矩陣的秩大於等於所有對應特徵值非零的線性無關特徵向量的個數嗎？

作者：由匿名使用者發表于詩詞時間：2022-05-22

雨落階前2022-05-22 11:48:01

不對，正確的結論是：非零特徵值的代數重數（就是你理解的重數）不超過矩陣的秩。

題主說的是幾何重數（某特徵值的幾何重數即該特徵值對應的線性無關的特徵向量的個數）這個不對哦。

證明也很簡單，對於任意n階矩陣A，有以下關係成立：n–矩陣A的秩＝零空間（矩陣A的零空間即方程Ax＝0的解集）的維數＝0特徵值的幾何重數≤0特徵值的代數重數＝n–非零特徵值的代數重數，所以矩陣的秩≥非零特徵值的代數重數。

天下無難課2022-05-29 17:25:36

這事可以試著這麼看。假設一個三階矩陣A，秩2。如果這個矩陣有特徵值的話，它不可能有三個，因為A能長成的空間就是秩2的，所有y=Ax裡的y，無論x選何值，y只們A中，所以，不可能有y具備與A空間正交的分量，任何取值不在A裡的x都不可能得到一個與之共線的y。只有x取值在A內時，才有可能獲得y=λx的結果。而在一個秩二空間，最多隻有兩個x或兩個y是無關的。所以，特徵方向只有兩個，也就是線性無關的特徵向量（來自不同的特徵方向）只有兩個相應地，真實的特徵值（λ=y/x）也就只有兩個。

在用特徵方程求解特徵值時會出現重根。這個重根一方面來自上述的真實特徵值相同時的結果，另一方面是利用代數方程的根代表特徵值這個過程中出現的不適症，方程得到了虛根，有如再一個特徵方向上存在“兩個”“相同”的特徵值。這裡面並沒有值得深究的大學問，只是一種代數方程與幾何存在之間存在不同而已，代數方程解的範圍不能正好覆蓋真實的特徵方向上y與x的比值而已。把“兩”個相同的數去掉一個就行了。

但矩陣特徵方向的數量（也就是真實特徵值的數量）與矩陣的秩之間存在相等的關係，在矩陣有特徵方向的情況下。

λ是y與x存在共線關係（也就是矩陣有特徵方向）時的比值，λ=y/x。如果矩陣不滿秩，比如前面提的秩2的A，則有Ax=0，而x不必為零的情況。在這種情況下是不會說有λ=0=0/0的。特徵值λ為零是一個不對的說法。

λ=y/x

華天清2022-05-30 09:37:52

前面以評論的方式寫了寫，最後決定自己也答一下吧。

這個問題的答案，我認為是“對”，歡迎指正。

我是這樣分析的：

1。如果是一個判斷題或者填空題，那麼，在頭腦中儘快找到關鍵的判斷依據：定義和定理

2。如果是計算題，那麼，。。。

3。如果是證明題，那麼，。。。

如果是判斷題，我是這樣分析的：

1，假設這個矩陣A能夠對角線化，說明有個對角矩陣B跟他相似，有個定理：此時rank（A） = rank（B）且nullity（A） = nullity（B）。所以，這個問題的結論是“對”，此時A的秩應該等於所有非零特徵值對應的特徵子空間的基的彙總數。

2，假設矩陣A不能對角線話，有個特性：說是非零特徵值對應的特徵空間的維數（幾何重數）小於代數乘數。比如，這個矩陣Matrix（［［1， 1， 1］，［0， 0， 1］，［0， 0， 1］］），特徵值為1的時候對應的特徵空間是唯一基向量（1， 0， 0） span成的，就是說幾何乘數是1，而特徵值1的代數乘數是2。那麼，這種情況下，把所有非零特徵值對應的特徵空間的基向量收集起來，數量不夠rank（A）。所以，這個問題的結論還是“對”

如果是計算題，往往也是變相的填空題，就是一個矩陣中有些元素取值不確定，按照要求，讓你填上符合的值。這是因為5次及其以上的特徵方程絕大多數解不了，出題的時候一定會找一些特殊情況，基於觀察，利用腦子中記的定理和定義進行嘗試，找到合適的值。

MirrorLake2022-06-11 12:18:33

答案是肯定的，證明如下：（反證法）

設域

上的

階矩陣

的秩是

，

$X_1, X_2, ... , X_{r+1}$

是

的

個線性無關的特徵向量，所對應的特徵值（均非

）分別為

$\lambda _1, \lambda_2, ... , \lambda _{r+1}$

。我們把

$\{X_1, X_2, ... , X_{r+1}\}$

擴充成

的一組基，設為

$\{X_1, X_2, ... , X_{r+1}, Y_{r+2}, ... , Y_n\}$

，記

階矩陣非奇異矩陣

$S=[ X_1, X_2, ... , X_{r+1}, Y_{r+2}, ... , Y_n ]$

，則

$AS=A[ X_1, X_2, ... , X_{r+1}, Y_{r+2}, ... , Y_n ]=[ AX_1, AX_2, ... , AX_{r+1}, AY_{r+2}, ... ,A Y_n ]$

$=[\lambda_1X_1, \lambda_2X_2, ... , \lambda_{r+1}X_{r+1}, AY_{r+2}, ... , AY_n ]=[ X_1, X_2, ... , X_{r+1}, Y_{r+2}, ... , Y_n ][\Lambda_1, \Lambda_2, ... , \Lambda_{r+1}, Z_{r+2}, ..., Z_n]$