賭徒問題進階版：初始賭本為2，賭注為1。輸則賭注加1，贏則賭注減1，直到賭注為0或賭本為0為止？
Eidosper2015-10-11 14:02:58我的理解是“每次賭博過程的期望都是不賺不賠的”，但是是否這種情況下透過“劃定邊界”能讓過程的結果數值改變，我是不知道的。
可能是個馬氏過程？機率論學的非常渣別打我
我們這樣分解一下題目：
1 起始你有2元籌碼
2 你將會進行一次遊戲，這次遊戲的輸贏都是x（x為賭注）
3 這次遊戲的輸贏期望都是一半，輸=-x 贏=+x，本次遊戲的期望是0
4 進行下一次遊戲，調整賭注。（這個不影響期望值）
核心過程是2和3，其餘的過程只是調整引數而已，核心過程的期望值是不賺不賠，而4過程並不影響期望，可以得出是不賺不賠。
你把“修改賭注”這一個事件去掉，不影響期望，但是過程就簡單很多了。“修改賭注大小”不影響“賭本的期望值”，賭注大小和賭本期望是無關變數。
另外有一門課程叫做《隨機過程》也可以參考一下，我作為突擊黨實在不好意思說自己學過這門……
最終結果是 2
另一個問題是：飛機上有100個人，第一個人隨便坐，其餘人如果自己座位上有人的話就隨便坐，問最後一個人坐到自己作為的機率是多少？
====
補充一下，題主問：如果結束條件是“賭本為0”結束，也就是說輸光才讓走。
假設一種情景，你到賭場，Ex=0，但是賭場有個規定：輸光才能走。
那原題目可以這樣改動一下：
1 你有1元籌碼
2 你將會進行一次遊戲，這次遊戲的期望是不賺不賠，輸了賠1，贏了賺1
3 直到你的賭本為0時，結束遊戲
這樣從結果上看，顯然最後你的結局是輸光，但是這和期望沒有什麼關係，你的期望還是1。
假如你開10w執行緒，輸光時候掛掉，然後執行緒可以同步的進行（每個執行緒保持遊戲次數相同，掛掉的不算），那麼你每一刻去統計所有執行緒的總籌碼，應該依然是10w。可能最後只剩下1個執行緒了，但是這個執行緒有10w的籌碼。
如果你用無限個執行緒，那結果應該還是1，也就是我改動後的賭本。
但是，也存在極小的可能性，你只開了一個執行緒，但是死活它都沒法end
知乎使用者2015-10-12 11:56:14感覺還是比較穩定的~
using
System
；
namespace
拋硬幣問題
{
class
Program
{
static
void
Main
（
string
［］
args
）
{
Program
Prog
=
new
Program
（）；
int
Count
=
0
，
SumAll
=
0
；
while
（
Count
！=
50000
）
{
Count
++；
SumAll
+=
Prog
。
Work
（）；
float
Average
=
（
float
）
SumAll
/
Count
；
Console
。
Clear
（）；
Console
。
WriteLine
（）；
Console
。
WriteLine
（
“SumAll ”
+
SumAll
）；
Console
。
WriteLine
（
“Count ”
+
Count
）；
Console
。
WriteLine
（
“Average ”
+
Average
）；
}
}
int
Work
（）
{
int
Money
=
2
，
Fee
=
1
；
while
（
Fee
！=
0
&&
Money
>
0
）
{
if
（
Guid
。
NewGuid
（）。
GetHashCode
（）
%
2
==
0
）
{
Money
+=
Fee
；
Fee
——；
}
else
{
Money
-=
Fee
；
Fee
++；
}
}
return
Money
；
}
}
}
結果如下：
張雨萌2018-03-07 02:18:04@王贇 Maigo 知乎又給我推送了三年前的題，估計大家都忘了吧。這次突然有了一點思路。
假設 第n次下住輸贏結果為X_n （贏為1，輸為-1），第n次下注之後賭注S_n，賭本T_n。
那麼
為i。i。d。 Bernoulli random variable，
為一維簡單隨機遊走。為了方便起見，令
，於是
歸納可得
![\begin{align*} T_{n+1}&=T_n - X_{n+1} \sum_{k=0}^{n}X_k =T_0-\sum_{0\le k<l\le n+1}X_kX_l \\&= 2-\frac12\Big[(X_0+\dots+X_{n+1})^2 - (X_0^2+X_1^2+\dots+X_{n+1}^2)\Big] \\&= 2-\frac12[ S_{n+1}^2-(n+2)] \\&=-\frac12[S_{n+1}^2- (n + 1+5)]. \end{align*}](https://img.heatask.com/upload/website_attach/cMQ9gcc7m2XedGyJZZhxZc=vNGV6adxUfxE9yCavzJsnevboElN4YCzqyy=etYDucxc0R=-C6DhpKMuidtdMa4=zugpnHb_tGhX5ZdlwZIIxLi6NwHU+jafDY-_DTsbl7N-Lv+02dNWnNLjkdtNrLM=4vE=c=vT1S935mdlZZI7xJ_Lq-r8E9t=2uHLchFqtPm+QR=OEddDxaB=0gewpCDLtO_6ITs+AGj-ms8u+c+3hbDKoElMpCDXDYgCnbb_pGzH5mD0Gec84M__oElNMZCyDMR_nb4zWZOF5ZATDPFmEbGu0dtJMV8kDMMjITs+AGj-msMAzylDcR__kpsspLu1ZCNrnH=TO6QIlC8Zk6DBqMP=Hg3UejfusgLXnbE+WZN-mva6DGCQDJ_zqdtV8L4=zm_=ctb+nbN-LsMpDPFZnNQXoq5YpLd58YybnH=BLe9EyZ=TDPFQxUMkoEcJKI=jNY_=e=9THTQ+3R=T5duDGQz_oq5kpCD58QjFoTsx=6Q+MR=0FmlDcQmNHxBMFL4=2uvLhTsbAdz-AvuLDPfvnNQ=HpsspLu1vRC=Gt2uU6QIlmtAzylDcRDfkdtVqYC+VQjz9yAUnbH35ZALDPfv7P.jpeg)
所以這個問題就變成了
作為一個從1出發的簡單隨機遊走，碰到 0 （i。e。 贏） 或者碰到
（i。e。 輸光）的機率。
所以首先這個過程一定可以停止。（光碰到0的機率是1， 光碰到上邊的機率根據重對數律也是1）
然後停時有沒有 有限期望，以及optional stopping theorem是否還成立 還得再想想。
（如果停時期望有限，那麼S_n的增量是一致有界的。）
不過這個樣子看著比之前有希望多了。
匿名使用者2020-01-19 19:01:01跑了一百億次， 結果非常接近 2
這也沒啥， 更神奇的是似乎可以證明初始賭本為
， 最後期望帶走的金幣還是
這個過程是一個鞅，最後錢數的期望都等於最開始的錢數。。。
use
rand
：：
Rng
；
use
rayon
：：
iter
：：
{
IntoParallelIterator
，
ParallelIterator
}；
use
time
：：
PreciseTime
；
const
TIMES
：
i64
=
100_0000_0000
；
#［allow（unused_variables）］
pub
fn
do_one
（）
->
i64
{
let
mut
rng
=
rand
：：
thread_rng
（）；
let
（
mut
coin
，
mut
now
，
mut
time
）
=
（
2
，
1
，
0
）；
while
coin
>
0
&&
now
>
0
{
time
+=
1
；
if
rng
。
gen
：：
<
bool
>
（）
{
//贏了
coin
+=
now
；
now
-=
1
}
else
{
//輸了
coin
-=
now
；
now
+=
1
}
}
return
coin
as
i64
；
}
fn
main
（）
{
let
start
=
PreciseTime
：：
now
（）；
let
sum
：
i64
=
（
1
。。
=
TIMES
）。
into_par_iter
（）。
map
（
|
_
|
do_one
（））。
sum
（）；
let
end
=
PreciseTime
：：
now
（）；
println
！
（
“coin mean： {}”
，
sum
as
f32
/
TIMES
as
f32
）；
println
！
（
“finished in {} seconds”
，
start
。
to
（
end
））；
}
停時稍微大一點點， 約為 2。07
比起離場金額， 這個問題更有趣的地方是停時的漸進表達吧。。。
yyx2020-01-19 19:54:31若每次下注期望收益是x，那麼每賭一次賭本的期望就是加x，如果平均下注次數是n，初始賭本是s，那麼最終的賭本期望就是s+nx
不同的下注策略不會改變x，或者說不會改變期望收益率，即一次下注的期望收益比上單次下注金額，只會改變平均下注次數從而影響盈利情況
當x>0時，要使最後的賭本期望大，則n越大越好，就是有資金就投，從實際講這種情況往往能找到對沖的方法保證每次都穩賺不賠（有這種好事記得叫上我，哈哈）
當x<0時，應儘可能減小n，最好的辦法就是n取0，別去賭，如果一定要賭的話就是下一注，不管輸贏都走人……否則往往就是俗話說的“久賭必輸”
對於x=0，也就是公平情況，其實就是尋開心了……策略根本不會有任何影響，你說“那我就賭到輸光了才出來，不然就不走了，那不是一定輸光了嗎？”。這其實像隨機遊走，在一維的數軸上，初始在1，每次隨機各1/2機率向左或右走一個單位長度，0處是個坑，掉進去就結束了，一直走會怎樣？掉進0這個坑的機率是1，但是在數軸上位置的期望是1不是0，因為其實有一個極小的機率會走到極遠處，如同一個衝擊函式，位置期望恰好是1，說具體一點，比如初始1塊，每次下所有本金，那麼一次之後就是1/2機率2塊，2次之後就是1/4機率4塊，n次之後就是1/2^n機率2^n塊，所以期望本金始終還是1
所以對於公平賭局，不同策略只會改變遊玩次數，最後結束時的資金多少的分佈情況，但是不會改變資金的期望
以上。
