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兩條相離曲線上兩動點的最短距離何時取？

作者：由 Bill Gets 發表于書法時間：2021-02-03

首先，不難發現

和

這兩個函式互為反函式：

對於

$y=2e^{x}$

，令

，則有

$\begin{align} x= & 2e^{y}\\ \cfrac{x}{2}=&e^{y}\\ \mathrm{ln}\cfrac{x}{2}=&y \end{align}$

所以

和

互為反函式。也就是說，它們的影象關於直線

對稱。

由於直線

的斜率為

，那麼

和

的影象上的點到直線

的距離最短時，它們的切線斜率都為

。

又由於

與

的對稱性，顯然

的影象上的點與

的影象上的點的最小距離恰好就是

的影象上的點到直線

的距離與

的影象上的點到直線

的距離之和（由於對稱性，顯然這兩段距離是相等的）。

現在我們來求

和

的影象上那些切線斜率為

的點：

因為

，令

$2e^{x}=1$

，得

$x=\mathrm{ln}\cfrac{1}{2}$

。記該點為

$A(\mathrm{ln\cfrac{1}{2}},1)$

。

因為

，令

$\cfrac{1}{x}=1$

，得

。記該點為

$B(1,\mathrm{ln}\cfrac{1}{2})$

。（

點的座標也可由反函式得到）

故

的影象上的點與

的影象上的點的最小距離為

$|AB|=\sqrt{(1-\mathrm{ln}\cfrac{1}{2})^{2}+(\mathrm{ln}\cfrac{1}{2}-1)^{2}}=\sqrt{2}(1-\mathrm{ln}\cfrac{1}{2})=\sqrt{2}\mathrm{ln}2e$

。

注：這個題計算量非常小，但難度在對稱性與距離最短的聯絡上。如果對函式影象足夠熟悉，這個題就是口算題。

標簽：影象距離直線反函式斜率

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