為什麼導數尤拉公式等只有用弧度制才成立？
PHOBIA2019-02-10 23:05:15用角度制會差個係數，就是弧度與角度轉換的係數。
這就好像物理裡換個量綱係數會變一樣，這裡就是換成角度制公式會很醜。
alphacalculus2019-02-10 23:36:11已知
則
![\[\begin{gathered} {{\text{e}}^{ix}} = 1 + ix + \frac{{{{\left( {ix} \right)}^2}}}{{2!}} + \frac{{{{\left( {ix} \right)}^3}}}{{3!}} + \frac{{{{\left( {ix} \right)}^4}}}{{4!}} + \frac{{{{\left( {ix} \right)}^5}}}{{5!}} + ... \hfill \\ = 1 + ix - \frac{{{x^2}}}{{2!}} - \frac{{i{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + \frac{{i{x^5}}}{{5!}} - ... \hfill \\ = \left( {1 - \frac{{{x^2}}}{{2!}} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} - ...} \right) + i\left( {x - \frac{{{x^3}}}{{3!}} + \frac{{{x^5}}}{{5!}} - ...} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/8LbArDoLqCKNkFpAV=-+UEezKGvh3mRdMwQApK7ABHP_VgDPte43tfMjRRTYIUV09yfNa=WUZ9A_xsIdZc75axysLjr-r_Vj1jKj8lSEZEhNOsdPtEk3tFZjRRe__La0mEfNbS_DiEH_7lY17bB37JMs7xkvr_aj2CfBaAwSkw7_tlLPtEq3tFMjRMM__Q=NrwoAGcaEfChNOsgEZc75axeCXHm5ImB=1jmPGcWzejQR7kdDPSZLPTeOYEeNkPiEdgm_=YuPFMO_tlY1ZcrtaxeCXGnk+UnyxMm_-EaPFMY_tlLPte_0-6nBLjMO8BiEd8iOGcWzfChBOFMH-A-rZdMyLjrQr_RhECfNbS_DiEhNPQdDOWZLOZtjvg___LPyxMavGcb_fChBOE7STK43tFMjRMM__LZyxMm_-elCVw-AZaLEawZLOlhPLjrQ8BildHG5oACtejYPZaqzZcdutTeOYEeNVDiEeEfNaW_DhgO_7WiPtEk3tFZsLjm-8BildGoknKoPFMY_tlLPtEq3tFMjRRTgIUU=1jmOHw_Dh82OZaqzawZ8OCmu6GVAr_ZA1j8QGcSgF_hNPQdDPSZLPTeOXyeNkziyEgj_-EyPFMOvZaM_awDG6XyjRRT4Ir3N9Ez_-eoPFR7va-P1Zc_5ak_sLjm-8m3F2CFvGcSyVJZXT-dDOWZLOXeOXJk__QiT1j8QGcWzejkQZaq_Zc7t7XeVv_eNVDiEeEzhHw_=hG-kTIsPtEq3tFmuLjr-nDilej=_-EyPFMO_tlYPtEq3tFMWLjMJr_Vg1j8QHw_ShyH_tcSux=zOZdrULjr-r_VjmEfBbcyPFMO_tlYPtEk3tFMjRMMAr_Zd1j8QGcWzfChkOkPPte_oxljbLjr-r_Vj8_fNa1BPFRhBZaqzZc75ZdrRLjr-r_Vjx_fk=b_DiEhNPQPNawDG6XyjRRT4Ir3N9Ez_-eoPFR7va-P1Zc_5axeCXG+_IIPyEgVvGcW_r_Hha-d=OAIET6tjRMM__LZyxMGOGcSgryhNPQdDPSZLPTeOXyeNkzZyEgj_-EyPFMOvZaM_awZ8OBnVKwt__LZyxMm_-EbEejQRtQdDPSZLPTeOYEeNkPiEdga_=YuPFMO_tlY16bBG6XCjRMZvr_RzL8i3pDyPrgjvZaM_aAc3tfTh6wnAr_ZF2CfNa1B1q_H_tcSux=zOZdrULjr-r_VjmEfBbcoPFMO_tlYPtEk3tFMjRMMVr_Zd1j8QGcWzfChkOkPPte_oxljbLjr-r_Vj1j8-9S_=ijh_tlYPtEk3tFZjRMM__LZl1jmJGcWzejkQa-D16WDGZdrRMCeBkGa0rGWAGcaFfChBOEkuUKb0axeCXCeBkB021jKjoKGdejk--E_tUldE-6ZjRMZvr_Rz1jKQw.jpeg)
根據三角函式在0處的泰勒展式，
得
![\[{{\text{e}}^{ix}} = \cos x + i\sin x\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/aCiDrOCKpXlzH29ycBVtYA6z8CDvsO7pdp=DprA5AyeS0lB_B6tSBI2jVA1tTCH-NKFDo8dHdIMkLRINjkezjU6C+dK1ZFjiJIZiGK0DeXJZIBh_B6TeZOAsH-_tt7HEa+REagXoWb_g4S7j+JJ-W.jpeg)
注意，
只在自變數是弧度制時才成立，這就是為什麼尤拉公式只適用於弧度制的原因。證明如下：
這要求
![\[\mathop {\lim }\limits_{h \to 0} \frac{{\sin \frac{h}{2}}}{{\frac{h}{2}}} = 1 = \mathop {\lim }\limits_{\theta \to 0} \frac{{\sin \theta }}{\theta } = 1\]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/znrURfeVI4Qrwn-k=bnazKmVu6cpdw_3ijbUjPcqs6m0xmnZ+E_mGOEaJC2ph5NggrcixER2WF51-IHXA1mot3m-96OVj40whpzc3+wYX41pCnCVA2dmG6rgBAy8iPXrP=MkEvCnBs1pCnuPv5WmGO+Q=fGswmwKzuMkFHCnB=C0vKBZ+ermG6raJJUr2-WdGzfSRdGDWFEuT2yU8mmosEEaJJDr2-CdGoqixE2GX5ffXBubA1m7snTol+snQImdGoDc3A28SywfXBUbFl1GgJZYsgE3g7zVsFMwEKEYRzmEYuMZ+E+6gvWHBAR9x7zxsq4niPeMuIC0vKVZ+E+szhwgBAy8RSEdi7aixERGWFE2XBUfFl1GiJnal+mXwmwfT=MoFHrPWF51XBibu.jpeg)
（弧度情況下的證明過程見高數教材）
假如不是弧度，則如圖
根據面積關係，有
![\[\begin{gathered} {S_{\Delta AOB}} < {S_{AsBO}} < {S_{\Delta OAC}} \hfill \\ \frac{{{r^2}}}{2}\sin {x^0} < \frac{\pi }{{{{360}^0}}}{r^2}{x^0} < \frac{{{r^2}}}{2}\tan {x^0} \hfill \\ \sin {x^0} < \frac{\pi }{{{{180}^0}}}{x^0} < \tan {x^0} \hfill \\ \left( {0 < {x^0} < {{90}^0}} \right) \hfill \\ \left( {\sin {x^0} < \frac{\pi }{{{{180}^0}}}{x^0}} \right) \hfill \\ 1 < \frac{\pi }{{{{180}^0}}}\frac{{{x^0}}}{{\sin {x^0}}} < \frac{1}{{\cos {x^0}}} \hfill \\ \cos {x^0} < \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} < 1 \hfill \\ - \cos {x^0} > - \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} > - 1 \hfill \\ 1 - \cos {x^0} > 1 - \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} > 0 \hfill \\ \left( {\because 1 - \cos {x^0} = 2{{\sin }^2}\frac{{{x^0}}}{2} < 2\sin \frac{{{x^0}}}{2} < 2\frac{\pi }{{2 \times {{180}^0}}}{x^0} = \frac{\pi }{{{{180}^0}}}{x^0}} \right) \hfill \\ 0 < 1 - \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} < \frac{\pi }{{{{180}^0}}}{x^0} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/5D0F9wDyto_k=F9P8jki=w4O2TThSxsmsKKFrv=ZwVLclgBiTmse62PheMoY=5BNuW4Cc-L88-pcts7JmLq+Opd5D9B-2wSXfEPiw2w+ou1U5ZiScSLe6xHheRHvOGoYFw4CcewBGHlJ8JwTcKdWm64Bqed_TUUPEcBTIkte-wAcIcwjn2fxsHeUpMU_7UHXfEHu007fp-vgstJumLIfN0siEJdvOGsY41yWppIWa8Hk8kICZNLe624wD9BQOGBZEcBj00L6=8Hk9QIAZUSil9dheRyOOGsaiS4Cd6he=wQiAa7_nNM8sp4Bpn4Bmk7NFw4Cd6IWa8Hk8kICZodWMMUAhe4NGJ4Rrc6iwxce-w9cIlciTSMpN0sjhn4NGJ4Tq19iw2I3GHleB-IkZKPe62o=u_KaOGBdEcBT00L6r8Hw9aHiTSYe6xHheRH_7UPIEcBj007f8-eXB-ICZNxe624fD9BQPn4RqALlrvKbHoHw8-IAZKPjOp4Fp-o5DrdXfEyN007I=KHk9QhitSsjN0si3CyXtn4TqW4AcW-iHoHk9QICZodWM94Bpn4Nm9J-iS4Cd6IkbHfcIlciTSYe6xHheRyOOGsaiS4Cd6he=wQiAa7_rQ_ZOp4BpC9_704MEcBj1pIkakpSvIKzGKdkMp4FpJdvPn4RqAuiqgce=LoiAaLTtfPeSxU5D9B-AJ4Rrc6iwxcjGHJdB-ICZodWMMvfD9BQOGsaiS4Cd6IWbKYcIcwxo2qhE64wf8d_70oC4=+z86he-1QcIcDuGKPe62oy31DAOGP-Fw4Cc9IkaVJgskhiTSMXN0sjhe4NGJdXiEUu007fozBq5-ICZodkMW73EJ4NGJ4TqW4Cc9IWa8Hk8WRNtfdWm64Fq96_7UHXfEHiwxce-wBVAa7QtfdWm64Bqed_70oI5KB3L6IpUGYcIcw3njgbl6dheMU_70UPFwdI1pIqaoYcIcwlqj_MN0BSD9sjETvPEcBj00L6GHlJAaLTmLq6S09fD9BQOGsaiS4Cd6IWbKHk9QIAZ-7psvUheRP_7UPXfEyN007I=KHk9QICafdWm64Bpn4Nmr4RqBo489he-wBVAa7QtfdWm64Bqe4NGJdXiEUu007fozBq5-ICZqie6xHheRP_7UPXfeoZ8WDjGHlJlQIAaLje6xHheRH_7UHPEcs_rUqiq-0iAa7_mLIfOpd5D9sjtxTJFw4CcgXe-1H1AaLjGKdqMpdheMoDESKoEcBT00L6GHlJAaLTtLx3N0B_D9sRTJ4TrS4Cd6IWbKHk8kIAZUQiOp4Bqe4BmxDI3KUiwxHe-wAcIcwko2BjN0BSse4BGG6XfEHiwxce-w9cIlHiTSLe6xyCD9sRTJ4TrS4Cd6IWbKYcjlDut9Pe62o23_+gDJdXfeUiw2DjHoYi_ZhiTmSMlWU5D9B-AJ4Rrc6iwxcjGHJfB-hgGKdkMVDw21U_7UPXfEPiwxHe-wA2JgTiTSYe624fD9BQOGBZEcBj00L6GH3dtt6umLq+N0si3CyXtn4TqW4Cc9IkaVJgskhiTSMXN0sjhe4NGJ4TrS4Cd6IWa8Hk8kICZNxe624fD9BQOGBZEcBj1pIqbGYi_ZhIGKdkMVL=41ugPn4Rqw4AcphjHpdi_ZhiTmSMlWU5D9B-AJ4Rrc6iwxcjGHJfBURus9Pe62o=u_KaOGBdEcBT00L6GHlJjaX+mLq+N0sjhe4NGJ4TrS4Cd6IWa8Hw8F-4GKdWm64FpTDkt5UXfEPiwxHe-1JovIPumLq6F64Fq96_7UHXfEHiwxce-wAcIlHiTSMXN0sjhe4NGJ4TrS4Cd6he=wHijQhiTmSht-+y5ed_70UXfeUu1phe-1JZuIqFmLLXOp4Bpn4BmxyX3AKA9VIj=GYaB-IAZ-SaDpdheRyOOGsaiS4Cd6he=w9ijkICZodWM94Fp-o5DrdXfEHiw2IpGHleAa7_nNM8sp4Bpn4Nmr4Tq19iw2I3GHleAaLjmLq+N0BShn4NGJdXiEUuD9IkaVJgskhiTmS-D-KYD9B-OGBdEcBTM6IkbHfcIlciTSYe6xHheRPkOGBZFw4kcphpGH3duH0W7KdWM94Fp-75Pn4TrS4Cc9IWaLAiAa7_rQgctsU5D9B-OGBdic9+00L+GH3fjQICafdWm64Bqe4Nmy9Xfe4+00L+HoHo9QhiTmS-D-KYD9B-OGsYvlvu00L+GHlJAaLTmLq6N0BSh99IOGBZEcsQD6IWbKHk9QICafdWMg9heM4IOGBZEcBj1pIkaVBguEYFmLLYOp4FpTLDl5ukFw4AcpIkaoYiBUTumLSfOqJ5g8d_70oiv=KZ00L6GHlJAaLTmLq6S09fD9BQOGsaiS4Cd6IWbKHk9QICZodkMW73EJ4NGJ4RqADxpvDe-wAcIlHiTmSq=vZ5D9B-AJ4Rrc6iwxce-w9cIlciTSLe6xPheRyOOGsaiS4Cd6IWbKHk9QhitSsjN0si3CyXtn4TqW4AcW-iHoHk9QICZodWM94Bpn4Nm9J-iS4Cd6IkbHfcIlciTSYe6xHheRyOOGsaiS4Cd6he-1JzusjzpfPe62UheMUvPn4RqAsPq6IWaTlq=tYiqjI5N0B_EJ4Bmn4RrQfhn.jpeg)
夾逼定理得
![\[\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{{x^0} \to 0} \left( {1 - \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}}} \right) = 0 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{{x^0} \to 0} \frac{{{{180}^0}}}{\pi }\frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} = 1 \hfill \\ \mathop {\lim }\limits_{{x^0} \to 0} \frac{{\sin {x^0}}}{{{x^0}}} = \frac{\pi }{{{{180}^0}}} \hfill \\ \end{gathered} \]](https://img.heatask.com/upload/website_attach/_JS=ItuMMvGofv6vIv=GcsVL+7IBJ5hWRgA=f+4ByoUm+BsDyb+OPa70_Nv-SZ-8j=wEUvoweJQme1dV7ZTy7SDfrB_O-Z13_ILcpTbERlV7SubqeY9OPt-0_NvATZn8RJOqoZojKCI3+yZ2-Z1OPt-frB_Ow1eLe2wEwjNyOOz9baI17ZxD7SVrkD2HJULF2NOvIvhVKCI36x7N7ZTi6YIu4BDZXw-BwBWh1jbES3VoTyZ4-jOlSwVpkn5mYhPuE2wlUDKTZh0mP4qDy=xOPazlJg8HXw-PS2wlwZiyO6-mP4kDy=FOPt70_KWNv3VvwBWh1jbES3VoTyZ4-jOlT_D0_NvQTZ-rR2wThYNym6-cGyBDyb4mbuAmK2mNvkIF2Nm2pTNyOOzLabVpeE106YIurB_O-1GDxuwEwjblRnXadaO1fldOPt70_KXlXwhCe2wEwjNyOOz6diBx7ZTy7SVpk7SQRZIF2KJyg=8yO67mP4qkzz1OPt-0_NzZXw-BwBegoZogKCI36xdEfsz06YI2rB_OSqVjhuwEUxbERlV7Sv_qex9OPtn8rB_yKPPuE2wEwjbES3VoSRZ4TxOlSmj0_NzZXw-BwBegoZog6vVsTyBknTOtSlQ6JghAYhP4DuwlUTN26vV7Suti+s=Ae_D0_KWNvk5l_g12oZogKCZGd2O=dIASZSVrk=z=Cq=F2NwcoZog6vV7SvVsn-1OPt-frB_OSqVjhuwEUxbERlV7Sv_qex9OPtn8rB_yKPPuE2wEwjbES3VoSRZ4TxOlSmj0_NzZXw-BwBegoZog6vVsTyBDyb45euNBrBwhXwhAQIV2oZogKCI36x7N7ZTi6YIu4BDZXw-BwBWh1jbES3VoTyZ4-j9OPazcI+0A-PLF2Nmygbu26vV7SudvcjOlSuIE7IENU0hXwBegpTblRvV7TONlj.jpeg)
從而導致
Euler‘s Formula for Complex Numbers
https：//www。
quora。com/Both-radians-
and-degrees-are-dimensionless-then-why-cant-we-write-e-180i-1
李狗嗨2019-02-15 09:15:53並不是說角度制度不行，而是因為角度制不是一種
客觀的角度表達方法
。這種不客觀會帶來不同人計算得到的結果不一致的現象，如果將以一圈360°定義的角度乘以
再除以180°，照樣也能帶入計算，你就發現，其實是轉化成了弧度制。但是，你認為一圈是360°，那你應該先了解為什麼一圈就是360°，能不能是別的度數？
我們習慣於用
形容轉一圈的角度，但當學習進一步深入，你自然會發現——“弧度讓數學更簡單！”那這是為什麼呢？
首先說說為什麼一圈是
。
我們將地球繞太陽一週定義為理論上的一年。其實際所需的時間約為
天，人們為了取整方便，就定義了閏年，每隔4年出現一次，在
天的基礎上加一天，正好也能夠補償前
年所累計的誤差。
那有人就會問了，既然如此，為什麼一圈是
，而不是
或是
？
因為
容易被整除，
的真因數除了
和自身以外，一共有
個（2、3、4、5、6、8、9、10、12、15、18、20、24、30、36、40、45、60、72、90、120、180），所以很多特殊角的角度都是整數。另外，這也更加符合以
為進位制的“
巴比倫數字
”
［1］
系統。
如果說這還不具有說服力，還有一個例子，就是中國的
二十八星宿
（xiu，讀第四音）。（看到這張圖，突然想到了“物華天寶，龍光射牛鬥之墟；人傑地靈，徐孺下陳蕃之榻”。）
（圖片來源：Wikipedia）
由於月球繞行地球一週為
日，所行路徑為白道（與黃道夾角
），古人將白道圈分成
段，即將黃道和天赤道附近的天區劃分為二十八個區域，因此月球大約每日可入宿到
段中的一個星宿內。二十八宿又分為四組，每組七宿，與東西南北四個方位和青龍、白虎、朱雀、玄武四種動物形象相配，稱為四象
［2］
。
（圖片來源：Wikipedia）
（圖片來源：Wikipedia）
而因為
潮汐鎖定
［3］
而形成月球的同步自轉（自轉週期和公轉週期相等），導致月球永遠只能一面面對地球（當然這一特點和星宿劃分並沒有什麼直接關係）。
（圖片來源：Wikipedia）
總之，星宿就是以行星、恆星運動週期來劃分圓周的一個典型例子。
中國人看星宿，西方人看星座。下圖是
年一年間紐約夜空所觀察到的大熊座（Great Bear，
中國稱為北斗七星
）的位置變化情況。可以看出，每過一年就會迴圈一圈
［4］
。
（圖片來源：Betterexplained）
以繞太陽一週為週期似乎是一個不錯的方法，對於生活在地球上的人類來說，這很自然。但如果參考標準變化，就會發現這樣的劃分其實摻雜了太多的
人為因素
。
例如，如果人類生活在火星，而不是地球上，或許人們就會把一個圓周定為
，因為一個火星年大約是
天。而對於某些建築或土木工程人員，他們可能更習慣用梯度，即將一個圓周劃分為
份
［5］
。
（圖片來源：Wikipedia）
為了避免這種任意性所帶來的標準不統一，人們需要一個新的定義來定義角度。因此有了“弧度”的概念，如下圖，圓的一圈（不管圓的半徑大小，角度都是
弧度），這是因為圓的直半徑與周長之間的恆定的比例關係造成的，詳細證明可見：古人是如何尋找到π的？。
弧度定義的演示 （圖片來源： http：//1ucasvb。tumblr。com）
可以把“
度數
”的定義視為是一種以自己為中心來看待角度問題的方法，而將“
弧度
”的定義視為是一種站在他人立場上看待角度問題的方法。聽起來有些繞口。
舉個例子，你站在操場中心，另一個人與你之間有一定的距離且繞著你沿圓周跑步，你要做的就是保持你的臉始終朝向那個人。假設那個人跑的長度為
，根據你和那個人之間的距離
就可以計算出你的頭偏轉的角度。
（圖片來源：Betterexplained）
也就是說“度數”關心的是
你的頭偏轉的角度
，而“弧度”則關心的是
那個人奔跑的距離
。其本質區別在於參考物件變了。
弧度的定義就是：以某一點為中心（圓心點，對應於上圖中的藍色圓圈），運動點（對應於上圖中的紅色圓圈）繞圓心點做圓周運動的長度除以運動點到圓心點的距離。
通常寫為下式：
因此，一圈是
或
弧度，1弧度約為
。
那麼，弧度為什麼會給工程帶來方便呢？其原因就在於弧度是站在“運動點”的角度看問題，而不是站在“圓心點”的角度看問題。
例如，在測量某些轉速時，人們通常使用的是rpm（Revolutions per minute），即每分鐘多少轉，而不是每秒鐘或每分鐘多少度。
舉一個更具體的例子，就能感受到弧度到底方便之處。假設你有一輛汽車，汽車輪胎半徑2米（誇張一下），先用角度的概念提問，若車輪每秒轉
，問汽車前進的速度有多快？
計算方法是：
1、計算每秒輪胎轉過的圈數：
圈；
2、計算每秒轉過的周長：
。
現在用弧度的概念提問，若車輪每秒轉
弧度，問汽車前進的速度有多快？
計算方法是：
直接用輪胎半徑乘以每秒轉動的弧度：
。
嗯嗯，這樣方便多了。果然老司機。
最重要的是：弧度的角度定義更加客觀，其採用圓周率的不變性來定義，這是圓自身的固有性質決定的，比任意找個數值作為一圈的度數當然更合適。
對於圓周率的不變性證明可以看：
李狗嗨：古人是如何尋找到π的？
知乎使用者2019-02-18 12:46:00以求導為例簡單說一下吧。
角度制下對sinx求導數，會發現等於某個係數乘以cosx。那麼如果換個制能不能把這個係數消掉呢？還真的可以。於是就可以定義使sinx求導等於cosx的那個製為弧度制。
知乎使用者3yx72Z2020-04-09 10:01:04笑看數學——弧度制是必須的！
