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一個函式影象繞y軸旋轉的體積公式V=2π∫xf(x)dx(省略了積分限)是怎麼推匯出來的?

作者：由 Benge 發表于體育時間：2019-05-30

知乎使用者2019-05-30 13:55:39

like you2019-06-02 21:35:30

一般會做到這些步驟。取微元，然後近似成長方體或者圓柱

臉狺2020-11-02 17:12:54

順著答主 @艾爾的思路，他從定義出發嚴格證明了這個公式。

一個函式影象繞y軸旋轉的體積公式V=2π∫xf（x）dx（省略了積分限）是怎麼推匯出來的？

那我從V的可微性角度來證明吧。

題幹來自復旦陳紀修版《數學分析》：

$f(x)\geq 0 是連續函式,V是x=a,x=b,y=0,y=f(x)表示區域繞y軸旋轉一週所得旋轉體體積,$

證明：

$V=2\pi\int_a^bxf(x)dx.$

網路上許多不嚴格的證明

取［x，x+dx］處的圓環柱體體積元素

$dV=\pi((x+dx)^2-x^2)f(x)=2\pi xf(x)dx+\pi f(x)(dx)^2,$

捨去dx的高階無窮小

$2\pi f(x)(dx)^2$

，則

$V=2\pi\int_a^bxf(x)dx.$

這種證明思路物理上可以，數學上就很粗糙了，微分符號濫用使得讀者雲裡霧裡。

V（x）是關於x的函式，dV寫下來之前就需要證明V（x）可微，不經證明直接微分是不嚴謹的。

下面給出嚴格證明

；

$任意取定x ，考慮區間[x ,x +\Delta x]上的f(x),存在最大值H，最小值h;$

$令V_H為x=x ,x=x +\Delta,y=H,y=0區域繞y軸一週旋轉體體積,同理有V_h;$

$則V_h\leq \Delta V\leq V_H,其中\Delta V=V(x +\Delta x )-V(x ),是V在[x ,x +\Delta x]區間的體積;$

$而V_h是一個長方形繞y軸成的圓環柱體,V_h=\pi ((x +\Delta x)^2-x ^2)h,同理,V_H=\pi((x +\Delta x)^2-x ^2)H;$

$則有h\leq {\Delta V \over \pi(2x \Delta x+\Delta x^2})\leq H;$

$於是\exists \theta\in[0,1]:\Delta V=f(x +\theta\Delta x)\pi(2x \Delta x+\Delta x^2);$

${dV\over dx}=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}{\Delta V\over \Delta x}=2\pi xf(x),於是V(x)可微，且dV=2\pi xf(x)dx$

；

$V=2\pi\int_a^bxf(x)dx,證畢$

匿名的我2021-08-06 08:48:03

茹翊2021-11-06 11:42:42

簡單計算一下即可，答案如圖所示

標簽：證明 dx 嚴格微分公式

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