從集合的角度，如何理解注當中的等式，是怎麼證明？

作者：由匿名使用者發表于體育時間：2021-03-02

嗯，其實這個定義和其他教科書上從元素的角度來作的定義是等價的。在這裡

$H^{-1} = \{a^{-1}\:|\:a\in H\}$

，所以“若

$S:=H^{-1}H=\{a^{-1}b\:|\: a,b \in H\}$

（在這裡換了一個標記符號，免得

$H^{-1}H$

看起來令人有些困惑）是

的一個子集”，就等同於“若對於任意

$a,b\in H$

，我們有

$a^{-1}b \in H$

”，是為從元素角度作的定義。所以二者是等價的。

代數里面可能時常會出現一些一開始令人感到不習慣的符號，不過在弄清楚其具體指代的是什麼之後，再看見了就會一點點習慣的。如該問題當中這樣的數學標記或符號，也會在代數學當中更深的領域出現，比如透過單位元交換環（unital commutative ring）（記作

）和其素理想（prime ideal）（記作

$\mathfrak{p}$

）構造分式環（fraction ring）（記作

$R_{\mathfrak{p}}$

，並設

$S := R/\mathfrak{p}$

），我們便有

$R_{\mathfrak{p}} := S^{-1}R$

，其中

$S^{-1}$

也是代表原本

當中元素的逆的集合。

標簽： Ring 定義元素當中等價

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