力學模型（六）：二體碰撞

碰撞問題貫穿物理學習始終，小到原子，大到天體，無時無刻，都在碰撞。下面我們重點探討的，是二體一維碰撞問題。

碰撞問題的核心是兩個守恆

動量守恆：

能量守恆：

Ek1+Ek2=Ek1‘+Ek2’+E損

首先，我們來看彈性碰撞

E損=0，聯立可以解得碰後速度v1、v2

特殊情況：m1=m2時，兩物體

速度交換

例

如圖，小車上的管道光滑，小車質量為2m，靜止在水平面上。現在有一個質量為m的小球，半徑小於管道半徑，以水平速度v滑上小車，恰好能夠到達管道最高點並從左端滑出。在該過程中，下列說法正確的是

過程前後可以看作一個彈性碰撞，小球末速度大小為v/3，方向向左，小車末速度大小為2v/3，方向向右，最高點達到共速，大小為v/3，方向向右，所以選BC

這個例題給了我們一個新的思路，那就是把彈性碰撞的過程分解，由於達到共速前後兩球的動量改變數相等，且各自的動量改變數相等，我們可以得到以下推論

m1v1=2m1v共-m1v01

m2v2=2（m1v共-m1v01）=2m2v共

它能夠幫助我們更快速地解決問題

然後來看非彈性碰撞

引入恢復係數

代入動量守恆得

恢復係數與物體結構有關，彈性碰撞可以認為e為1，完全非彈性碰撞可以認為e為0

引入了恢復係數，我們可以將E損用一個表示式表示出來

二體碰撞是二體問題，因此我們可以引入約化質量μ=m1m2/（m1+m2）

設m1相對於m2初速度為v0，末速度為v

v又等於-ev0

所以得到

這也證明了完全非彈性碰撞的能量損失是最大的

有了恢復係數的概念，我們再來看非彈性碰撞問題

也就是大名鼎鼎的子彈打木塊

不過為了增大難度，這次子彈沒有嵌在木塊裡面

設質量為m1的子彈以速度v0水平擊穿一質量為m2的靜止木塊，設擊穿後的子彈速度降為v1，木塊獲得速度v2，求過程中系統損失的能量

可以直接代入公式求解，只需要找到子彈與木塊的相對速度

初：v0

末：v1-v2

e=（v2-v1）/v0

可以發現這樣求解可以大量降低計算量

上面我們介紹了二體一維碰撞，但是生活中速度往往是二維的甚至是三維的，我們將二體一維碰撞稱為對心碰撞，之後也會介紹非對心碰撞

最後留給讀者一個思考題，馬上高考的同學們可以試一下