（大四）板殼理論——薄板的小撓度彎曲
接著上一次寫的內容：
QuYln：板殼理論——Kirchhoff–Love Plate Theory
本次寫三個部分：
（1）控制方程的推導思路；
（2）邊界條件的推導思路；
（3）簡單小撓度彎曲的算例；
一、控制方程的推導思路：
1。首先給出小撓度彎曲的控制方程：
，這個控制方程其實是由“板面的邊界條件”得來的，即：
，下表面的邊界條件是恆等式零，故沒有意義。
2。接下來，說幾個注意事項：
（1）
是非常小的應力，“擠壓應力”，就像材料力學建立“伯努利-尤拉梁”一樣，直接忽略掉了擠壓應力，板殼理論作為“應用彈性力學”，在此處
忽略掉了擠壓應力的影響
，得到假設
，即不考慮板厚度方向上的應變，以中面該點的位移來代表板厚度方向上各點的位移，但是
作為影響平衡的關鍵，不能忽略不計。
（2）
也是非常小的應力，也忽略其影響，但本身由於起到維持平衡的作用，故不能忽略。由此得到的假設是：
為零，體會其物理含義，切應變會影響法線的角度變化，角度不統一，得到的法向也不同，忽略了這個現象，得到
直法線假定
。
3。方程的推導思路：
前面都說了，控制方程是擠壓應力的邊界條件，那麼現在的問題就是
求出擠壓應力
。
（1）由於基爾霍夫假定中對且應變的假設，使得按位移求解的三個未知量
的獨立性消失，僅保留一個獨立的未知量
。
，因此：
，由此可得
；
，右由於中面假定沒有水平位移，所以：
，另外，
；
（2）已知，獨立的未知量為
，再加上假定，所以唯一的位移未知量為
。
有了位移，可以透過
幾何關係
，得到相應的應變：
，曲率一定，可見應變呈線性分佈；
，曲率一定，可見應變呈線性分佈；
，扭率一定，可見應變呈線性分佈；
（3）得到了由縱向位移表示的應變後，再由
本構關係
得到應力：
，可見，x方向正應力也呈線性分佈；
由此，可以得到其餘的兩個應力：
，y方向正應力呈線性分佈；
，切應力呈線性分佈；
（4）最終要轉向為擠壓應力，於是可以透過
平衡方程
來聯絡各個應力：
此處是把體力和下表面的面力等效成了上表面的面力，於是平衡方程中不包含體力項。
另外，要注意的是，只考慮橫向荷載，不考慮平行於中面的載荷，平行於中面的載荷可以由疊加原理重新新增一個“平面應力問題”。
透過平衡方程，先確定與z有關的兩個切應力，由於存在積分，可以透過邊界條件來確定待定函式，再透過與z有關的兩個切應力來確定z方向的擠壓應力，同樣的，透過邊界條件來確定待定函式，有了擠壓應力，即得到了控制方程。
得出的結論是：
兩個切應力沿著厚度方向呈
二次分佈
；
擠壓應力沿著厚度方向呈
三次分佈
；
