微積分基礎教程 第2.2期 函式的極限（一）函式極限的基本概念
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在上一期我們講到了極限的基本概念，引入了
語言來嚴格定義了什麼叫作
數列的極限
，也就是一串數列會很接近一個數。在這一期中我們將引入所謂
函式的極限
的概念。
函式的極限
還記得我們為什麼要引入極限的概念的嗎？目的是為了表示“兩個數可以充分地接近”，結合之前提到過的
函式的概念
，對於某個函式
，表示的是自變數
確定下來以後，
也會隨之唯一確定下來。
那麼就有了這麼一個問題：
當
趨近於某個固定的數
的時候，是否會伴隨著
也趨近於某個固定的數
呢？
也就是
時，是否有
？
可以稍微想一些例子，拋開之前所說的
語言不管，我們現在就用很直觀的想法來考慮“接近”這麼一個概念。
比如說給定這樣一個函式關係：
，
永遠是
的兩倍。那麼我們考慮
越來越靠近某個數，比如說
越來越靠近1的時候，是否有
也越來越接近某個數，直觀上來想
應該是越來越接近2的。
那我們可以看到
的時候
，跟2相差了0。2
再靠近一點，比方說
的時候，就有
離2稍微接近了一些，差距變成了0。02
再靠近一些，取
的時候，發現這時候
離2更加接近了，因為差距只有0。002了。
其實我們還可以再多試一些資料，當然，上面取的這些
都是比1要大的，我們也可以換比1小的一些數來讓
不停地接近1，比如說讓
取0。9，0。99，0。999，0。9999…等等
發現對應的
會變成1。8，1。98，1。998，1。9998…反正也是越來越靠近2了。
所以我們可以類比數列極限的概念，建立起所謂
函式的極限
的概念：
對於某個函式
，當
很接近某個數
的時候，如果
同時也會很接近某個
，我們就說這個函式
當
時具有極限
。
下面就是要用嚴謹的數學語言來敘述一遍這個話。
比如，在數學課本上我們不能直接說“很接近”，這個概念太模糊了。
而且，我們也知道函式可能在某些地方沒有定義，比如說
在
的時候是沒有意義的，所以我們不能簡單粗暴地對
這個函式說“在0的附近的函式值”這樣的話，因為它根本就無法在小於0的附近有意義。所以需要在定義的時候補充上“函式在
附近有意義”這句話。
同時，為了嚴謹地表示“
附近”這個概念，我們需要引入“去心
鄰域”的概念：
的去心
鄰域指的是：
所有跟 #FormatImgID_45# 的距離小於 #FormatImgID_46# 同時又不是 #FormatImgID_47# 的數
。
比如“0的去心1鄰域”指的就是滿足
或者
的所有數全體。
（說白了就是“
附近的一些數”）
現在我們可以給出函式極限的一個合理定義了，以下的定義方法我們又叫作
#FormatImgID_51# 語言
函式的極限的定義：
假設函式
在
的某個去心鄰域內有定義
如果存在常數
，使得對任意的
，總存在正數
，
只要
，就有
我們就說
時函式
具有極限
，寫作
，或者
函式極限可能不存在
看了以上內容你是否會覺得，如果我們宣告兩個變數
和
，並且他們之間存在一個函式關係
。當我們一開始固定好某個數
，並且讓自變數
無限地接近
的時候，對應的應變數
也一定會無限地接近某個固定的數
？
答案是否定的。
我們來看下面這樣的一個例子：
函式
那麼我們不難發現
①如果我們取比0大的一些數來不停地靠近0，就比如說以
取0。1，0。01，0。001…的例子，它們都比0大，並且和0越來越接近。那麼根據這個函式的定義，在
的時候，
，也就是無論如何
都和
一模一樣，那麼
#FormatImgID_78# 以比0大的方式接近0的時候， #FormatImgID_79#會越來越接近0。
②現在我們換一種“接近0的方法”，用比0更小的一些數來接近，就比如
取-0。1，-0。01，-0。001…這樣的方式來接近0，結合這個函式的定義，在
的時候，
和
之間的函式關係是
。那麼在這種接近方式下，
對應的
的取值應該是0。9，0。99，0。999…不難看出
#FormatImgID_86#以比0小的方式接近0的時候， #FormatImgID_87# 會越來越接近1。
於是我們發現了這樣的現象：
對於這個例子的函式來說，我們選取
接近0的方式不一樣，發現對應的
並沒有接近到某個固定的數
，而是在一種方式下會越來越接近0，另一種方式下反而越來越接近1了。
為了更直觀一點，我們不妨看一下這個函式的影象：
注意圖中的兩個紅色箭頭，
下面的箭頭表示了
以大於0的方式趨近於0的時候，
會趨近於0
上面的箭頭表示了
以小於0的方式趨近於0的時候，
會趨近於1
所以在這個例子中，函式
在
時候的
極限不存在
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