一、向量代數和空間解析幾何
線性代數與空間解析幾何第二版答案
向量代數
向量的相加:交換律和結合律、三角不等式
向量的數乘:兩個向量可以互由數乘得到,則兩向量共線
向量的減法:與反向量相加
向量的內積:
,交換律、分配律、數乘結合律。垂直等價於內積為0。
向量的叉乘:
,反交換律、分配律、數乘結合律。共線等價於叉乘為零向量。叉乘向量垂直於
和
,右手四指從
握向
。
叉乘:(
)
向量的混合積:
絕對值都代表平行六面體體積。
夾角:(
)
投影:在誰上的投影就除誰,
例如:求
在
上的投影
用處:
判斷兩向量是否共線(叉乘是否為零向量)
判斷三向量是否共面(混合積是否為零向量)
空間平面方程
1。點法式方程:
,所以如果
,
,那麼一般表示式為:
2。一般式方程:
到該平面的距離為
鳩摩羅青木:向量法求點到平面的距離
兩平行平面之間的距離為:
3。另外還有三點式方程(由混合積得出,可以用一般式方程待定係數法解決):
這可以寫作:
4。截距式:
5。兩平面平行——係數成比例
兩平面之間的夾角就是它們法向量的夾角,
兩平面垂直:
,也就是法向量內積為0。
空間的直線方程
1。兩個非平行平面的式子聯立可以得到直線的方程。這樣的用聯立方程組給出的直線方程叫作直線的兩面式方程,或一般方程。
2。直線的引數方程:
3。直線的標準方程:
二次曲面
參考大神:
楊家俊:線性代數總結 第六章 第二部分 曲面和二次曲面(附圖)
張敬信:【高等數學】九種標準二次曲面
一個三元一次方程代表一個平面,一個三元二次方程代表一個二次曲面。
1。橢圓錐面:
它與
相截得到一個橢圓周。
用平行於其它兩個座標平面的平面去截,可以得到雙曲線或者直線。
它被稱為錐面,是因為這個曲面是由一系列過原點的直線組成。其充要條件是,如果某點在曲面上,那麼其與原點連線上的所有點都在曲面上。後者是可以證明的。
2。橢球面:
(方程左面二次型正慣性系數為3)
其可以裝在一個立方體內。
它與
相截得到一個橢圓周,換成其它平行於座標平面的平面,也一樣。
引數方程:
3。單葉雙曲面:(方程左面二次型正慣性系數為2)
它與
相截得到一個橢圓周。
用平行於其它兩個座標平面的平面去截,可以得到雙曲線或者直線。
4。雙葉雙曲面: (方程左面二次型正慣性系數為1)
這是不連通的兩張曲面。
它與
相截得到一個橢圓周。
用平行於其它兩個座標平面的平面去截,可以得到雙曲線。
5。橢圓柱面:
準線為橢圓周,母線平行於z軸(這裡的準線並非橢圓裡的準線定義)
6。雙曲柱面:
7。拋物柱面:
8。橢圓拋物面:
曲面只在
存在,同時,與
所截為一橢圓周。
與
或
相截,為一拋物線。
9。雙曲拋物面(馬鞍面):
與
所截為雙曲線或直線。
與
或
相截,為一拋物線,不過開口並不全同。
空間曲線
(1)。空間曲線可以視為兩曲面的交線。一般方程:
(2)。空間曲線的引數方程:
(3)。空間曲面在座標面上的投影:以曲線
在
平面的投影為例,將
中的
消去,得到
,那麼曲線
在
平面的投影即為曲線
求曲線
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在點(1,-2,1)處的切線及法平面方程
解:依題意可得:
(有啥遮啥,遮左側時第一行左右互換)
由此得
從而
故所求切線方程為
法平面為: