正多面體的任意截面面積與體積之間是否存線上性關係？

我嘗試一個猜想。

假設有一個（任意）多面體，我們用

個平面去切割它，其截面總面積是

。

現在把該多面體等比縮放

倍（即三個維度都縮放s倍），使用相同的

個平面（位置也按比例縮放），那麼可以得到相同形狀的截面，其總面積是

。

因為面積是二維，面積的縮放是

倍，所以

。

同理，縮放前後體積的關係是

。

聯合起來：

也就是說，知道該多面體的原始體積及截面總面積，以及縮放後的截面總面積，就能推算出其縮放後的體積。但這不是簡單的線性關係。

給另一個思路，就是用

計算機模擬

，隨機生成所需的模型結構，進行隨機切割，計算面積和體積的關係。這是繞過分析去求解的方法，對於複雜問題（例如題目中的晶體大小有特定的empirical分佈）特別有效。