英國精算師|Derivative學習筆記

覺得老師上課講得挺深入淺出的，就想來跟大家分享一下，之後的十章分享最主要的還是依靠在Hull的經典衍生品教材和我的理解，如果錯誤請糾正，希望大家都可以學到東西～

下面分為10個小點：

第一：金融衍生品介紹

第二：期權相關

第三：Hedging with derivative

第四：Interest rate derivatives and swaps

第五：Cash and carry or no arbitrage pricing

第六：The casino - pricing options

第七：Incomplete markets

第八：The mathematics of trees

第九：Pricing on a tree

第十：Binomial tree： the Cox-Ross-Rubenstein model

感覺蠻多，但一個裡面知識點不是很多～

一。 金融衍生品介紹

最初，衍生品市場是來源於農業市場，農民伯伯們辛勤耕種，借錢買種子，豐收之後賣了還錢，但是其中未來的價格我們是不知道的，如果收支不均等了，還不起錢，那就很尬了。

所以，衍生品閃亮出世，使得他們能在之前就會把價格鎖定，避免價格下降的風險。（老師上課講羅馬法的規定如果歉收價格比價格鎖定的價格高，農民們按歉收價格賣，哎，總得保護一下弱勢人群是吧）

衍生品，為何叫衍生品，因為他是交易潛在的財產，比如期貨可能是木材、金屬原料等等。

現在主要有兩種市場，一個是cash-and-carry，還有一種是price-discovery。

第一種可以儲存（比如石油）直接一手交錢一手交貨，未來的供需影響價格，後面一種是不能儲存（比如電力）所以是價格直接由今天供需決定，未來不能影響（因為也儲存不到相當長的未來去）。

然後交易平臺的話，有場外和場內交易，場外一般機構間定製，風險較高，場內則是標準話的產物，比如我們交易的期貨。

基本型別

遠期、期貨和期權，就學期就這三種簡單的講，組合組合就複雜了。

a。

遠期

遠期其實是一份鎖定價格的合同，常見於機構之間，但由於是雙方談判也沒有什麼保障，毀約的可能性很大，風險高。

但書上又說場外交易其實比標準化期貨的場內交易規模大的多，想來還是定製的比較合胃口，機構爸爸比較厲害。

b。

期貨

但對於普通人，我們接觸的期貨其實就是標準化的產品，規定好了到期日，價格，物品的質量，最重要的是，為了保障不毀約，設計了初始保證金和維持保證金。

保證金賬戶是每天調整的，你買賣每份合同，期貨是加槓桿，每份合同他會有固定的初始保證金的費用，如果你要進行期貨交易，賬戶餘額必須大於初始保證金。

還有一個就是維持保證金，如果跌到其一下，等著保證金催付吧，如果還不加錢到初始保證金以上，你的賬戶就會被強行關閉。

所以，每天調整，必須加錢到初始保證金才能繼續交易，這個機制避免了違約的可能，簡直不能更機智。

當然場外交易也有抵押品的保證。

c。

期權

期權就要期權費了，期權是你有行使或者不行使這份合同的權利，而以上兩位都必須行使，也就是在規定的到期日進行交割，所以，如果沒有費用的話，期權是純獲利的。

期權還分為美式期權（到期日前都可以行權）和歐式期權（到期日時才能行權）兩種，以前天真的我以為前者就在美國交易，後者在歐洲交易，但是老師說其實是覺得美國人比較激進所以才這樣分的。

因為歐式期權的分析比美式簡單，之後我們就用歐式期權分析。

二。 期權

因為歐式期權比美式好分析，所以我們先從最簡單的歐式開始，推倒到美式，加dividend等東西。

a. 期權的基本性質

一個是看漲期權（call），一個是看跌期權（put），都是規定到期日價格（strike），如果市場價高於strike，執行call，如果市場價低於strike，執行put，但反之就不執行。

因為內含權利，所以要收期權費（不然鐵定盈利好麼）。

中文的短頭寸對應英文的write和長頭寸hold，就是賣和買入的意思，好奇，特意查了一下為啥叫頭寸，頭寸其實就是資金的意思，袁世凱當政的時候發行貨幣叫袁大頭，十個是一寸（3。33cm）厚，所以就是頭寸了。

標的有股票、貨幣、期貨等。

期權可分為實值（in the money）、平值（at the money）、虛值（out of the money）期權。看著in at out就知道，價格和執行價格對於不同期權的關係，只有在實值的時候才會執行。

對於股票為標的的期權，會隨著發放股息、拆股等時間時進行調整。

例如，a公司傳送15元的股息，看跌期權行使時就得附加15*標旳數量的現金，而看漲期權則會有相應現金收入。

b. 交易

以前，做市商（market maker）促成交易，增加市場流動性，賺的是買賣差價（bid-offer spread），但她在給價的時候並不知道對方是買還是賣。現在用的是order book，只要兩方給價在bid-offer spread內，就交易。

投資者可以用出售相同期權的沖銷指令（offsetting order）來結清頭寸，當一個期權交易時，兩方都不沖銷，持倉量（open interest）加1；一方沖銷，持倉量不變；雙方都沖銷，持倉量減1。

因為write a call（naked call）是一個風險極高的行為，所以我們有兩種做法，第一是用future用的margin account，第二種是用一個資產保護它（covered call），這樣他就不會跌得無底線了。

場外交易大於場內，因為可以定製一滿足客戶需求，但也存在更大的風險，為了避免風險，利用保證金等方法。

c. 股票期權

期權價格與執行價格，股價，期限和股息（使股票價格下跌）有關。

下面介紹上下限以及call-put parity幾個在期權中十分重要的概念，最基本的就是沒有套利的可能。

上限：

無論何時，期權的價格不能超過買入時股票的價格，不然就可以賣出期權買入股票進行套利。

對於看跌期權，美式不能超過執行價格K，歐式不能超過K*exp（-rt），因為如果超過，即可賣出期權，用手中期權費進行無風險套利。

下限：

無股息時：

call：

put：

至於原因，可以用例子來證明如果價格低於上述，就可以買入期權，賣空資產來獲得無風險套利。

call-put parity：

call + K*

= put +

美式的話則可以用歐式推出，僅僅是可以任意時間行使權利而已，同理可由上述得到有股息的公式（才不會告訴公式太難打所以不寫出來呢，有興趣的朋友跟著這個查就好）。

d. 交易策略

第一：spread（差價）：相同型別多個期權組合

第二：strangle（跨式組合）：相同K （strike） 的多個不同型別期權組合

旗下有多種不同名字的交易策略，有的防止波動，有的卻是在較大的波動中賺錢，所以，目的不同，交易策略不同。

三。 hedge with derivative

首先我們討論保完即忘的策略，之後再來討論動態對沖。

定義：

short hedge（短頭寸對沖）： long asset short derivative

long hedge（長頭寸對沖）： short asset long derivative

如果選擇對沖，現在有三個問題，如果市場上沒有與你想要對沖商品作為underlying asset完全一致的衍生品（cross hedge），不確定買入賣出時間，還有在到期日前平倉，該怎麼辦？

這些就涉及到基差風險。

基差（bt） = 被對沖資產的即期價格（St） - 用於對沖的期貨合約的價格（Ft）

當基差為負的時候，叫做正向市場 （ contago ），也是大多數市場正常的情況（未來的價格大於現在），為正的時候就叫反向市場（backwardation）。

接下來特別討論交叉對沖（cross hedge），一般來說基差是比其他兩種情況要大。

為了使風險最小，表示出利潤的方差，與要對沖的期貨數量（因為我們的資產一定，能改的就只有期貨數量）求導等於0得到最小值，得出對沖比率。

之後就是利用股指期貨進行對沖股指組合。

因為股指由市場決定，這裡我們需要用到CAPM

現在問題來了，既然我們可以用期貨來獲得無風險利率，幹嘛還對沖股指組合呢？

因為投資者可以改變beta來獲得高於無風險利率的利率，期待股指會比市場表現得好。

然後就是向前滾動對沖（rolling），實際生活中，公司幾乎每個月對標的資產都有風險暴露，所以最初進入足夠多的頭寸覆蓋所有風險，一個月後平倉在向前用新的合約覆蓋新的風險，但是可能會有現金流壓力。

四。 Interest rate derivatives and swaps

首先我們要知道利率的基礎知識。

基礎的利率有國庫券或國債的國債利率，LIBOR （倫敦同業銀行拆出利率），repo rate（回購利率），zero rate（零息利率）。

因為國債利率因為稅務和監管政策導致過低，所以一般以LIBOR作為無風險利率。

然後利用利率就可以算出債券的現價，然後還可以算bond yield（相當於利息），和利用現價和利息bar yield（相當於利率）。

那麼我們現在就要對interest rate進行風險管理了。

第一個出場的是bond future。

如果是borrower，那麼就不希望利率增長，所以對bond進行short hedge（bond 價格增長代表利率下降），為的是防止bond價格下降。

如果是lender，那麼和前面相反，希望bond價格下降，為了防止上升，那麼就用long hedge。

第二個是LIBOR future，也就是通常所說的Eurodollar，這裡我經常容易忘的一個小點，他的quotation 是100 - rate of interest （in percent）。

然後LIBOR 的 option也就是caps and floors，也就是上下限。

之後又到了互換，最常見的互換有貨幣互換和利率互換。

利率互換，也就是浮動利率（LIBOR）和固定利率的互換，一般來說兩公司利率互換，金融機構在中間牽頭。

為什麼可以互換呢，因為兩個公司因為種種不同原因，在浮動利率市場和固定利率市場上的價格不同導致不同市場上的比較優勢，所以互換就是消除比較優勢的過程罷了。

之後就涉及到常規計算算swap的value，對於要交換浮動利率的一方，就是用floating rate算的bond的現值減fixed rate的現值。

然後swap rate也就是讓swap value為0的固定利率（大家都用LIBOR折現）。

五。 Cash and Carry or No arbitrage Pricing

這裡涉及到我們討論的一個根本：no arbitrage。

因為如果有arbitrage機會早就被arbitrager弄沒有了，所以我們市場交易的基礎是no arbitrage。

所以，我們如果是空手進入市場，那就得空手出來。

在接下來的討論中，我們假設市場efficient frictionless， liquid，也就是no arbitrage， 大家都知道所有資訊，無手續費等摩擦，市場隨時可以交易的理想條件。

對於cash and carry市場，我們需要儲存實物，所以storage cost就增加了遠期的價值。

還有dividend的加入減少了遠期的價值。

之後考慮貨幣兌換的遠期和交易問題。

因為no arbitrage，所以我們就不能空手入（long forward 同時 short asset，或者相反），有利益地出，計算貨幣兌換的遠期，需要用即期和兩國無風險利率來算。

涉及到mis-pricing，如果算出來現在遠期的價格over value，我們就short forward hold asset，但如果under value，我們就long forward sell asset。

之後還有一個關於consumption commodity的小點，也就比如你錢包裡實實在在的1塊錢，比現在銀行裡的一塊錢要值錢，這種相當於divident（叫做convinient yield），會降低遠期的價值。

六。 The Casino - Pricing Options

老師用賭博的玩法給我們講解如何option定價。

設立建立在無套利假設的基礎上，且假設市場中性。

在隨機遊走的情況下，例如股票價格有一定機率在下一時刻上升或者下降。對於hedge的話，考慮簡單情況，我們進入市場為0，我們手上有資產（可買可賣），也會用期貨去hedge資產，對於hedge ratio，我們下面簡稱delta。

0時刻我們買入/賣出部分資產和賣出一份option，然後我們手中就有：

。

t時刻，考慮最簡單的兩種情況，上升或者下降，對應不同期貨的價格。

我們就得付出：

和

（e。g。如果賣資產就必須在t時刻還）。

所以

，d同理，還有

然後求出delta，再求出

。

如果有interest，那麼就

。

來到multi asset，如果只加一個risk-less的bank account，就多加一個引數而以：

代入方程算而已。

七。 incomplete market

之前說到t時刻只有兩個價格的情況，現在推廣到三個甚至更多的價格。

從三個我們推廣到多個asset，也就是multi-asset markets，這時我們就要用矩陣來幫助我們求解了。

首先0時刻的資產價格為S（n行1列：n個asset），future price為M（k個state，n個asset：n行k列），然後因為MQ=S，我們就可以算出risk neutral probability了。

現在如果我們有三個等式，那麼我們又可能價格不是唯一的。

所以，價格不是唯一的情況就叫做incomplete，價格唯一的情況就叫做complete。

之前我很容易跟arbitrage和non-arbitrage弄混，但實際上，兩個沒什麼交集，non-arbitrage就是你求出來的機率加和為1且q在（0，1）之間，而arbitrage不是而已。

對於incomplete market，我們很難確定一個比例去hedge，但並不代表有arbitrage的可能。

八。 The Mathematics of Trees

之前用一個資產，兩個state算得挺開心，知道如果想求資產在0時刻的價值，就用risk neutral probability求個期望就好了，但是，如果很多個狀態，想第七章那樣算矩陣求不出來也挺累的，然後聰明的人們就創造了tree。

我們知道如果兩個狀態，0時刻的價值肯定是夾在中間的，不然就會有套利的可能性。所以，如果現在如果在1時刻有四個狀態，我們就把中間1/2時刻插進兩個狀態（根據0和1時刻的價值算出），就形成了完美的一個資產兩個狀態的模型，只不來了兩次而已。

之後又講了一下機率的問題，衍生於blaise pascal和pierre fermat的一次關於遊戲輸贏信件往來（太多了好難寫，有興趣的朋友可以搜搜），對於時間空間的認定問題。

之後又定義了sigma-algebra，開始沒明白定義這個幹什麼，後面明白，因為我們想要的不是單個的結果，而是事件空間、子集集合本身的輸或贏（現實中的利潤），sigma-algebra說起來牛逼其實就是event space （event space和sample space不一樣啊），定義就是：

全集屬於sigma-algebra；

有一個集合a，sigma-algebra裡面就會有他的補集；

如果集合a，b都在sigma-algebra裡面，那麼他們的並集也在裡面。

比如說最小的sigma-algebra其實就是{樣本空間，空集}，這個東西對於後面filtration和鞅都有用。

之後，引入filtrations，為啥叫過濾呢，本來是一個時間的概念，推倒出其實是conditional probability 的概念。

然後，這個conditional expectation也是一個random variable。

然後就到了大名鼎鼎的martingale（鞅）了。

這東西起源於一種賭博，簡化來就是比如投硬幣，你下注1塊錢，如果得到正面你就得到2塊錢，如果反面就沒有錢；如果得到反面，你就繼續下注2塊錢，正面就是4塊錢，減去投入的3塊錢，就是還是會有一塊錢的收穫，反面依舊為0……從此以往，你的獲利現值總是一塊錢（不算折現），是不是感覺很棒棒，套利哎！

但是，想一想，如果正面一直不出現呢？你就會把自己的身上最後一塊衣服都賠進去，據老師說歷史上很多交易員就是這樣幹使東家賠得底褲都不剩，尷尬。

在數學上，在一個filtration上martingale（一個隨機過程X）定義有三個條件：

第一是X屬於這個filtration

第二是對所有的Xn，E［|Xn|］<無窮（無窮還算個啥）

第三是之前講的，對於所有的n和m，E［Xm+n|Fn］=Xn

如果1，2符合，3裡面E［Xm+n|Fn］<=Xn，就是一個supermartingale，反之是submartingale。

九。 pricing on a tree

按之前的繼續往下，如果最後是有幾個state，我們就可把中間劃分出無數個二分的過程，最後就是一棵樹的樣子。

知道最後的價格，一步一步按照之前向下向上往前推的過程。

如果是歐式，那麼就一步一步不用改，如果是美式，那麼要把樹給畫出來後看那個點可以直接替代，最後得出derivative的價格。

十。 Binomial tree： the Cox-Ross-Rubenstein model

這次是直接推出公式來求option的價格，對於European option，只要知道了設定多少的時間間隔，波動率和均值，就可以透過CRR算出來～但是對於American還是要像9一樣從後往前推然後每個點看是否需要改變價值（因為如果直接執行的價格高於maturity往前推的價格就直接執行了）。

因為公式太長，證明也太長，懶得打了，大家可以搜一搜～