如何理解那些比不可達基數更大的基數？
所謂性質 P 是一個大基數性質，大概的意思就是說 ∀x， P（x） -> x 是一個基數，並且 ZFC + ∃κ P（κ） |- Con（ZFC）， 因此 ZFC 無法證明 P 的存在性。 而對應的大基數公理就是假定這樣的基數存在。
Motivation
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注意在所有獨立性問題中，這樣的性質 P 具有非常特殊的形式。 然而有這樣一個有趣的現象：許多自然出現的獨立性問題和某條大基數性質 P 是
等一致
的 （equiconsistent）， 而且這些大基數性質可以按照一致性強度大致排成線序，只有少數序關係還未知（
@韓花花
的圖）。 這是大基數研究的一個重要的數學上的 motivation。 另外一個偏哲♂（劃掉）學的理由是，許多大基數性質 P 都具有 “P‘（κ） Λ κ 是不可數的”這樣的形式，且 P’（ω） 在 ZFC 中可證；換言之，ω 可以看成是這個大基數性質的例項（比如 weakly compact， measurable 都是這樣）。 另外我們知道，如果不假定無窮公理，ω 的存在是不可證的；從這個角度來說，ω 可以看成是 （ZF - 無窮公理） 這個理論中的大基數。 那麼問題來了，既然我們都接受了無窮公理，覺得假定 ω 存在是合理的，憑什麼拒絕更大的大基數公理呢？ （Disclaimer： 我並不完全認同這一 argument） 當然還有更哲學的提法，比如 ontological maximalism， 但這個還是交給哲學家們去研究吧。
大基數的 “Basic format”
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另一個有趣的現象是，比較大的大基數（一致性強度意義上的）有一套比較通用的 formulation。
假定 M ⊆
V， j ： V → M 是一個 elementary embedding， 即 j 保持所有可定義關係，且 j 不為恆等對映。 那麼由於 rank 是可定義的，不難說明 j 限制在序數上也不可能是恆等對映。 另外顯然 j（α） ≥ α。 定義 j 的
critical point
為最小的使得 j（α） > α
的序數 α， 不難證明這樣的 α 一定是個大基數（事實上一定是 measurable 的）。
在上述定義中，我們可以透過要求 M 儘可能“接近” V 來加強大基數公理。 （直觀上，這個 M 一定是一個真類，即和 V 一樣高；我們希望 M 儘可能“寬”）最弱的限制就是沒有限制，得到的就是
measurable cardinal
， 這個意義上可以說 measurable cardinal 是“較大的”大基數中最小的一個。 最強的“接近”當然是要求 M = V， 這就是
Reinhardt cardinal
。 但是 Kunen 在 1971 年證明這樣的要求與 ZFC 是不一致的；他的證明很初等，但是用到了選擇公理；Reinhardt cardinal 與 ZF 的一致性是著名的 open problem。 其他的例子包括要求
（
λ-strong
）， M 對於 λ-序列封閉 （λ-supercompact）。 其他的一些變體包括要求“很多” embedding， 或者要求“分層”的 embedding
等等。
上面的 formulation 當然有一個問題，那就是由於 undefinability of truth， “V 到 M 的 elementary embedding” 是無法用一句集合論公式來描述的。 所以，往往有一些等價的定義來表明這樣的性質確實可以用一句公式表示，例如 measurable = 存在一個 ultrafilter。 事實上，elementary embedding 的一個重要例子就是 ultrapower embedding， 而反過來從一個 embedding 也可以構造出一個 ultrafilter。
關於 Woodin cardinal 多說一句：Woodin cardinal 的定義不像其他的 cardinal 那麼自然；Woodin 自己也認為這是一個 “technique definition。” Woodin cardinal 實際上是來自於 projective determinacy （決定性公理 AD 在投影集上的限制；AD 本身和 AC 是矛盾的，但是 PD 卻不是）。 Woodin cardinal 的意義就是 （ZFC + 存在無窮多個 Woodin cardinal） 與 （ZFC + PD） 是等一致的。 （確切地說，這裡的“無窮”是“外面”的無窮，不過不要在意這些細節）。
Inner model program
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我知道談到 large cardinal 一定要談談 inner model program， 但是我真的不懂……大概的意思就是，V = L 與稍大的大基數公理都是矛盾的；特別地，如果 V = L， j ： V → M， 由於 L 是 ZFC 最小的內模型，M = V = L； 但 L 到 L 是沒有非平凡嵌入的。 （或者，這與 Kunen 的結果矛盾）換言之，L 作為一個內模型與 measurable cardinal 是不相容的。 因此人們希望找到更“大”的內模型。 比如 Woodin 很喜歡說的 ultimate L， 據說有一些神奇的性質。 我不是這方面的專家，只能報報菜名，請有興趣的讀者自行研究 -_-
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最近被某些煩心事搞得快要瘋了，來答個題緩解一下……大基數的水很深，之前入坑是因為覺得“遠在天邊”的大基數結構能夠影響“近在眼前”的實數的結構非常神奇。 去年花了時間和同學開討論班一起讀了 Woodin 2014 年暑期學校的講義，就是關於從無窮多個 Woodin cardinal 推出 PD 的證明的，但是 notes 不斷地丟，之前整理出一篇 overview 的計劃也無限期延（fang）期（qi）了。 等我找到了 notes 可能會來補充一點內容。
