學渣的學習日記——偏微分方程（2）波動方程

作者：由毛熊kuma 發表于農業時間：2020-05-25

這篇文章主要講雙曲型微分方程：一維波動方程。

一維波動方程形式（自由波動）：

$\dfrac {\partial ^{2}u\left( x,t\right) }{\partial t^{2}}=c^{2}\dfrac {\partial ^{2}u\left( x,t\right) }{\partial x^{2}}$

（1）

因為時間 t 不計入維度，所以波動方程是一維的。

涉及到兩個解法：達朗貝爾和傅立葉

————————達朗貝爾解法（行波解法）分割線——————————

透過達朗貝爾得出一般解：

$u\left( x,t\right) =F\left( x-ct\right)+ G\left( x+ct\right)$

（2）

隨著時間 t 的增加：

函式 F 表示

$u\left( x,t\right)$

在座標上右移，速度為 c

函式 G 表示

$u\left( x,t\right)$

在座標上左移，速度為c

當然了，兩個函式加起來就是兩個獨立的波進行疊加。

1， F，G是兩個二階可導且b無必然聯絡的函式

2，c為波的傳播速度（t的導數）

3，弦上的任意擾動總是以行波的形式向相反的d兩個方向傳播

柯西（Cauchy）問題的的達朗貝爾（D‘Alembert）公式：

（PS：柯西問題是指偏微分方程中，只有初始條件，沒有邊界條件的定解問題）

初始條件：

$u\left( x,0\right) =\varphi \left( x\right)$

$u_{t}\left( x,0\right) =\psi \left( x\right)$

則有：

$u\left( x,t\right) =\dfrac {1}{2c}\int ^{x+ct}_{x-ct}\psi \left( \tau \right) d\tau +\dfrac {1}{2}\left( \varphi \left( x-ct\right) +\varphi \left( x+ct\right) \right)$

—————————————混合問題的傅立葉解———————————

傅立葉解法是透過解出一系列駐波

$u_{n}\left( x,t\right)$

並進行疊加，最後得出

$u\left( x,t\right)$

問題：研究長為l，兩端（x = 0， x = l）固定的弦的微小振動現象。

給出下列條件：

$\dfrac {\partial ^{2}u\left( x,t\right) }{\partial t^{2}}=c^{2}\dfrac {\partial ^{2}u\left( x,t\right) }{\partial x^{2}}$

$u\left( 0,t\right) =u\left(l,t\right)=0$

（邊界條件，

邊界條件非常重要

）

$u\left( x,0\right) =\varphi \left( x\right)$

；

$\dfrac {\partial u}{\partial t}=\psi \left( x\right)$

（初始位移函式，初始速度函式）

分析：

已知

$u\left( x,t\right) =A\left( t\right) \sin \omega x$

步驟：

運用分離變數法（將多元函式分解為若干個一元函式）

PS：方程與邊界條件均為齊次時可用分離變數法

一、將上述函式變為：

$u\left( x,t\right) =T\left( t\right) X\left(x\right)$

將（1）變為二階常微分方程：

$\dfrac {T$

二、求特徵值

$\lambda$

和特徵函式

$X\left( x\right)，T\left( t\right)$

特徵方程為：

$\alpha ^2 X(x)-\lambda =0$

此時，有三種解，經過證明需考慮兩種：

1、

$\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha$

$X(x)=C_1 e^{\alpha_1 x}+C_2 e^{\alpha_2 x}$

帶入邊界條件，無解

2、

$\alpha_{1}=\beta+i\gamma;\alpha_{2}=\beta -i\gamma$

$X(x)=e^{\beta x}(C_1 cos\gamma x+C_2 sin\gamma x)$

帶入邊界條件，得

$C_1=0;\gamma=\dfrac {n\pi}{l}$

則

$\lambda = -\beta ^2 =-\alpha ^2=-(\dfrac{n\pi }{l})^2$

，帶入

最後

$T(t)=k_{1}\cos\dfrac {nct\pi }{l}+k_{2}\sin\dfrac {nct\pi }{l}$

；

$X(x)=C_2 sin\dfrac{n\pi x}{l}$

因為n的取值不同，cos和sin的週期也不同，記為

$T_n(t)=k_{1n}\cos\dfrac {nct\pi }{l}+k_{2n}\sin\dfrac {nct\pi }{l}$

$X_n(x)=C_2 sin\dfrac{n\pi x}{l}$

之後根據疊加原理求得：

$u\left( x,t\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}u_{n}\left( x,t\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}\left(A_{n}\cos\dfrac {nct\pi }{l}+B_{n}\sin\dfrac {nct\pi }{l} \right) sin\dfrac {nx\pi }{l}$

其中

$A_{n},B_{n}$

均為任意常數。

三、利用初值求得定解問題的解

根據初值條件透過

傅立葉級數

來確定

$A_{n}和B_{n}$

————————————————————————————

這部分還是有點複雜，一步一步來：

首先，sin是偶函式，cos是奇函式。奇X奇=偶，偶X偶=奇，奇X偶=偶X奇=奇

其次，傅立葉級數如下所示：

$f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1}\left( a_{n}\cos \dfrac {n\pi }{l}x+ b_{n}\sin\dfrac {n\pi }{l}x\right)$

$a_{n}=\dfrac {1}{l}\int ^{l}_{-l}f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi }{l}xdx$

（n=0，1，2，。。。）

$b_{n}=\dfrac {1}{l}\int ^{l}_{-l}f\left( x\right) \sin \dfrac {n\pi }{l}xdx$

（n=1，2，3，。。。）

當f（x）為奇函式時：

$a_{n}=0$

$b_{n}=\dfrac {2}{l}\int ^{l}_{0}f\left( x\right) \sin \dfrac {n\pi }{l}xdx$

正弦級數為：

$f\left( x\right) =\sum ^{\infty }_{n=1} b_{n}\sin\dfrac {n\pi }{l}x$

當f（x）為偶函式時：

$a_{n}=\dfrac {2}{l}\int ^{l}_{0}f\left( x\right) \cos \dfrac {n\pi }{l}xdx$

$b_{n}=0$

餘弦級數為：

$f\left( x\right) =\dfrac {a_{0}}{2}+\sum ^{\infty }_{n=1} a_{n}\cos \dfrac {n\pi }{l}x$

——————————————————————————

回到該題，

由初始條件

$\dfrac {\partial u}{\partial t}=\psi \left( x\right) ；u\left( x,0\right) =\varphi \left( x\right)$

令t = 0

則：

$\psi \left( x\right)=\sum ^{\infty }_{n=1}B_{n}\dfrac {cn\pi }{l}sin\dfrac {n\pi }{l}x$

；

$\phi \left( x\right)=\sum ^{\infty }_{n=1}A_{n}sin\dfrac {n\pi }{l}x$

可見等式右邊均為正弦級數，將等式左邊進行傅立葉展開

$A_{n}=\dfrac {2}{l}\int ^{l}_{0}\varphi \left( x\right) \sin \dfrac {n\pi }{l}xdx$

$B_{n}=\dfrac {2}{cn\pi}\int ^{l}_{0}\psi \left( x\right) \sin \dfrac {n\pi }{l}xdx$

至此，求解完成。

————彩蛋————

當邊界條件改為：

$u_{x}(0,t)=0$

$u_{x}(l,t)=0$

則

$u_{x}(x,t)=X(x)T(t)$

那麼

$\dfrac {T$

對於

$X(n)=C_1cosx\beta+C_2sinx\beta$

帶入邊值條件

；

$\beta=\dfrac {n\pi}{l}$

（注意，此時和上面例子的值不一樣了）

$X_n(x)=C_1 cos\dfrac{n\pi x}{l}$

將

$\lambda = -\beta ^2 =-(\dfrac{n\pi }{l})^2$

帶入

，有

$T_n(t)=k_{1n}\cos\dfrac {nct\pi }{l}+k_{2n}\sin\dfrac {nct\pi }{l}$

但是，當 #FormatImgID_66# 時，

則有

，帶入邊界條件，無解。

帶入

有：

$T_0 (t)=k_{10}+k_{20}t$

$u\left( x,t\right) =\sum ^{\infty }_{n=1}u_{n}\left( x,t\right) =A_0+B_0t+\sum ^{\infty }_{n=1}\left(A_{n}\cos\dfrac {nct\pi }{l}+B_{n}\sin\dfrac {nct\pi }{l} \right) cos\dfrac {nx\pi }{l}$