關於“配湊”的一些應用
配湊法是一個在不等式中很常用的方法,在許多知名不等式中都可以找到配湊法的影子,今天來淺談一下配湊法的一類應用。
從一個很簡單而著名的不等式說起:
設
這個不等式十分簡單,歸納,調整等方法均可以證,下面給出一個均值證法:
,這是顯然的,因為中間的式子包含了左邊所有的項,而又有AM-GM即得!
還有一道類似的題,出自2021XMO:
設
此題可以用上題的方法,結合範數不等式得出解答:
下面是一個稍有變化的例子:
設
這道題乍一看十分奇怪,解答這道題需要我們觀察到
與
的不同之處,注意到
與
中含
的冪次不同
所以我們有:
下面是一道稍有技巧的不等式:
設
此題頗有難度,如果不用配湊法,可能只有調整法是可以較為順利地解決此題的,但是隻用上述的配湊,卻難以奏效,我們需要稍稍改變一下思路,首先我們注意到,當
時,原式取得最大值。
接下來的困難是,原式對每一組
都進行了求和,所以用剛才的方法似乎效果不好,基本想法是如果
那我們就可以用均值不等式了!
請注意,這題與上面的題有個很大的不同——求和項前的係數是不一樣的!這為我們的解題提供了突破口,因為我們
的係數遠遠大於其他項,而且注意到由於每一對
都被求和,所以
所以我們得到待證不等式:
好的,讓我們來看看本篇文章的最後一個不等式:
這個不等式實際上非常簡單,首先注意到:顯然在
時 ,原式取得最大值,所以我們只需用調整法證明
這是一種非常自然的調整法方法,但是這個題目用配湊法來做,更能夠體現其本質:
由於這個不等式取得最大值時,
均有值,所以這道題跟上面所有題都不一樣。這時,利用上面的方法,我們知道我們需要證明:
所以我們嘗試證明:
這個式子是怎麼想到的呢,這是由於根據取等條件
所以最後肯定是變成一個三元的不等式,再用上面的比對係數法,即可得到待證不等式,而此不等式的證明,只需比對兩邊係數即可(其實我們是先有比對係數,然後有待證不等式,但是實際做題的時候,先寫我們要證明的不等式,再去比對係數會更規範一些)
所以我們的問題轉化為:
本次的不等式分享就到這裡,希望能對大家有所幫助~~~
好的,應某位同學的要求,在此補充一道非常好的不等式題目:
這道題我見到它的時候有點懵,主要是被其的
給驚訝到了,但是很快我就找到了此題的突破口。
這道題的難點在於猜取等,只要猜完取等,這道題就迎刃而解了。
接下來我們就是要證明,這種情況會取得最大值。這時我覺得
其實並不好刻畫,但是其反面是很好刻畫的!它的反面就是
,而這種情況發生的最簡單形式就是
,這是因為如果是倍數關係,至少是兩倍,所以我們可以將
看成一組,組內沒有整除關係,而根據我們剛才的取等,正好是一組有一個變數有非0值!
不得不說,這是一道困難的不等式,其中的解題思想非常值得我們學習。
留兩道練習題吧!
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