高中數學一日一題系列

作者：由雪地嘆息瓶發表于詩詞時間：2019-01-01

寫在前面：

碼字不易，收集不易，喜歡的話請點贊，謝謝。大家喜歡的話可以關注我的微信公眾號，微信搜尋“總有點數學小感悟（lovemathmore）”，儘自己努力給大家輸出知識與能量，謝謝大家支援。

從1月26開始繼續續更，大家可以持續關注。

一日一題會秉持著給大家提供有新意的題目的原則，

杜絕偏怪難

，但是儘量會讓大家覺得眼前一亮，和平時做膩的模擬題有區別。差不多是思考一分鐘，動筆一分鐘，計算一分鐘，回顧一分鐘就可以搞定的題目。

規則：

首日會公佈題目，沒有答案，大家可以自己動手拿出演草紙計算，第二天我會公佈答案，大家如果有新奇的解題思路也可以發給我，優秀的我會採納，放到一日一題系列。

快上車~~

編號：20190202

分類：三角函式化簡求值

$4 \cos 50 ^ { \circ } - \tan 40 ^ { \circ }=$

________________

。

$=\sin 80 ^ { \circ } - \sin 40 ^ { \circ } + \sin 80 ^ { \circ }$

$=2 \cdot \cos 60 ^ { \circ } \cdot \sin 20 ^ { \circ } + \sin 80 ^ { \circ }$

$=\sin 20 ^ { \circ } + \sin 80 ^ { \circ }$

$=2 \cdot \sin 50 ^ { \circ } \cdot \cos (-60 ^ { \circ } )$

$=\sqrt{3}\sin 50 ^ { \circ }$

$=\sqrt{3}\cos 40 ^ { \circ }$

請大家拿出草稿紙計算起來！come on！下方檢視昨日答案

。

請一定要先自己動手做再看答案~~

編號：20190201

分類：三角函式化簡求值

設α，β∈［0，π］，且滿足sin αcos β－cos αsin β＝1，則sin（2α－β）＋sin（α－2β）的取值範圍為

________________

。

易錯題

$\sin ( \alpha - \beta ) = 1 \quad \alpha - \beta = \frac { \pi } { 2 }$

編號：20190131

分類：函式的的影象與性質

已知

$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { - | \ln x | , x > 0 } \\ { x ^ { 2 } + 2 x , x \leq 0 } \end{array} \right.$

，若

有4個根

$x _ { 1 } , x _ { 2 } , x _ { 3 } , x _ { 4 }$

，則

$x _ { 1 } + x _ { 2 } + x _ { 3 } + x _ { 4 }$

的取值範圍是________________．

編號：20190130

分類：三角函式的的影象與性質

若

$f ( x ) = \cos x - \sin x$

在

是減函式，則a的最大值是_____________________。

$\text { A. }\frac { \pi } { 4 } \quad \text { B. } \frac { \pi } { 2 } \quad \text { C. } \frac { 3 \pi } { 4 } \quad \text { D. } \pi$

【答案】C

【解析】

編號：20190129

分類：雙曲線的定義與性質

以知F是雙曲線

$\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - \frac { y ^ { 2 } } { 12 } = 1$

的左焦點

是雙曲線右支上的動點，則|PF|+|PA|的最小值為_____________________。

【答案】9

【解析】注意到P點在雙曲線的兩支之間，且雙曲線右焦點為F‘（4，0），於是由雙曲線的定義：|PF|－|PF’|＝2a＝4，而|PA|＋|PF‘|≥|AF’|＝5，兩式相加得|PF|＋|PA|≥9，當且僅當A、P、F’三點共線時等號成立。

編號：20190128

分類：函式影象與性質，反函式

若

$x _ { 1 }$

滿足

$2 x + 2 ^ { x } = 5,$

$x _ { 2 }$

滿足

$2 x + 2 \log _ { 2 } ( x - 1 ) = 5 , x _ { 1 } + x _ { 2 } =$

（A）

$\frac { 5 } { 2 }$

（B）3 （C）

$\frac { 7 } { 2 }$

（D）4

【答案】C

【解析】先來看一下簡化版的題目

再來看一下這個題目的解答過程與改編題目：

編號：20190127

分類：函式的單調性與奇偶性

已知偶函式

在區間

$[ 0 , + \infty )$

單調增加，則滿足

$f ( 2 x - 1 ) < f \left( \frac { 1 } { 3 } \right)$

的x取值範圍是

$( \mathrm { A } ) \left( \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right) \quad \text { (B) } \left[ \frac { 1 } { 3 } , \frac { 2 } { 3 } \right) \quad \text { (C) } \left( \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } \right) \quad \text { (D) } \left[ \frac { 1 } { 2 } , \frac { 2 } { 3 } \right)$

【答案】A

【解析】遇到題目條件中含有

偶函式 #FormatImgID_42# 在區間 #FormatImgID_43# 單調增加

的字眼時，一定要想到偶函式的如下性質：

f(x)＝f(-x)=f(|x|)

加絕對值的好處在於能夠全部將自變數轉化為正數，只用考慮其一半的影象即可。

∴

$f ( | 2 x - 1 | ) < f \left( \frac { 1 } { 3 } \right),$

再根據f（x）的單調性得

$| 2 x - 1 | < \frac { 1 } { 3 },$

解得

$\frac { 1 } { 3 } < x < \frac { 2 } { 3 }$

編號：20190126

分類：函式與數列

已知

$a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } , a _ { 4 }$

成等比數列，且

$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = \ln \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } \right)$

。若

$a _ { 1 } > 1$

，則（）

$\begin{array} { l } { \text { A: } a _ { 1 } < a _ { 3 } , \quad a _ { 2 } < a _ { 4 } } \\ { \text { B: } a _ { 1 } > a _ { 3 } , \quad a _ { 2 } < a _ { 4 } } \\ { \text { C: } a _ { 1 } < a _ { 3 } , \quad a _ { 2 } > a _ { 4 } } \\ { \text { D: } a _ { 1 } > a _ { 3 } , \quad a _ { 2 } > a _ { 4 } } \end{array}$

【答案】B

【解析】

利用我們經常使用的放縮

$\ln x \leqslant x - 1$

因為

$\ln x \leqslant x - 1 ( x > 0 )$

所以

$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = \ln \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } \right)\leqslant a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } - 1$

所以

$a _ { 4 } \leqslant - 1,$

又

$a _ { 1 } > 1,$

所以等比數列的公比

考慮第一種情形：

$q \leqslant - 1$

的時候，則

$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } = a _ { 1 } ( 1 + q ) \left( 1 + q ^ { 2 } \right) \leqslant 0,$

而

$a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } \geqslant a _ { 1 } > 1,$

所以

$\ln \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } \right) > 0,$

與

$\ln \left( a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } \right) = a _ { 1 } +a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } \leqslant 0$

矛盾，

所以

$a _ { 1 } - a _ { 3 } = a _ { 1 } \left( 1 - q ^ { 2 } \right) > 0 , a _ { 2 } - a _ { 4 } = a _ { 1 } q \left( 1 - q ^ { 2 } \right) < 0$

所以

$a _ { 1 } > a _ { 3 } , a _ { 2 } < a _ { 4 }$

編號：20190107

分類：數列

設等比數列{an}的前n項和為Sn，若

$\frac { S _ { 6 } } { S _ { 3 } } = 3,$

則

$\frac { S _ { 9 } } { S _ { 6 } } =$

（A） 2

（B）

$\frac { 7 } { 3 }$

（C）

$\frac { 8 } { 3 }$

（D） 3

【答案】B

【解析】

方法一：

設公比為q，則

$\frac { S _ { 6 } } { S _ { 3 } } = \frac { \left( 1 + q ^ { 3 } \right) S _ { 3 } } { S _ { 3 } } = 1 + q ^ { 3 } = 3 \Rightarrow q ^ { 3 } = 2$

於是

$\frac { S _ { 9 } } { S _ { 6 } } = \frac { 1 + q ^ { 3 } + q ^ { 6 } } { 1 + q ^ { 3 } } = \frac { 1 + 2 + 4 } { 1 + 2 } = \frac { 7 } { 3 }$

方法二：

在等比數列（公比q≠－1）中依次取出若干個n項，其和也構成等比數列，即

$S _ { n } , S _ { 2 n } - S _ { n } , S _ { 3 n } - S _ { 2 n } , \dots \ldots$

也為等比數列，公比為

；

圖示理解：

$\underbrace { a _ { 1 } , a _ { 2 } , \cdots , a _ { m } } _ { s _ { m } },\underbrace { a _ { m + 1 } , a _ { m + 2 } , \cdots , a _ { 2 m } } _ { s _ { 2 m } - s _ { m } },\underbrace { a _ { 2m + 1 } , a _ { 2m + 2 } , \cdots , a _ { 3 m } } _ { s _ { 3 m } - s _ { 2m } },$

這裡我們不妨設

則

$S _ { 3 } , S _ { 6 } - S _ { 3 } , S _ { 9 } - S _ { 6 }$

成等差數列，

所以可以得到

兩者的比值也可以得到。

編號：20190106

分類：數列

數列

$\left\{ a _ { n } \right\}$

的通項

$a _ { n } = n ^ { 2 } \left( \cos ^ { 2 } \frac { n \pi } { 3 } - \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 3 } \right)$

，其前n項和為Sn，則

$S_{30}$

為

A．470

B．490

C．495

D．510

【答案】A

【解析】

數列和三角函式相結合，我們首先考慮利用二倍角公式對三角函式進行化簡：

$\cos ^ { 2 } \frac { n \pi } { 3 } - \sin ^ { 2 } \frac { n \pi } { 3 }=\cos \frac { 2n \pi } { 3 },$

以3為一個週期，故

$S _ { 30 } = \left( - \frac { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } } { 2 } + 3 ^ { 2 } \right) + \left( - \frac { 4 ^ { 2 } + 5 ^ { 2 } } { 2 } + 6 ^ { 2 } \right) + \cdots + \left( - \frac { 28 ^ { 2 } + 29 ^ { 2 } } { 2 } + 30 ^ { 2 } \right)$

$= \sum _ { k = 1 } ^ { 10 } \left[ - \frac { ( 3 k - 2 ) ^ { 2 } + ( 3 k - 1 ) ^ { 2 } } { 2 } + ( 3 k ) ^ { 2 } \right]$

$\sum _ { k = 1 } ^ { 10 } \left[ 9 k - \frac { 5 } { 2 } \right] = \frac { 9 \times 10 \times 11 } { 2 } - 25 = 470$

故選A

編號：20190105

分類：三角函式的影象與性質

已知函式

$f ( x ) = \sin \left( x + \frac { \pi } { 6 } \right),$

其中

$x \in \left[ - \frac { \pi } { 3 } , a \right]$

若f（x）的值域是

$\left[ - \frac { 1 } { 2 } , 1 \right],$

則實數a的取值範圍是________。

請一定要先自己動手做再看答案~~

【答案】

$\left[ \frac { \pi } { 3 } , \pi \right]$

【解析】

這裡我們將

$x + \frac { \pi } { 6 }$

當做一個整體。令

$t=x + \frac { \pi } { 6 }$

由

$x \in \left[ - \frac { \pi } { 3 } , a \right]$

可得

$t = x + \frac { \pi } { 6 } \in \left[ - \frac { \pi } { 6 } , a + \frac { \pi } { 6 } \right]$

所以原來的題目就轉化為

$y = \sin t , t \in \left[ - \frac { \pi } { 6 } , a + \frac { \pi } { 6 } \right]$

的值域為

$\left[ - \frac { 1 } { 2 } , 1 \right],$

這樣子做的好處在於我們只需要關注我們熟悉的y=sinx的影象即可。

起始位置是

$- \frac { \pi } { 6 }$

結束位置為

$a + \frac { \pi } { 6 },$

只有

$a + \frac { \pi } { 6 }$

比

$\frac{\pi}{2}$

大，值域才能達到1，但是

$a + \frac { \pi } { 6 }$

又不能超過

$\frac { 7 \pi } { 6 }$

，否則最小值就比

$- \frac { 1 } { 2 }$

小，即

$\frac { \pi } { 2 } \leq a + \frac { \pi } { 6 } \leq \frac { 7 \pi } { 6 }$

解得

$\frac { \pi } { 3 } \leq a \leq \pi$

編號：20190104

分類：函式

用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值，設

$f ( x ) = \min \left\{ 2 ^ { x } , x + 2,10 - x \right\} ( x \geq 0 ),$

則f（x）的最大值為

（A）4 （B）5 （C）6 （D）7

請一定要先自己動手做再看答案~~

【答案】C

【解析】畫出

$y = 2 ^ { x } , y = x + 2 , y = 10 - x$

的圖象，

觀察圖象可知，當0≤x≤2時，

$f(x)= 2 ^ { x },$

當2≤x≤3時，f（x）＝x＋2，當x＞4時，f（x）＝10-x，f（x）的最大值在x＝4時取得為6。

編號：20190103

分類：平面向量

設

，

為同一平面內具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足

與

不共線，

⊥

，∣

∣=∣

∣，則∣

•

∣的值一定等於

A．以

，

為兩邊的三角形面積

B．以

，

為兩邊的三角形面積

C．以

，

為鄰邊的平行四邊形的面積

D．以

，

為鄰邊的平行四邊形的面積

請一定要先自己動手做再看答案~~

【答案】C

【解析】以數形結合作為解題的出發點

依題意可得：

$| \vec { b } \cdot \vec { c } | = | \vec { b } | \cdot | \vec { c } | \cdot | \cos ( \vec { b } , \vec { c } ) |$

根據題目條件進行轉化，相等的邊進行替換，互餘的角正弦值與餘弦值相等，則

$| \vec { b } \cdot \vec { c } | = | \vec { b } | \cdot | \vec { c } | \cdot | \cos ( \vec { b } , \vec { c } ) |$

$= | \vec { b } | \cdot | \vec { a } | \cdot |\sin ( \vec { a } , \vec { c } ) |$

三角形OAB的面積為

$\frac{1}{2} | \vec { b } | \cdot | \vec { a } | \cdot |\sin ( \vec { a } , \vec { c } ) |$

所以∣

•

∣的值為平行四邊形OADB的面積，即以

，

為鄰邊的平行四邊形的面積。

編號：20190102

分類：三角函式的影象與性質

已知函式

$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } { \sin ( x + a ) , x \leq 0 } \\ { \cos ( x + b ) , x > 0 } \end{array} \right.$

是偶函式，則下列結論可能成立的是（）

$\text { A. } a = \frac { \pi } { 4 } , b = - \frac { \pi } { 4 } \quad \text { B. } a = \frac { 2 \pi } { 3 } , b = \frac { \pi } { 6 }$

$\text { C. } a = \frac { \pi } { 3 } , b = \frac { \pi } { 6 } \quad\quad \text { D}. a = \frac { 5 \pi } { 6 } , b = \frac { 2 \pi } { 3 }$

請一定要先自己動手做再看答案~~

【答案】C

【解析】

方法一：可以根據偶函式的定義，透過f(-x)=f(x)進行代數變換，運用兩角和與差的正弦餘弦公式解題。

若x＞0，則-x＜0，因為

$\sin ( x + a ) = \sin x \cos a + \cos x \sin a$

，

$\cos ( - x + b ) = \cos x \cos b + \sin x \sin b$

，

且f（x）為偶函式，所以由題意知，

$\sin x \cos a + \cos x \sin a = \cos x \cos b + \sin x \sin b$

恆成立，所以必有

$\left\{ \begin{array} { l } { \sin a = \cos b } \\ { \cos a = \sin b } \end{array} \right.$

對照選項，選C。

方法二：根據影象平移進行解題，可以將sin(x+a)看做sinx的影象向左平移a個單位，進行大致影象判斷，關於y軸對稱則為偶函式

。

A選項影象（完美對接）：

B選項影象（完美對接）：

C選項影象（偶函式，關於y軸對稱）：

D選項影象（奇函式，關於原點對稱）：

編號：20190101

分類：三角函式的影象與性質

若

$a \in ( 0 , \pi ),$

函式

$f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } { \sin x , x > a } \\ { \cos x , x<a } \end{array} \right.$

的影象關於點

對稱，則

$\text { A. }- 1 \quad \text { B. } - \frac { 1 } { 2 } \quad \text { C. } 0 \quad \text { D. } - \frac { \sqrt { 3 } } { 2 }$

請一定要先自己動手做再看答案~~

【答案】A

【解析】畫出影象如下圖所示

由影象可得

$a = \frac { 3 } { 4 }\pi$

，則

$f ( 2 a ) = \sin \frac { 3 } { 2 } \pi = - 1$

進一步思考，如果題目條件變為影象關於x=a對稱，那麼a的值如何？

由影象可得

$a = \frac { \pi } { 4 }$

日積月累，未完待續

To Be Continued……

標簽：影象答案編號解析分類

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