nCode平均應力修正--GoodmanGerber

作者：由王小布發表于書法時間：2021-10-23

1 理論基礎--

平均應力對於疲勞強度的影響

以下理論內容來源於趙少汴老師的《抗疲勞設計手冊》，如想詳細學習建議看書。本文編輯於語雀，推薦閱讀語雀文件，格式顯示會好一點，連結放在文章最下面。

平均拉應力使疲勞強度和壽命降低，平均壓應力使疲勞強度和壽命增加。

圖 1 -1 平均應力對於疲勞強度的影響

1.1.1 平均拉應力的影響

對於平均拉應力的影響，許多學者提出了不同的極限應力線，其中主要的有如下幾種：

（１）Gerber 拋物線

$\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left [ 1-\left ( \frac{\sigma _{m}}{\sigma _{b}} \right )^{2} \right ]$

（ 2 ）Goodman直線

$\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( 1-\frac{\sigma _{m}}{\sigma _{b}} \right )$

圖 1 -2 疲勞極限曲線圖 1——Gerber拋物線 2——Goodman直線 3——Soderberg直線 4——Smith曲線 5——Серенсен折線

（ 3 ）Soderberg直線

$\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( 1-\frac{\sigma _{m}}{\sigma _{s}} \right )$

（ 4 ）Smith 曲線

$\sigma _{a}=\sigma _{-1}\left ( \frac{1-\sigma _{m}/\sigma _{b}}{1+\sigma _{m}/\sigma _{b}} \right )$

（５）Серенсен折線

－１＜Ｒ＜０時：

$\sigma _{a}=\sigma _{-1}-\psi _{\sigma }\sigma _{m}$

Ｒ＞０時：

$\sigma _{a}=\frac{\sigma _{0}(1+\psi _{b}$

式中

σａ———疲勞極限振幅（ＭＰａ）；

σｍ———平均應力（ＭＰａ）；

σ－１———對稱迴圈下的疲勞極限（ＭＰａ）；

σｂ———抗拉強度（ＭＰａ）；

σｓ———屈服強度（ＭＰａ）；

σ０———脈動迴圈下的疲勞極限（ＭＰａ）；

ψσ———平均應力影響係數；

ψσ′———應力比Ｒ＞０部分的平均應力影響係數。

Серенсен折線中的平均應力影響係數計算公式為：

$\psi _{\sigma }=\frac{2\sigma _{-1}-\sigma _{0}}{\sigma _{0}},\psi _{\sigma }$

這些極限應力線都反映了疲勞極限振幅隨平均拉應力的增加而減小的疲勞試驗結果。研究結果表明，光滑試樣的試驗資料符合於Ｇerber拋物線和Серенсен折線，缺口試樣的試驗資料符合於Ｇoodman直線，而對存在有微動磨損的接頭，則應使用更保守的Ｓoderberg直線或Ｓmith曲線。

由於疲勞破壞多發生在缺口處，而且Ｇoodman直線使用方便，因此在抗疲勞設計中多使用Ｇoodman直線，而將Ｇoodman直線的負斜率稱為平均應力影響係數，其表示式為：

$\psi _{\sigma }=\frac{\sigma _{-1}}{\sigma _{b}}$

這裡需要注意的是，抗疲勞設計中所用的平均應力影響係數為用上式計算出的光滑試樣的平均應力影響係數ψσ，而非缺口試樣的平均應力影響係數ψσＫ，ψσＫ的計算公式為：

$\psi _{\sigma K}=\frac{\sigma _{-1K}}{\sigma _{b}}$

只有在利用下式進行抗疲勞設計時才需要使用ψσＫ：

$n = \frac{\sigma _{-1D}}{\sigma _{a}+\psi _{\sigma K}\sigma _{m}} \geq \left [ n \right ]$

由於結構中都不允許產生宏觀屈服，因此，對上述極限應力線還需附加以如下的屈服條件：

$\sigma _{max}= \sigma _{m}+\sigma _{a}\leq \sigma _{s}$

這時，使用Goodman直線時的疲勞極限線圖如圖所示。

圖 2 考慮屈服條件後的Ｇｏｏｄｍａｎ圖

1.1.2 平均壓應力的影響

平均壓應力使極限應力幅增大。上面所述的５種疲勞極限曲線圖都不能反映極限應力幅隨壓縮平均應力的增大而增大的現象。

書中這部分內容介紹的相對簡單，有興趣可看書。

1.1.3 扭轉平均應力的影響

光滑試樣扭轉平均應力的影響如圖所示，τｍ增加時，τａ並不降低。而缺口試樣扭轉平均應力線的影響如圖所示，符合於Ｇｏｏｄｍａｎ直線。因此缺口試樣的ψτＫ可用下

式計算：

$\psi _{\tau K}=\frac{\tau _{-1K}}{\tau _{bt}}$

式中，τｂｔ為抗扭強度。當缺乏τｂｔ的資料時，對鋼可取τｂｔ＝０。８σｂ，對非鐵金屬可取τｂｔ＝０。７σｂ。

圖 3 光滑試樣扭轉平均應力的影響圖

圖 4 缺口試樣扭轉平均應力的影響

2 nCode中的設定--

MeanStressCorrection

以下理論來自nCode的幫助文件

The main feature of a stress cycle that affects fatigue damage is its range。 Fatigue damage is also influenced by the mean stress of each cycle。 Mean stress correction methods allow the effect of mean stress to be modeled and taken into account in the life prediction。 This section describes the different methods supported。 Whether or not a particular mean stress correction method can be applied depends upon the formulation of the S-N data （SNMethod） that is being used。 The allowable combinations are detailed in the table below：

影響疲勞損傷的應力迴圈的主要特徵是其範圍。疲勞損傷也受每個週期的平均應力的影響。平均應力校正方法允許對平均應力的影響進行建模，並在壽命預測中加以考慮。本節描述支援的不同方法。是否可以採用特定的平均應力修正方法取決於所使用的S-N資料（SNMethod）的公式。允許組合如下表所示：

圖 5 平均應力修正支援的SN法

Each of the mean stress correction methods is described below。

每一種平均應力校正方法如下所述。

None

Mean stress is not taken into account。 This can work with all S-N data types， but if it is to function with MultiMeanCurve or MultiRRatioCurve data， the material dataset must include datasets corresponding to zero mean or R = -1， otherwise an error message is issued。 If a standard SN curve is used， no account is taken of the RR value for that curve； it is used as-is。

平均應力沒有考慮在內。這可以處理所有的S-N資料型別，但如果要處理MultiMeanCurve（多平均應力曲線）或MultiRRatioCurve（多應力比曲線）資料，則材料資料集必須包含對應於零均值或R = -1的資料集，否則將發出錯誤訊息。如果使用標準SN曲線，則不考慮該曲線的RR值；它是按原樣使用的。

Goodman

The Goodman mean stress correction calculates an effective stress amplitude based on the mean stress and UTS of each cycle。 Again， this can work with all S-N data types， but if it is to function with MultiMeanCurve or MultiRRatioCurve data， the material dataset must include datasets corresponding to zero mean or R = -1， otherwise an error message is issued。

Goodman平均應力修正基於每個週期的平均應力和UTS計算有效應力幅值。同樣，這可以用於所有的S-N資料型別，但如果它是用於多應力比曲線或多平均應力曲線資料，材料資料集必須包含對應於零均值或R = -1的資料集，否則將發出錯誤訊息。

In its original form， it is used to calculate an effective stress Se that can be compared to an R = -1 S-N curve， based on the stress amplitude Sa， mean stress Sm and the material UTS：

其原始形式是根據應力幅值Sa、平均應力Sm和材料UTS計算有效應力Se，可與R = -1 S-N曲線進行比較：

$\frac{S_{a}}{S(R=-1)}+\frac{S_{m}}{UTS}=1$

In DesignLife， this has been extended to allow the equivalent stress to be determined for any R-ratio：

在DesignLife中，這已經擴充套件到允許對任何應力比確定等效應力：

$S_{e}(RR)=S_{a}\frac{UTS}{UTS-S_{m}+S_{a}(1+RR)/(1-RR)}$

This is illustrated below：

如下圖所示：

圖6 Goodman曲線

GoodmanTensionOnly

The Goodman correction in the form described above can be rather non-conservative for cycles with compressive mean stresses。GoodmanTensionOnly addresses this by flattening off the constant life curve when the mean stress is compressive，as illustrated below：

上述形式的Goodman校正可以是非保守的對於具有壓縮平均應力的迴圈。GoodmanTensionOnly透過在平均應力是壓縮時使恆定壽命曲線變平來解決這個問題，如下圖所示：

圖 7 GoodmanTensionOnly 曲線

Gerber

The Gerber correction in its original form is similar to Goodman， except that the second term is squared：

Gerber校正的原始形式與Goodman相似，除了第二項是平方：。

$\frac{S_{a}}{S(R=-1)}+\left (\frac{S_{m}}{UTS}) \right )^2=1$

We can then calculate the equivalent stress for any other R-ratio RR：

然後我們可以計算任何其他r比RR的等效應力（公式比較複雜未列出，可以看幫助文件）

Graphically， this looks like：

圖形看起來像這樣：

Graphical interpretation of the Gerber correction in its original form 圖8 Gerber法原始形式的圖解解釋

In practice this is not very realistic， because the reduction in fatigue strength under compressive loading is the same as it is under tensile loading。 The Gerber correction in its original form will in general be rather non-conservative for tensile mean stresses and rather pessimistic for compressive mean stresses。 This is particularly unrealistic， and so the method as implemented in nCodeDT is modified so that for compressive loadings：

在實踐中，這是不太現實的，因為在壓縮載荷下疲勞強度的降低與在拉伸載荷下相同。一般來說，原始形式的格伯修正對於拉平均應力是非保守的，對於壓縮平均應力則是悲觀的。這是特別不現實的，因此在nCodeDT中實現的方法被修改，以便對於壓縮載入：

$\frac{S_{a}}{S(R=-1)}-\left (\frac{S_{m}}{UTS}) \right )^2=1$

Nevertheless， this method （illustrated in Figure 9） is not highly recommended。Also （although this is not likely to be an issue in practice） the user can imagine that this method may have problems finding a unique solution for the equivalent，stress， or any solution at all， when RR （the R-ratio of the test data） lies deep in the compressive region。

然而，這種方法（如圖所示）並不被強烈推薦（不推薦）。使用者也可以想象（儘管這在實踐中不太可能是一個問題）當RR（測試資料的R-ratio）位於深層時，這種方法可能難以找到等效解、應力解或任何解的唯一解抗壓區域。

Modified Gerber mean stress correction as implemented in DesignLife 圖9 改進的Gerber平均應力校正

GerberTensionOnly

This option provides a better solution by flattening off the constant life diagram in the compressive region in the same way as for oodmanTensionOnly。

這個選項提供了一個更好的解決方案，在壓縮區域以相同的方式將常數壽命圖拉平，就像GoodmanTensionOnly。

圖10 GerberTensionOnly曲線

Interpolate

When Interpolate is selected， the mean stress effect will be taken into account by interpolation （or extrapolation） from multiple curves。 The exact method depends upon the S-N data type and the differences are detailed in the section on SNMethod （MultiMeanCurve， MultiRRatioCurve and Haigh）。

當選擇Interpolate時，將透過對多條曲線進行插值（或外推）來考慮平均應力效應。準確的方法取決於S-N資料型別，其差異在SNMethod （MultiMeanCurve， MultiRRatioCurve and Haigh）一節中詳細說明。

FKM

The FKM method as implemented here is based on the method described in the FKM Guideline “Analytical Strength Assessment of Components in Mechanical Engineering”， Tr。 E。 Haibach。 2003。

本文所實現的FKM方法是基於FKM指南“機械零件的分析強度評估”《工程》，海巴赫出版社，2003。

In essence it uses 4 factors M1-4 which define the sensitivity to mean stress in 4 regimes：

從本質上講，它使用了4個因素M1-4，定義了4種狀態下對平均壓力的敏感性：

1R>1

2–infinity <= R < 0

30 <= R < 0。5

40。5 <= R < 1

。。。where R is the stress ratio （min/max） of the loading cycle。 The method allows us to determine the equivalent stress amplitude Seq at a particular material R-ratio， Rref。 The method is illustrated in the form of a constant life or Haigh diagram in Figure 11：

式中R為載入週期的應力比（最小/最大）。該方法允許我們確定在特定材料r比下的等效應力振幅Seq。文中用常數壽命或黑格圖的形式說明了這種方法如下圖：

Graphical representation of the FKM mean stress correction 圖 11 FKM平均應力修正的圖形表示

The values of M1-4 can be determined from material tests or estimated as follows：

M1-4的值可以從材料試驗中確定或按以下方法估計

M1 = 0

M2 = -Mσ

M3 = -Mσ /3

M4 = 0

。。。where the value of Mσis estimated as follows for the supported material types：

Mσ = aM*10-3*Rm + bM

where aM and bM are constants and Rm is the UTS in MPa。Values of aM and bM for the different supported material classes are as follows：

其中，對於支援的材料型別，Mσ的值估計如下：Mσ= aM*10-3*Rm + bM

其中aM和bM為常數，Rm為單位為MPa的UTS（抗拉強度）。不同支援的材料類的aM和bM值如下：

In the software， if M1-4 are undefined， and the material type is one of those listed， all the parameters will be estimated using these rules。 If only M2 is defined， then M1 and M4 will be set to zero and M3 to M2/3。

在軟體中，如果M1-4未定義，且材料型別為所列材料型別之一，則使用這些規則估計所有引數。如果只有M2被定義，那麼M1和M4將被設定為零，M3將被設定為M2/3。

Chaboche

The Chaboche mean stress correction can be used with the Chaboche and ChabocheTransient method。 See “Chaboche” on page 110。

Chaboche平均應力修正可與Chaboche和Chaboche瞬態法結合使用。參見110頁的“Chaboche”。

Walker

The Walker mean stress correction calculates an effective stress amplitude based on the maximum stress， the R Ratio of each cycle and the Walker material parameter Gamma。 This method currently only works with standard S-N data types。 In its original form it is used to calculate an effective stress Se that can be compared to an R = -1 S-N curve， based on the maximum stress amplitude Smax and the R Ratio （RR）：

Walker平均應力校正基於最大應力、每個週期的應力比和Walker材料引數計算有效應力幅值γ。這個方法目前只適用於標準的S-N資料型別。其原始形式是根據最大應力幅值Smax和R比（RR）計算有效應力Se，可與R = -1 S-N曲線進行比較：

$\sigma _{ar}=\sigma _{max}\left ( \frac{1-R}{2} \right )^{\gamma }$

Expressed in terms of the stress amplitude：

用應力幅表示：

$\sigma _{ar}=\sigma _{a}\left ( \frac{2}{1-R} \right )^{\gamma }$

This method uses two parameters GammaP for tensile mean stress cycles and GammaN for negative mean cycles。

該方法採用兩個引數GammaP進行拉伸平均應力迴圈負平均環的GammaN。

3 補充

看完上面的一些資料我覺得平均應力修正的這個事情還是沒有說的很清楚（也可能是自己沒有理解到位），我又蒐集了一些資料，在此基礎上增加一些自己的理解。

因為大多數基本的疲勞資料都是透過R = -1的載入方式在實驗中收集的，但是實際中分析的系統受到的並非R = -1的載入方式，也就是平均應力大多數是不為0的，因此在使用平均應力為0的曲線進行壽命統計時就得進行平均應力修正。

下面這個圖跟上面我們看到的GoodmanTensionOnly 曲線比較類似，我們可以看到這是在指定壽命的情況下得到的一組曲線，比如N是10e7次迴圈，那麼σN就是疲勞極限，當然如果N小於10e7次迴圈，比如是10e3次迴圈，那麼σN就比較大，可能要接近材料的屈服強度，所以這個圖首先是可以根據不同的壽命變化的。橫座標是平均應力，右側是拉伸，左側是壓縮，可以看出隨著平均應力的增加，在恆定壽命時，應力的幅值是變小，所以在平均應力修正時，可以得到某一點在該平均應力下對應於R = -1時的應力幅，再用這個資料去查R = -1時刻的SN曲線就可以進行壽命統計了。