數學筆記2：費馬大定理n=4時的證明思路

x^4+y^4=z^4是著名的費馬猜想的次數等於4的情形，以下證明這個等式不成立必須先了解下列三個知識要點：

1：

奇數的偶次方除以4餘1，偶數的偶次方除以4餘1,偶數的偶數次方除以4餘0。實際上是這樣的感覺：

看起來很直覺，證明呢奇數的通式是2n+1，所以平方後展開就是：

4n^2+4n+1=4n（n+1）+1

在上式中可以看出，奇數2n+1除以4後商為4n餘數為1。

至於偶數的偶次方除以4餘0，那就是4n^2除以4，顯然是能被4整除的。

2：

若等式a+b=c成立，則任意兩個數公約數也是另一個數的公約數

觀察6+9=15，左側的公約數是3，而右側的15=3*5也含有這個公約數。

也就是說若a和b若有公約數k，就可以分解為a1*k和b1*k

則a1*k+b1*k=c，成立，於是c=k（a1+b1）顯然c中必然包含了公約數k。同理把a，b換成b，c或a，c也成立。

此外關於該等式還有一個常識要記住：

偶數+偶數=（只能是）偶數

奇數+奇數=（只能是）偶數

3：

若一個四次方數能分解為兩個4次方數，且這兩個數之間有最大公約數2，則其中一個含有2的奇數次方，另一個數含有8的奇數次方，且兩數中2的奇數次方後的數一定是奇數，且這兩個數互素。

例項如下：

兩數之間沒有公約數時的例子：

兩數之間存在最大公約數2時的例子：

下面進入最後的衝刺階段，首先分析等式兩邊的的數可能出現的奇偶的情況：

①

偶+偶=奇 根據預備知識2，這是不可能的

②

奇 +奇 =奇 根據預備知識2，這也是不可能的，那麼可能出現的情況如下：

ⅰ奇+ 奇 =偶

ⅱ 奇 +偶 =奇

ⅲ 偶+奇 =奇

a，關於第i種情況可以用預備知識1來證明其是不能的，因為奇數的偶次方除以4的餘數為1，所以左邊的兩個奇數除以4的餘數之和為2，而右側的偶數的偶數次方除以4的餘數則為0，這樣就會在尾數中出現2=0的矛盾的情況，所以就證明了這種情況下等式是不成立的。

b，現在只剩下後兩種情況了，這兩種情況是可以互換的，所以只用證明其中一種情況就可以了。

為了方便起見令

則原式可以改寫為如下形式：

並選擇x是偶數，y是奇數，z是奇數的情況，移項得：

因式分解左側：

我們注意到：

①

仔細觀察式子①根據預備知識2，等式左側兩數若有公約數，則右側必含有此公約數；反之等式右側若含有公約數，則左側兩數也必含有這個公約數。現在等式右側含有公約數2，證明了等式左側兩數也分別含有公約數2。

於是根據預備知識3，我們便可以作出如下假設，且u和v互素：

兩式相減得：

②

觀察上式，我們之前假設y是奇數，則左側除以4餘1，右側的4u^4項除以4的餘數為0，而根據預備知識緊隨2之後的因數一定奇數，所以該數除以4餘-1，也就是出現了左右兩側餘數不等的矛盾，因此該等式不成立。

下面我們重新假設把因子對換一下：

兩式相減得：

移項得：

因為

和

的和為2*u^2，其中含有因數2，因此兩數中必各含有因數2，所以可以做如下假設：

兩式相加得：

於是我們又得到了一組新的且比原來還小一組滿足等式的數r，s，u：

這是與我們做出的x，y，z是滿足方程的最小一組數的假設是矛盾的，所以原假設是不成立的，所以就反向證明了

一整數的四次冪不可能分解為兩整數的四次冪之和這一命題。