【強基數學筆記】代數變形
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提取碼：xb18
常量代換
變數和常量之間若有一個已知條件，可將目標式
T\
中的常量變成變數，或將變數換成常量，從而齊次化、因式分解
齊次化常用方法：
利用已知條件
利用均值不等式
變數代換
abc=1， 換成
a=\frac{x}{y}，\； b=\frac{y}{z}，\；c=\frac{z}{x}\
，此時滿足條件，且換成了零次式
ab+bc+ca=1，換成
a=\tan \frac{A}{2}。。。\
或者換成
a=\frac{1}{\tan A}。。。\
若有a，b，c構成三角形三邊，則可嘗試a=x+y， b=y+z， c=z+x
a^2+b^2+c^2+2abc=1\
，換成
a=\cos A 。。。\
\sqrt{1+m^2}\
， 換成
m=\tan A\
；
\sqrt{1-m^2}\
， 換成
m=\cos A\
增量代換
若a>b>c，則設s=a-b， t=b-c
因式分解
常用因式分解：
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\
a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca=\frac{1}{2}［（a+b）^2+（b+c）^2+（c+a）^2］\
a^3-b^3=（a-b）（a^2+ab+b^2）\
x^n-y^n=（x-y）（x^{n-1}+x^{n-2}y+。。。+xy^{n-2}+y^{n-1}）\
x^{2n+1}+y^{2n+1}=（x+y）（x^{2n}-x^{2n-1}y+x^{2n-2}y^2-。。。-xy^{2n-1}+y^{2n}）\
=（x+y） \cdot \sum_{i=0}^{2n}\left［ x^{2n-i}（-y）^i \right］\
xy+nx+my+mn=（x+m）（y+n）\
xyz+xy+yz+zx+（x+y+z）+1=（x+1）（y+1）（z+1）\
x^2y+y^2z+z^2x+z^2y+y^2x+x^2z+2xyz=（x+y）（y+z）（z+x）\
x^2y+y^2z+z^2x+z^2y+y^2x+x^2z+3xyz=（x+y+z）（xy+yz+zx）\
x^3+y^3+z^3-3xyz=（x+y+z）（x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx）\\=（x+y+z）\cdot \frac{1}{2} \left［（x-y）^2+（y-z）^2+（z-x）^2\right］\
由6，當題目出現xy與x，y線性組合時，考慮因式分解。
如：
xy-2x+y=0\
的整數解有_____組。
又如：
\frac{2}{x}+\frac{2}{y}>1\
且
x，y\in ［3，+\infty）\
的整數解有_____組
由10，
x+y+z=0\
時，有
x^3+y^3+z^3=3xyz\
注意因式分解前為0，分解後每個括號都可能等於零，尤其不要漏掉10右側，雖然都是平方但也可以等於零
待定係數法
例如求解
x^2+xy+y^2\
和
x+y\
的關係，
可設
x^2+xy+y^2\leq a（x+y）^2\
整理得
（a-1）x^2+（2a-1）xy+（a-1）y^2\geq 0\
故判別式需小於等於零，解得
a\leq\frac{3}{4}\
放縮
欲證
a\leq b\
， 只需證
a\leq c\leq b\
於是關鍵在於找到這個c
常見不等式
均值不等式
冪平均不等式：設
M_r=\left（ \sum a_i^r \cdot \frac{1}{n} \right）^\frac{1}{r}\
，
a>b\
， 則有
M_a>M_b\
柯西不等式
琴生不等式
其他方法
配方法、判別式法、線性規劃
例題
例1：整數x，y，z滿足
xy+yz+zx=1\
， 則
（1+x^2）（1+y^2）（1+z^2）\
可能取到的值為（）
A。16900 B。17900 C。18900 D。前三個答案都不對
例2：設a，b，c為非零實數，
a^2+b^2+c^2=3\
，
a（\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）+b（\frac{1}{c}+\frac{1}{a}）+c（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）=-3\
， 則
a+b+c\
的可能取值有多少個？
例3：若a，b，c能構成三角形三邊長，則_____
A。
\frac{3}{2}\leq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\leq2\
B。
\frac{3}{2}\leq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2\
C。
\frac{3}{2}<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\leq2\
D。
\frac{3}{2}<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2\
例4：
x^3-x^{-3}=8\sqrt5\
， 求
x^2+x^{-3}=\
_____
例5：a+b=1， 求
\frac{1}{a}+\frac{27}{b^3}\
的最小值
例6：已知
（a_1-a_2）^2+（a_2-a_3）^2+（a_3-a_4）^2+（a_4-a_5）^2=1\
， 則
a_1-2a_2-a_3+2a_5\
的最大值為
例7：設
x，y，z\in \R^*\
，
\sqrt{x^2+y^2}+z=1\
， 則
xy+2xz\
的最大值為
例8：
f（x）=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}\
的最大值為_____
例9：對於實數a，存在b，c滿足
a^3-b^3-c^3=3abc， \；a^a=2（b+c）\
， 則實數a的個數為_____
例10：實數a，b滿足
（a^2+4）（b^2+1）=10ab-5\
， 則
b（a+\frac{1}{a}）\
的值為_____
例11：設函式
f（t）=t^2+2t\
， 則點集
\{（x，y）|f（x）+f（y）\leq 2，f（x）\geq f（y）\}\
所構成圖形的面積是_____
答案
例1：整數x，y，z滿足
xy+yz+zx=1\
， 則
（1+x^2）（1+y^2）（1+z^2）\
可能取到的值為（）
A。16900 B。17900 C。18900 D。前三個答案都不對
觀察條件，左邊為二次式，右側為零次式；而目標式T是一個輪換對稱式，可以寫作
\Pi_{cyc}（1+x^2）\
， 括號內是一個二次式加零次式，可利用已知條件齊次化，得到
T=\Pi_{cyc}（x^2+xy+yz+zx）=\Pi_{cyc}（x+y）（x+z）\
注1：齊次式往往能因式分解
注2：
x^2+xy+yz+zx=（x+y）（x+z）\
很常用
故
T=（x+y）^2（y+z）^2（z+x）^2\
，T是一個完全平方數，只有A是完全平方數
代入A，得到
（x+y）（y+z）（z+x）=130\
， 驗證當
x=-3，y=8，z=5\
時成立。
注意一定要驗證成立
例2：設a，b，c為非零實數，
a^2+b^2+c^2=3\
，
a（\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）+b（\frac{1}{c}+\frac{1}{a}）+c（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）=-3\
， 則
a+b+c\
的可能取值有多少個？
此題中，第二個條件的兩側均為零次式，故考慮把-3挪過來直接因式分解
則
\sum_{cyc}（ a（\frac{1}{b}+\frac{1}{c}）+1 ）=\sum_{cyc}（ a（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} ））=0\
故
（a+b+c）（ab+bc +ca）=0\
所以：
（1）
a+b+c=0\
（2）
ab+bc+ca=0\
，
由於
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca=3\
得到
a+b+c=\pm \sqrt3\
注：這個等式左邊一個等號很常見
故有三個取值
例3：若a，b，c能構成三角形三邊長，則_____
A。
\frac{3}{2}\leq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\leq2\
B。
\frac{3}{2}\leq\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2\
C。
\frac{3}{2}<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\leq2\
D。
\frac{3}{2}<\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}<2\
換成a=x+y， b=y+z， c=z+x， 目標式
T=\frac{x+y}{x+y+2z}+\frac{x+z}{x+2y+z}+\frac{y+z}{2x+y+z}\
分式不等式常用柯西不等式變形：
\sum \frac{1}{a_i}\geq \frac{n^2}{\sum a_i}\
\sum \frac{b_i^2}{a_i}\geq \frac{\left（ \sum b_i\right）^2}{\sum a_i}\
\sum \frac{b_i}{a_i}\geq \frac{\left（ \sum b_i\right）^2}{\sum （a_ib_i）}\
目標式
T=\sum （1-\frac{2z}{x+y+2z}）=3-2\sum\frac{z}{x+y+2z}\leq3-2\frac{（x+y+z）^2}{\sum z（x+y+2z）}\
=3-2\frac{（x+y+z）^2}{2（x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx）}<3-2\cdot \frac{1}{2}=2\
注：此為柯西求反號的技巧
或直接放掉分母的2：
T<\sum \frac{x+y}{x+y+z}=2\
目標式
T\geq\frac{（a+b+c）^2}{a（b+c）+b（a+c）+c（a+b）}=\frac{（a+b+c）^2}{2（ab+bc+ca）}\
又
（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\geq3（ab+bc+ca）\
注：這個式子兩邊需要記憶
故
T\geq \frac{3}{2}\
， 當且僅當a=b=c時取等
例4：
x^3-x^{-3}=8\sqrt5\
， 求
x^2+x^{-3}=\
_____
如果直接解x，則需要開三次方，很麻煩
所以考慮左側因式分解，為
（x-x^{-1}）（x^2+1+x^{-2}）=8\sqrt5\
故令
t=x-x^{-1}\
， 則
t^3+3t=8\sqrt5\
左側是單調遞增的
而
t=\sqrt5\
時剛好成立
故
x^2=\sqrt5 x+1\
此時先不用解x，因為目標式
T\
中仍然很複雜
利用原條件得
\
T=x^2+（x^3-8\sqrt5）=x^2+x（\sqrt5 x+1）-8\sqrt5\
T=x^2+（x^3-8\sqrt5）=x^2+x（\sqrt5 x+1）-8\sqrt5\
=。。。=（6+\sqrt5 ）x+1-7\sqrt5\
此時再解x即可。
例5：a+b=1， 求
\frac{1}{a}+\frac{27}{b^3}\
的最小值
直接換元， a=1-b， 然後求導即可。
例6：已知
（a_1-a_2）^2+（a_2-a_3）^2+（a_3-a_4）^2+（a_4-a_5）^2=1\
， 則
a_1-2a_2-a_3+2a_5\
的最大值為
平方和考慮柯西不等式，令
b_i=a_i-a_{i-1}\
然後把目標式
T\
換成
b_i\
表示即可。
注意要驗證一下取等條件。
例7：設
x，y，z\in \R ^*\
，
\sqrt{x^2+y^2}+z=1\
， 則
xy+2xz\
的最大值為
轉換為
x=（1-z）\sin a\
，
y=（1-z）\cos a\
，
再考慮到
\cos ^2x+\sin ^2 x=1\
， 轉化
z=\sin ^2 b\
，
則目標式
T=\cos ^4 b\sin a\cos a+ 2\cos^2 b\sin ^2 b \sin a\
=\cos ^2b\sin a（\cos ^2b\cos a+2\sin ^2 b）\
而對於形如
k\cos ^2x （m\cos^2x+n\sin^2 x）\
的式子，都可以用增項
\frac{n-m}{n-m}\
來放縮
因為
k\cos ^2x （m\cos^2x+n\sin^2 x）=k\frac{n-m}{n-m}\cos ^2x （m\cos^2x+n\sin^2 x）\
=k（m\cos^2x+n\sin^2 x）（n\cos ^2 x-m\cos ^2 x）\frac{1}{n-m}\
\leq \frac{1}{4（n-m）}k［（m\cos^2x+n\sin^2 x）+（n\cos ^2 x-m\cos ^2 x）］^2=\frac{kn^2}{4（n-m）}\
取等條件是
（n-2m）\cos ^2x=n\sin^2 x\
， 由於
\tan ^2 x\
的範圍是
［（0，+\infty）\
，只要
n\geq2m\
即能夠取得
所以
T\leq\frac{1}{4（2-\cos a）}\sin a\cdot 2^2=\frac{sina}{2-\cos a}\
，且可以取等
此時這個式子可以視作斜率，設
P（\cos a， \sin a）\
，
Q（2， 0）\
，則直接畫圖可得
T\leq \frac{1}{\sqrt3}\
例8：
f（x）=\sqrt{x^4-3x^2-6x+13}-\sqrt{x^4-x^2+1}\
的最大值為_____
將兩個根號寫成
\sqrt{（x^2-2）^2+（x-3）^2}-\sqrt{（x^2-1）^1+x^2}\
然後在平面直角座標系中令
A（x，x^2） B（3，2）C（0，1）\
所以得到
f（x）=|AB|-|BC|\leq|BC|=\sqrt{10}\
f（x）=|AB|-|BC|\leq|BC|=\sqrt{10}\
透過畫圖知能取等
例9：對於實數a，存在b，c滿足
a^3-b^3-c^3=3abc， \；a^a=2（b+c）\
， 則實數a的個數為_____
因為
x^3+y^3+z^3-3xyz=（x+y+z）（x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx）\\=（x+y+z）\cdot \frac{1}{2} \left［（x-y）^2+（y-z）^2+（z-x）^2\right］\
所以由第一個條件可知
a-b-c=0或（a+b）^2+（b-c）^2+（a+c）^2=0\
故分別帶入第二個條件，解得a=0或2或-4，存在三個a
例10：實數a，b滿足
（a^2+4）（b^2+1）=10ab-5\
， 則
b（a+\frac{1}{a}）\
的值為_____
條件的左右形式和目標式T太不一樣，故考慮解出a，b
條件只有一個，能解出a，b嗎？
如果配方後全部的和等於0，就相當於得到多個式子等於0了。
所以配方條件，得到
（ab-3）^2+（a-2b）^2=0\
， 則解出
a=2b\
，
b^2=\frac{3}{2}\
，
T=b（2b+\frac{1}{2b}）=2b^2+\frac{1}{2}=\frac{7}{2}\
例11：設函式
f（t）=t^2+2t\
， 則點集
\{（x，y）|f（x）+f（y）\leq 2，f（x）\geq f（y）\}\
所構成圖形的面積是_____
條件一表示圓形，而條件二實則是退化二次曲線——兩條直線之間的區域
兩個條件限制出的範圍，就是下圖中黃色區域
