物理量子論中所提出的“維”究竟是什麼？

偷渡失敗的語冰醬2022-09-10 16:16:58

一個簡單的幾何定義：在一個空間內，過一點最多能做的互相垂直的直線的數量，就是這個空間具有的“維度”。例如：你在紙上過一點只能畫兩條互相垂直的直線，所以紙面是二維空間；而在現實空間中你可以過一點畫三條互相垂直的直線，因此現實空間是三維的。

一個簡單的代數定義：描述一個空間中任意一點的位置所需要的最少的變數數，就是這個空間具有的“維度”。例如：描述紙上一點的位置，我們只需要（x，y）這樣的一組兩個變數就可以了，所以紙面是二維空間；而你要描述地球上任意一點的位置，你則需要（經度，緯度，海拔）這樣一組三個變數，所以地球是三維的。

上面是維度的最初含義，而在量子物理中，維度擁有了更多的意義。

在量子物理中經常會出現一個叫做“希爾伯特空間”的概念，這是一個從數學匯出的概念，並在量子物理中大量使用。它是將低維物體轉化成高維希爾伯特空間中向量的一種處理方法，可以大幅減少各類波函式或者積分計算的難度。

那是怎麼做到的呢。上面說過，在三維空間描述一點的位置需要用到三個變數，對於任意一個三維空間中的點，一組（x，y，z）就包含了它的全部資訊。那現在我們不僅要描述這個點的位置，我還想描述這個位置上一個粒子的運動狀態，我要怎麼辦？

你當然很快就可以說出答案：只要在（x，y，z）之外再加上一個代表速度的量就可以了。但是速度是具有方向的，我們要怎麼表示它的方向呢？

學過向量知識的你同樣可以很快給出答案：規定一組正交基，然後用三個數分別表示該粒子在每個基底方向上的速度就可以了，就像規定一個座標系用三個數字表示位置一樣簡單。

這樣一來，我們只需要使用像（x，y，z，v₀，v₁，v₂）這樣的一組六個變數就可以完整描述空間內一個粒子的位置和運動狀態或者說一個向量。

那麼心細的你想必已經發現了：（x，y，z，v₀，v₁，v₂）這樣的一組變數本身只是六個數字，它的含義完全取決於我們所規定的座標系和正交基；那如果我們在一個六維空間內描述一個點的位置，同樣也只需要六個變數，只要我們取合適的座標軸和正交基，這兩組變數可以在數值上完全相等。

透過這樣的小技巧，我們就把一個三維空間中運動的粒子轉化成了六維空間中一個靜止的點，而這個六維空間就是這個三維粒子對應的“希爾伯特空間”。但是一個粒子並不止只有位置和速度，它會具有很多的屬性，比如電荷量，比如自旋等等，這些屬性都稱為粒子的“自由度”，在低維空間，我們想要完整的描述一個粒子就必須為它每一個自由度都設定好基底，但在“希爾伯特空間中”我們只需要為它增加一維就夠了。

因此在量子物理中，維度也代表自由度。像之前完成的“高維量子隱形傳態”其實指的就是：“高自由度量子隱形傳態”。