微擾計算研究（二）單粒子微擾通式與Polya定理

作者：由泰勒貓愛麗絲發表于書法時間：2022-01-23

一、前情提要

上一篇文章

［1］

裡面我們利用非平衡格林函式方法算了一下單粒子非簡併微擾是什麼樣的，得到了一個具體的關於k階微擾的通式，理論上根據這個通式我們就可以隨便寫出任何一階的微擾表示式，現在再寫一遍：

$\Delta E^{(k)}=\frac{1}{k}\sum_{n_1,n_2,\cdots n_k}V_{n_1,n_2,\cdots n_k}\sum_{i}f(\varepsilon_{n_i})P(\varepsilon_{n_i})$

其中

$V_{n_1,n_2,\cdots n_k}=\prod_{i}^kV_{n_i n_{i+1}} \ \ , \ \ \ n_{i+1}=n_1$

$P(\varepsilon_{n_i})=\left(\prod_j^{j \ne i}(\varepsilon_{n_i}-\varepsilon_{n_j})\right)^{-1}$

這些應該很清楚了，然而寫成符號之後我才發現似乎很難看懂，還是看之前文章的例子吧。

上篇文章說過，拿到一個k階微擾之後，首先把通式寫出來，然後是一個 manage 的過程：在某一項裡面基態究竟出現了幾次，在什麼位置？當確定了哪些n為1（1代表基態）之後，相應的

就能確定了，進而知道求和式裡面到底有多少個

，然後把每種可能都列出來，就得到答案了。對於二階甚至三階，情況都是比較簡單的，然而對於4階及以上，到底哪些n為1就不是很好想了。我說過這個和二面體群

有關係，今天我就來說清楚這個問題。

想要說清楚怎樣有策略地寫出每一項，需要兩個準備工作。

二、準備工作1：V是圓排列

我們很明顯的注意到一個問題，就是V乘積的下標是連在一起，成為一個圓排列的。觀察式子

$V_{n_1,n_2,\cdots n_k}=\prod_{i}^kV_{n_i n_{i+1}}$

，或者舉一個例子，比如四階微擾

$V \Rightarrow V_{n_1 n_2}V_{n_2 n_3}V_{n_3 n_4}V_{n_4 n_1}$

，這樣就構成了一個圈，每一項都只與他們的相對位置有關。我們還是以四階微擾舉例子，我們首先寫下的是

$\Delta E^{(4)}=\frac{1}{4}\sum_{pqrs} V_{pq} \ V_{qr}\ V_{rs}\ V_{sp} \left(\frac{f(\varepsilon_p)}{(\varepsilon_p-\varepsilon_q)(\varepsilon_p-\varepsilon_r)(\varepsilon_p-\varepsilon_s)}+\cdots\right)$

然後在編號的時候，係數

$V_{12}\ V_{23}\ V_{34}\ V_{41}$

和

$V_{23}\ V_{34}\ V_{41}\ V_{12}$

本質上都一樣的，但是會出現重複的次數，怎麼樣統計這些次數後面會說。為了表徵這樣一項，我們可以畫一個圈，圈上面有四個數字，然後根據這些數字在中間寫V，可以說，這樣一個圈就決定了一項，我們可以自己畫畫這種圖，然後將其對應的項

$V_{n_1,n_2,\cdots n_k}\sum_{i}f(\varepsilon_{n_i})P(\varepsilon_{n_i})$

寫出來。

一個例子

三、準備工作2：一個初中代數問題

在解決了前面V係數是圓排列之後，我們想要看一下後面關於

$f(\varepsilon_{n_i})P(\varepsilon_{n_i})$

的求和式具體是什麼樣的。我們知道當且僅當

$\varepsilon_{n_i}=\varepsilon_1$

也就是能量取基態能量的時候，

$f(\varepsilon_1)=1$

，其他情況都是0。那麼如果所有的能量都不等於1會是什麼樣呢？顯然這個時候所有f都等於0，求和式等於0，那麼如果所有的能量都等於1呢？根據費曼圖的物理意義我們知道其等於0，但是我們可以從代數角度來說明這個問題，為了簡單起見，我就以四階的情況來說明。

我們要說明

$\frac{1}{(a-b)(a-c)(a-d)}+\frac{1}{(b-a)(b-c)(b-d)}+\frac{1}{(c-a)(c-b)(c-d)}+\frac{1}{(d-a)(d-b)(d-c)}=0$

我們可以這樣想：將第一項裂項，會得到什麼呢？我們採取待定係數的辦法：

$\frac{1}{(a-b)(a-c)(a-d)}=\frac{A}{a-b}+\frac{B}{a-c}+\frac{C}{a-d}$

然後兩邊乘

，再令

，得到

$\left\{\begin{aligned} A=\frac{1}{(b-c)(b-d)}\\ B=\frac{1}{(c-b)(c-d)}\\ C=\frac{1}{(d-b)(d-c)} \end{aligned} \right.$

我們發現裂項出來的三項正好分別和原式的後三項抵消，那麼顯然這四個和為0。

不要小瞧這個求和等於0，它在後面有著很大的用處。

四、微擾盤與 Polya 定理

好的，那麼現在我們的問題是對於一個有k個小圈的圓盤，上面填上數字，它可以填1，也就是基態，也可以填別的數字，也就是激發態，由於激發態會反映到前面的求和裡面去，我們不妨認為所有激發態填上去就是0，也就是我們會得到小圈裡面是0和1的圓盤，我讀書少，不知道其是不是有什麼特別的名稱，所以暫時命名其“微擾盤”了。下圖給出了三種微擾盤，由於圓排列，我們發現前兩者是相同的，因為可以轉一下兩個就一樣了，而最後一個是跟前兩者不一樣的

看圖說話，對於前兩個微擾盤我們寫下的是

$\sum_{pq}V_{1p}\ V_{pq}\ V_{q1}\ V_{11}$

最後一個寫下的是

$\sum_{pq}V_{1p}\ V_{p1}\ V_{1q}\ V_{q1}$

不一樣吧！那麼現在問題是，到底有多少種不一樣的微擾盤呢？這也就相當於問：對於一個有n個珠子的手鍊，給每個珠子上m種顏色（這裡是兩種顏色），總共能得到多少種不同的手鍊？這不是一個很簡單的問題，可以參見以下的文章：

一般數學上就是首先找到這個手鍊的對稱性，然後找到與這個手鍊同構的置換群，透過分析置換群來得到相應的數量。我上學期學的群論對置換群的理解只有嗯畫俄羅斯方塊的楊盤定理，比較懂的還是點群，所以我按照點群的思想簡單快速地說一下 Polya 定理說的是什麼事情。

首先假設有

個位置，

種顏色，體系的對稱性群為

，在這樣一個微擾盤裡面，顯然對稱群是二面體群

。所以如果直接上色，總共有

種上法，假設這些手鍊狀態組成集合

$X=\{x_1,x_2,\cdots,x_N\}$

那麼，

上會有變換群

，因為

中每一個元素將

中一個元素變成另一個

假設一個集合的元素為

，那麼其會有

軌道

，一個軌道的意思就是所有其實是同一個手鍊的

的集合，因為顯然相同的手鍊是變換相似的元素（變換集合的相似跟群相似不一樣，好好看李老師的書去）。當然也有迷向子群

，也就是保持 x 不變的 G 的子群

我們有公式

$|G|=|G^x| \cdot |G(x)|$

，軌道的階乘迷向子群的階等於群的階

現在我們想求到底有多少G軌道，即到底有多少

。我們引入計數函式

$\mu(g_i,x)=\left\{\begin{aligned} 1 \ \ \ \ \ \ g_i(x)=x\\ 0 \ \ \ \ \ \ g_i(x)\ne x \end{aligned} \right.$

，有

$\sum_{i=1}^{|G|}\mu(g_i,x)=|G^x|$

定義

$c_1(g_i)=\sum_x^N \mu(g_i,x)$

為

作用在

上不動點的個數

那麼有

$\sum_{i=1}^{|G|}c_1(g_i)=\sum_{i=1}^{|G|}\sum_x^N \mu(g_i,x)=\sum_x^N \sum_{i=1}^{|G|}\mu(g_i,x)=\sum_x^N|G^x|$

設

有

個G軌道，

$G^{x_1},G^{x_2},\cdots G^{x_t}$

那麼

$\sum_x^N|G^x|=\sum_{i=1}^t \sum_{x \in G^{x_i}}|G^x|=\sum_{i=1}^t|G(x_i)||G^{x_i}|=\sum_{i=1}^t|G|=t|G|$

所以有

$t=\frac{1}{|G|}\sum_{i=1}^{|G|}c_1(g_i)$

（Burnside引理）

然後假設對

$g_i \in G$

，其對應微擾盤的一個置換，比如說

那麼回顧一下李老師上置換群的時候說了啥：

1、相同輪換結構的g同類

2、當且僅當括號裡面的數字染色相同的時候，這種配置為不動點

現在假設有

個括號，那麼自然有

$m^{c(g_i)}$

個不動點，我們就能得到另一個式子

$t=\frac{1}{|G|}\sum_{g \in G}m^{c(g)}$

（Polya 定理）

可能說的讓人云裡霧裡，但是因為種種原因，我最近沒法子延續我以前凡事都仔細講清楚的能力了，正在努力調整。

下面利用這個定理來算一下四階微擾究竟有多少種不同的微擾盤

四階微擾：

群，元素個數

$2\times 4=8$

，類個數

列表看看輪換結構

類

輪換結構

類中元素個數

（1）（2）（3）（4）

C_2^（1）

（1）（3）（24）

C_2^（2）

（12）（34）

C_4^1

（1234）

C_4^2

（13）（24）

所以套公式，有

$t=\frac{1}{8}(1 \times2^4+2 \times 2^3+2 \times 2^2+2 \times 2^1+1 \times 2^2)=6$

所以有6種不同的微擾盤，然而全部都是0和全部都是1都是0，這兩項扣除，結果是4種。

然而，我們還可以藉助母函式的Polya定理得到具體每種配置有多少個，mma似乎還能具體列出來，但是我沒找到怎麼搞，就順手寫了一個，記住下面程式碼是

mathematica

寫的，不要複製到 matlab 裡面去，執行不出來的。。。

Clear

［

“Global`*”

］

order

；

Table

［

，

{

，

order

}］；

group

DihedralGroup

［

order

］

GroupElements

；

num

Length

［

group

］；

Table

［

，

{

，

num

}，

{

，

order

}］；

［

element

group

［［

，

］］；

single

order

Length

［

Flatten

［

element

］］；

len1

Length

［

element

］；

［［

，

］］

single

；

［

element

［［

］］；

len2

Length

［

］；

［［

，

len2

］］

［［

，

len2

］］

；

，

{

，

len1

}］，

{

，

num

}］

；

［

coff

［［

］］；

；

［

［［

］］

coff

［［

］］，

{

，

order

}］；

，

{

，

num

}］

Expand

［

num

］

直接執行，輸出結果為

說一下輸出結果：a表示基態1的個數，b表示0激發態的個數，當然也可以反過來，多項式的每一項表示一種配置，比如說

表示有三個1，一個0，前面係數表示這樣的配置有多少種不同的微擾盤，這裡係數為1，就表示有一種，相反的

表示兩個1兩個0有兩種配置。除了兩個四次方以外，確實有4種配置，這與前面算的一樣。

下圖中我給出具體這四種微擾盤是什麼樣的，我們就根據這些盤寫微擾項

接下來的問題是對於每一個微擾盤，到底出現了多少次。我們知道對於每一種微擾盤，它重複的次數是其軌道的階數，然後對於二面體群，其群階為

，這樣前面的係數是

，分母也就是其迷向子群的階，我們舉個例子，比如說第一個微擾盤，其迷向子群為

$\{E,C_2^{(1)}\}$

，所以其權重為1，第二個微擾盤迷向子群為

$\{E,C_2^{(2)}\}$

，權重為1，第三個就不一樣了，其迷向子群為

$\{E,C_2^{(1)},C_2^{(3)},C_4^2\}$

，權重為

$\frac{1}{2}$

，最後一個

$\{E,C_2^{(3)}\}$

，權重為1。我們回憶一下三階微擾，因為不論如何迷向子群階數都是2，所以權重總為1，看似就是消掉了。

五、四階微擾

現在我們的準備工作都已就緒，簡單來說就是利用 Polya 定理畫出所有的微擾盤，然後每一個微擾盤寫一項微擾，最後加起來就好，對於第一個微擾盤，我們可以寫下：

$\sum_{pqr}\frac{V_{1p}V_{pq} V_{qr} V_{r1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)(\varepsilon_1-\varepsilon_r)}$

看起來很輕鬆愉悅，沒有任何問題

第二個微擾盤，我們寫下

$\sum_{pq}V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}\left(\frac{1}{\color{red}{(\varepsilon_1-\varepsilon_1)}(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}+\frac{1}{\color{red}{(\varepsilon_1-\varepsilon_1)}(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}\right)$

這裡分母有一項等於0，我把它標紅了，很明顯，我們可以先令一個為

$\varepsilon$

，然後求和取極限，但是我們還可以利用之前的初中代數，有

$\frac{1}{\color{red}{(\varepsilon_1-\varepsilon_1)}(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}+\frac{1}{\color{red}{(\varepsilon_1-\varepsilon_1)}(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}=-\frac{1}{(\varepsilon_q-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_p-\varepsilon_q)}-\frac{1}{(\varepsilon_r-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_q-\varepsilon_p)}$

你可以左邊通分求極限試試看，結果是一樣的。

所以第二項寫作

$\begin{aligned} &-\sum_{pq}V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}\left(\frac{1}{(\varepsilon_p-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_p-\varepsilon_q)}+\frac{1}{(\varepsilon_q-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_q-\varepsilon_p)}\right)\\ &=-\sum_{pq}\left(\frac{V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}+\frac{V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_q)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_p)}\right) \end{aligned}$

我個人覺得寫到這個程度就可以了，有的書（A Guide To Feynman Diagrams）會化成分母每一項都有1的，屬實沒啥必要，但是如果涉及到下面帶權重的，還是化一下比較好。

第三個微擾盤

$\begin{aligned} &-\frac{1}{2}\sum_{pq}V_{1p}V_{p1} V_{1q} V_{q1}\left(\frac{1}{(\varepsilon_p-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_p-\varepsilon_q)}+\frac{1}{(\varepsilon_q-\varepsilon_1)^2(\varepsilon_q-\varepsilon_p)}\right)\\ &=-\sum_{pq}\frac{V_{1p}V_{p1} V_{1q} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_q)} \end{aligned}$

第四個微擾盤是一樣的

$\sum_{p}V_{11}V_{11} V_{1p} V_{p1}\left(-\frac{1}{(\varepsilon_p-\varepsilon_1)^3}\right)=\sum_{p}\frac{V_{11}V_{11} V_{1p} V_{p1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^3}$

最後加起來，得到

$\begin{aligned} \Delta E^{(4)}=&\sum_{pqr}\frac{V_{1p}V_{pq} V_{qr} V_{r1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)(\varepsilon_1-\varepsilon_q)(\varepsilon_1-\varepsilon_r)}-\sum_{pq}\left(\frac{V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}+\frac{V_{11}V_{1p} V_{pq} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_q)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_p)}\right)\\ &-\sum_{pq}\frac{V_{1p}V_{p1} V_{1q} V_{q1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^2(\varepsilon_1-\varepsilon_q)}+\sum_{p}\frac{V_{11}V_{11} V_{1p} V_{p1}}{(\varepsilon_1-\varepsilon_p)^3} \end{aligned}$

六、結論

至此，本文的主要結果都展示完畢，透過非平衡格林函式方法計算的單粒子微擾通式，然後利用 Polya 公式得到了k階微擾的微擾盤表示式，也就是

$\Delta E^{(k)}=\sum_{gra}w_g\cdot graph$

至此，可以類似的得到各階微擾的表示式。

下面兩張圖給出了五階和六階polya多項式，以及所有的微擾圖，其中五階6種圖好寫一點，我基本上都寫出來了，六階的有11種圖，我已經列出來了，也標出了迷向子群的階以及相應的權重，也示範性的給了兩項，我覺得這個問題已經完全解決了，即單粒子微擾的所有階到底怎麼寫，如果感興趣，可以按照六階微擾我給出的圖把每一項寫出來，注意有權重為1/2，2，和1/3的要寫在前面。