線彈性材料本構（二）——彈性剛度矩陣

什麼是剛度矩陣

（一）引言

先前我們已經學過，彈性剛度矩陣可以用材料拉梅常數（

/

）表示，即：

但實際上，在建立材料的本構關係，尤其是

塑性力學/計算土力學

中，經常需要在球應力與偏應力的空間中研究材料的應力應變關係，為此，我們希望能將

剛度矩陣

分解為

體積模量

和

剪下模量

的

某種組合

。這樣，對於

任意應變增量

，可以直接求出相應的

靜水壓力

和

偏應力

。

這裡先給出結論，後文中再做進一步推導：

式中，

K

為體積模量，

G

為剪下模量。

（二）四階單位張量

二階單位張量可以寫為：

常見的四階單位張量有如下三種：

上述四階單位張量為最基本的四階單位張量，可以透過線性組合定義其他的四階單位張量，將在下一節中具體闡述，下面開始硬核推導：

（三）以E為基的正交四階單位張量

首先定義兩個

互相正交的單位四階張量

：

其中

和

分別為二階、四階單位張量。

易證，以E為基的正交張量具有下列性質：

（四）以E為基的正交分解（E-basis orthogonal decomposition）

將剛度張量在E的基下分解可得：

其中，

K

和

G

分別為體積模量和剪下模量。

這種分解在計算土力學中是十分有用的，下面進行闡述：

將四階正交基張量

作用於應變張量

，可得：

同理，將四階正交基張量

作用於應變張量

，可得：

由此，可以看出這種分解的優勢了，將

基張量

作用於

任一應變張量

，可以分別得到

體積應變

和

偏應變張量

。即：

得到體積應變和偏應變後，分別乘以體積模量

K

和剪下模量

G

後，可計算應力。

（五）補充

這種分解還有一種好處，

可以直接求出剛度矩陣的逆矩陣，直接計算柔度矩陣，

下面進行證明：

設柔度矩陣的形式為：

其中d1，d2為待定係數。

由E為基的正交張量的性質（式（7）），可得：

直接對比係數，可得：