期權(六)：二叉樹模型

摘要：

理解和運用期權定價的二叉樹模型。

正文：

（主要是《金融數學》的第2、3章學習筆記）

（1）二叉樹模型

假設股價未來只有兩個價格狀態，

和

，在這兩個狀態中，衍生證券的價值為

和

：

我們假設一個風險中性機率p（確切的說是風險中性情況下

的狀態機率）， 使其滿足據此計算的期望等於

的無風險增長：

解得：

那麼，此時就有：

這就是二叉樹模型中，一個基本二叉樹單位的計算過程。

理解：

（1。1）如果每一個二叉樹都有統一的上升、下降過程，如

，那麼p的計算公式統一為：

如此可以快速地生成一個很大的二叉樹模型；

（1。2）將p代入V：

其中

顯然就是delta，令之為a，代入上式：

這個實際上對應了（V-aS）這樣一個對沖組合的無風險增長後的狀態即能是

，也能是

（無差異的才是無風險的）。由此可見，這兩種理解實際上是等價的；

（1。3）二叉樹模型和之前的隨機偏微分模型、風險中性模型在關鍵思路上是非常一致的。它們都遵循了先假設基礎資產的波動（股價二叉樹、幾何布朗運動），再基於基礎資產波動和衍生證券與基礎資產的關係來推導衍生證券價值。同時，關鍵的idea都是構造一個無風險組合（完美的Delta對沖），從而也就都暗合了“風險中性”的概念。

（2）二叉樹模型求期權價值的python簡單實現

二叉樹模型定價函式：

結果展示：

（2。1）

歐式和美式看漲期權的價值始終相等。

（2。2）

美式看跌期權的價格高於歐式看跌期權價值，同時可以關注上下限條件；

一個超長期的歐式看跌期權價值，價格低於了短期的歐式看跌期權價值。

（2。3）

由於障礙的存在，障礙期權價值低於了同等條件的歐式看漲期權。

（2。4）

和前述歐式期權同等條件的Black-Scholes公式計算值的對比