是前面提到的：

Michael T。 McCann； Michael Unser，Biomedical Image Reconstruction： From the Foundations to Deep Neural Networks， now， 2019。

其中的作者Michael Unser，是EPFL大牛，第一篇有影響的用CNN做inverse problem的文章就是他的組發的，在TIP上，下文會提。這本書講的很清晰，可以對重建有個入門的瞭解。

前面說了，重建是inverse problem這個大問題下的一個子問題，而inverse problem本身就是一個研究領域。所以我認為有必要學習這方面的基礎知識。

關於inverse problem的基礎，設計到泛函分析、運算元理論，我本科也沒學過，不過不用擔心，只是有很多涉及的概念，並不是說必須學過泛函才能看懂，不過學過肯定更好。

inverse problem有標準的教科書，但是那幾乎是一本數學書，顯然做重建的應該沒人會有精力讀，我就不放上來了，我也就是看了開頭幾章，還沒看太懂，想看的可以去springerlink搜。。。

有一個note比較簡明，我覺得最合適，是劍橋大學 inverse problem 這門課程的note：

introduction to inverse problem

當然還有不少類似的小note，在google上搜一下就有很多。因為是基礎知識，所以內容都大同小異。

還有一篇綜述，也很簡明易懂：

Ribes A， Schmitt F。 Linear inverse problems in imaging［J］。 IEEE Signal Processing Magazine， 2008， 25（4）： 84-99。

inverse problem這個問題主要是做數學、物理的關注，但是因為太重要，火熱的深度學習自然也要來挑戰一下。而深度學習確實在inverse problem領域取得了很大的成果。不要忘了，前面提到過，去噪、去雨、去霧等任務也是inverse problem裡的，所以深度學習做low-level的視覺任務就屬於deep learning for inverse probelm。

這裡，就要推出一篇“聖經”一般的綜述了：

Arridge S， Maass P， Öktem O， et al。 Solving inverse problems using data-driven models［J］。 Acta Numerica， 2019， 28： 1-174。

首先說，這篇綜述的期刊Acta Numerica是目前數學領域影響因子第一的期刊，這也代表著這篇文章不是一般的難讀（數學類文章，那都是地獄級難度）。確實，這篇綜述170多頁。但是這篇文章對data-driven在inverse problem上的現狀，總結得之全面、深刻，可以稱得上是聖經。對我來說，這篇文章簡直是個寶庫。這也給我們提供了一個小目標：其實，如果有決心在重建這個領域一覽眾山小，直接照這篇綜述引用的文獻讀就完事了，也就400多篇而已。。。

當然，也不是所有人都有精力來登這座珠峰的，那麼，另一篇同樣全面和深刻，而且特別針對深度學習的inverse problem綜述就值得收藏：

Ongie G， Jalal A， Metzler C A， et al。 Deep learning techniques for inverse problems in imaging［J］。 IEEE Journal on Selected Areas in Information Theory， 2020， 1（1）： 39-56。

這篇綜述很有意思，它是根據場景來總結方法的：在已知

$\mathbf{A}$

和有成對訓練資料時；在已知

$\mathbf{A}$

但只有

$\mathbf{x}$

資料時；在已知

$\mathbf{A}$

但只有

$\mathbf{y}$

資料時；在

$\mathbf{A}$

訓練時知道，測試時未知時；在

$\mathbf{A}$

訓練和測試時都未知時。。。一開始我也不理解為什麼要這麼劃分，隨著閱讀的paper增多，我體會到這篇綜述多厲害了，它把好多複雜的方法用很簡單的語言講清楚了。

還有一些綜述，我覺得一般，但都看過，還是可以參考。

Yedder H B， Cardoen B， Hamarneh G。 Deep learning for biomedical image reconstruction： A survey［J］。 Artificial Intelligence Review， 2021， 54（1）： 215-251。

比較一般的一篇綜述，和前面的比起來沒什麼特色，感覺像是研究生自己總結的然後投了一篇。

董彬。影象反問題中的數學與深度學習方法［J］。計算數學， 2019， 41（4）：24。

Zhang， HM。， Dong， B。 A Review on Deep Learning in Medical Image Reconstruction。

J。 Oper。 Res。 Soc。 China

311–340 （2020）。

https：//

doi。org/10。1007/s40305-

019-00287-4

董彬老師寫的兩篇綜述，難得的精品中文綜述。董斌老師在CT重建也很強，不過他應該主業不是這個。

Wang N， Sun J。 Model meets deep learning in image inverse problems［J］。 learning， 2020， 2（9）： 10。

孫劍老師

Bai Y， Chen W， Chen J， et al。 Deep learning methods for solving linear inverse problems： Research directions and paradigms［J］。 Signal Processing， 2020： 107729。

一般

因為我自己最主要做的其實是PET重建，這裡也推薦三篇PET重建的專門綜述：

Gong K， Berg E， Cherry S R， et al。 Machine learning in PET： from photon detection to quantitative image reconstruction［J］。 Proceedings of the IEEE， 2019， 108（1）： 51-68。

qi jinyi教授，硬攀關係算師承大概得算是我師伯了，PET領域的華人大牛，IEEE fellow。

Reader A J， Corda G， Mehranian A， et al。 Deep learning for PET image reconstruction［J］。 IEEE Transactions on Radiation and Plasma Medical Sciences， 2020， 5（1）： 1-25。

Zaidi H， El Naqa I。 Quantitative molecular positron emission tomography imaging using advanced deep learning techniques［J］。 Annual Review of Biomedical Engineering， 2021， 23。

其實PET重建很有意思，跟CT和MRI還都不一樣，它是基於泊松分佈機率重建的，最常用的MLEM方法用到了EM演算法。我後面應該會專門寫一篇總結PET的重建。

泊松分佈在光子計數類成像裡都適用，對這個問題，有一本書講的非常好，我受益良多，也是我的入門教材：

Bertero M， Boccacci P， Ruggiero V。 Inverse Imaging with Poisson Data［M］。 IOP Publishing， Bristol， 2018。

專刊

我們知道（不知道的話相信我沒錯的），在醫學影象領域裡有一本頂刊：IEEE transaction on medical imaging（TMI），有一個頂會：MICCAI。要想看醫學影象領域裡哪些方向比較火熱，或者發展到什麼地步了，都會來這一刊一會上看看。那麼重建方向在這一刊一會上表現如何呢。

在TMI上，有兩次以專刊的形式做醫學影象重建主題（就是一期裡全是這個主題的文章）並配了編輯詞：Volume： 37 Issue： 6 我們來看這一期編輯詞的題目 “Image Reconstruction is a New Frontier of Machine Learning”，很霸氣啊。而作者是之前說過的幾位熟人 Ge Wang、Jong Chu Ye、Jeffrey A。 Fessler。另一期是Volume： 40 Issue： 11 ，這一期的編輯詞是“Deep Tomographic Image Reconstruction： Yesterday， Today， and Tomorrow”，作者換了一批，但是wang ge老師依然是第一個，另外其中的Mathews Jacob、Yonina C。 Eldar 兩個大牛也需要認識一下。

在MICCAI上，雖然重建沒有分割那麼火，但每次會議也必有一個合集section。

而在大的工程領域，有兩本綜述類頂刊（工程領域的CNS）：IEEE signal processing magazine ， proceedings of IEEE，這兩本期刊特別niu bi，每期只做一個主題，都是約稿，而且約的作者全是大牛（當然你也可以根據誰被約稿了判斷誰是大牛）。這兩本期刊選的主題代表了學術界、工業界的一種風向，比如壓縮感知、深度學習都曾被這兩本期刊做過（還不止一期）。那麼重建領域表現如何呢？

在IEEE signal processing magazine裡，Volume： 37 Issue： 1 是一期以MRI為主題的專刊，但裡面的大部分文章涉及到的是重建的內容，比如最佳化、壓縮感知、稀疏變換、plug-and-play方法等。這些文章作者裡又有很多熟人（比如fessler、Mathews Jacob），還有深圳先進研究院的樑棟老師。雖然主題是MRI，但裡面的綜述內容對整個重建領域都適用。我特別推薦fessler執筆的那篇講重建裡最佳化方法綜述的，由於雜誌篇幅限制，他在arxiv上有一篇加長版的。

而在proceedings of IEEE裡，雖然沒有以重建為主題的專刊，但是有以生物醫學成像為主題的 vol。 108， no。 1。前面講的那個最好的review就是出自這一期。

這裡只是想說，重建這個領域其實蠻受重視的。當然，這得益於生物醫學成像本身這個重要的研究領域。除了對新的成像方式的探索，在已有成像方式上做到更高、更快、更強，甚至突破一些以前不可能的限制，同樣重要，而這些就需要更好的重建方法。

如果厭倦與分割、配準這類人滿為患的方向，可以來看看重建這個領域。（當然人也挺多的，何處不內卷呢）

深度學習之外的

從前面可以看到，其實重建這個領域真是涉及到很多領域。在我的學習過程中，我覺得有幾個相關的領域，是研究重建必須掌握的。而且，這幾個領域本身也特別有意思。這裡先只提兩個

最佳化（optimization）

最佳化有多重要？可以說，重建裡的變分模型就是最佳化方法驅動的，理解最佳化才能理解重建中的迭代方法和變分方法。深度學習重建中非常出名的ADMM-Net和隨之出現的unrolling方法，就是用神經網路去取代各種迭代最佳化演算法。fessler教授那本重建教材裡，前半部分幾章就是專門講最佳化。“不懂最佳化，就不懂重建。” ——魯迅。

當然，最佳化這個領域本身比重建還大，還要重要，所以學習要講武德，點到為止。

我的最佳化是在包承龍老師課上得到系統學習的，我覺得還是上課來的更完整細緻。不過如果自學或者深入瞭解，有一些材料是非常好的，當然知乎裡有很多相關的推薦了，我就推一個我自己用過的。

最佳化本身分凸最佳化（簡單的最佳化）和非凸最佳化（難的最佳化），學當然只能學凸最佳化，因為非凸最佳化目前還沒建立起完整的理論。首先最佳化裡的名著是boyd那本《凸最佳化》這是公認的，但是看過的應該都知道，這本書在內容上其實有點落後於時代，課上包老師也只講了前面的凸分析部分，後面是自己做的資料。

我覺得有一本新出的最佳化書特別好，內容完整，質量特別高：

最最佳化：建模、演算法與理論，劉浩洋，戶將，李勇鋒，文再文

壓縮感知（稀疏方法）

壓縮感知我是偶然才接觸到的，因為想要看懂那篇review 【1】，就找資料來看了看，沒想到，一下子就看進去了。壓縮感知背後的數學理論特別優美，（可能也是受夠了深度學習裡的玄學），對這種基於深厚數學基礎推匯出的理論很折服。

對壓縮感知，只推薦一本書，我肯定這本書將在以後被稱為神書：

Wright J， Ma Y。 High-dimensional data analysis with low-dimensional models： Principles， computation， and applications［M］。 Cambridge University Press， 2021

標簽：重建 inverse 成像綜述領域

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