高等數學（一）矩陣的學習筆記一

作者：由 Chenglin Li 發表于書法時間：2020-03-08

1 常數項矩陣對稱

矩陣A為方形；

對角矩陣為對稱矩陣；

以主對角線為對稱軸，各元素對應相等的矩陣；

$a_{ij}=a_{ji}$

；

2 分塊矩陣對稱

假設X， S為對稱矩陣，那麼

$S=\begin{pmatrix} A^TX+XA & XB \\ B^TX & -I \end{pmatrix}\\ S^T=\begin{pmatrix} A^TX+XA & XB \\ B^TX & -I \end{pmatrix}\\$

3 分塊矩陣轉置

$S=\begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}\\S^T=\begin{pmatrix} A^T & C^T \\ B^T & D^T \end{pmatrix}\\$

4 二次型函式

假設P為

$n\times n$

實對稱矩陣，

是由P決定的二次型函式，那麼

若V（x）正定，則稱P為正定，記作P>0。

若V（x）負定，則稱P為負定，記作P<0。

若V（x）半正定，則稱P為半正定，記作P≥0。

若V（x）半負定，則稱P為半負定，記作P≤0。

即：P與V(x)同號！

5 正定矩陣

【廣義的正定矩陣不要求是實對稱矩陣】

A是正定矩陣；

A的一切順序主子式均為正；

A的一切主子式均為正；

A的特徵值均為正；

A滿秩；

6 負定矩陣

矩陣負定的充分必要條件是它的特徵值都小於零；

若矩陣A是n階負定矩陣，則A的偶數階順序主子式大於 0，奇數階順序主子式小於 0；

——2020。03。08——

標簽：矩陣正定負定對稱記作

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