第二節阻尼振動

作者：由盧國願發表于攝影時間：2020-08-19

阻尼係數的單位是什麼

0。1 阻尼振動的定義

定義

：做簡諧振動的物體受到“一個與振動方向相反的阻尼力”時的運動，叫做阻尼振動：

0.2 阻尼振動方程

定理

：設回覆力系數為

，阻尼係數為

$\gamma$

（阻尼力是

$-\gamma\dot{x}$

），則阻尼振動方程為：

$-kx-\gamma\dot{x}=m\ddot{x}.$

證明：由動力學方程直接得到。

0。3 阻尼振動方程的解

定理

：設回覆力為

$F=-kx,\,k>0，$

阻尼力為

$f=-\gamma\dot{x}$

，初始條件為

$x\mid_{t=0}=x_{0}，\dot{x}\mid_{t=0}=v_{0}$

，則

弱阻尼

振動物體的運動軌跡為：

$x\left(t\right)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{mv_{0}^{2}}{k}}e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}t+\varphi_{0}\right)$

其中

$\varphi_{0}$

滿足

$\cos\varphi_{0}=\frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}}}，\sin\varphi_{0}=\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)/\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}}}$

。

說明：從上可知簡諧振動的振幅

，角頻率

$\omega（$

或者週期

$T=2\pi/\omega）$

，初相位

$\varphi_{0}$

完全由物體的初始位置

$x_{0}$

，初始速度

$v_{0}$

，物體的質量m，回覆力系數k，阻尼係數

$\gamma$

，所決定。只需要確定某個簡諧振動系統的這些引數，就可以根據（1）直接列出運動軌跡方程。

證明

：由阻尼振動程出發，則：

$-kx-\gamma\dot{x}=m\ddot{x}$

設

$k/m=\omega_{0}^{2}，\gamma/m=2\beta_{0}$

則：

$\ddot{x}+2\beta_{0}\dot{x}+\omega_{0}^{2}x=0，$

方程的解，分為三種情況：

（1）弱阻尼情況

：

$\beta_{0}<\omega_{0}：$

$x\left(t\right)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{mv_{0}^{2}}{k}}e^{-\beta_{0}t}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\beta_{0}^{2}}t+\varphi_{0}\right)$

$其中\varphi_{0}滿足\cos\varphi_{0}=\frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\beta_{0}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\beta_{0}^{2}}}}，\sin\varphi_{0}=\frac{-\frac{\left(v_{0}+\beta_{0}x_{0}\right)}{\sqrt{\frac{k}{m}-\beta_{0}^{2}}}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\beta_{0}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\beta_{0}^{2}}}}。$

（2）強阻尼情況

：

$\beta_{0}>\omega_{0}：$

$x\left(t\right)=A_{1}e^{-\beta_{0}-\sqrt{\beta_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}}t}+A_{2}e^{-\beta_{0}+\sqrt{\beta_{0}^{2}-\omega_{0}^{2}}t}$

此時無振動頻率，振幅可言。

（3）臨界阻尼情況

：

$\beta_{0}=\omega_{0}：$

$x\left(t\right)=\left(C_{1}+C_{2}t\right)e^{-\beta_{0}t}$

此時無振動頻率，振幅可言。

0。4 具體的例子

0.4.1 彈簧的振動

應用題目：設一根彈性係數為k的彈簧水平連著一個物體m，空氣阻尼力為

$f=-\gamma\dot{x}，$

組成一個阻尼振動系統，已知初始位置為

$x_{0}$

，初始速度為

$v_{0}$

，求其軌跡方程。

解：由於其動力學方程為：

$-kx-\gamma\dot{x}=m\ddot{x}.$

因此其回覆力系數為

，阻尼係數為

$\gamma=\gamma$

，根據（1）則得到軌跡方程為：

$x\left(t\right)=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{mv_{0}^{2}}{k}}e^{-\frac{\gamma}{2m}t}\cos\left(\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}t+\varphi_{0}\right)$

$其中\varphi_{0}滿足\cos\varphi_{0}=\frac{x_{0}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}}}，\sin\varphi_{0}=\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)/\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}{\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{\left(v_{0}+\frac{\gamma}{2m}x_{0}\right)^{2}}{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}}}。$

說明：從上可知該簡諧著振動系統的振幅為：

$A=\sqrt{x_{0}^{2}+\frac{mv_{0}^{2}}{k}}e^{-\frac{\gamma}{2m}t}；角頻率為：\omega=\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}；週期為T=2\pi/\sqrt{\frac{k}{m}-\frac{\gamma^{2}}{4m^{2}}}$