[數學建模-最佳化]擬合與插值
擬合
多項式擬合 numpy.polynomial
import
numpy
as
np
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
numpy。polynomial
import
Polynomial
as
P
rng
=
np
。
random
。
default_rng
（
1
）
x
=
np
。
linspace
（
0
，
2
*
np
。
pi
，
20
）
y
=
np
。
sin
（
x
）
+
rng
。
normal
（
scale
=
0。5
，
size
=
x
。
shape
）
p
=
P
。
fit
（
x
，
y
，
deg
=
5
）
# 次數
（
p
。
coef
）
plt
。
plot
（
x
，
y
，
‘o’
，
label
=
‘data’
）
xx
=
np
。
linspace
（
0
，
2
*
np
。
pi
，
200
）
plt
。
plot
（
xx
，
p
（
xx
），
‘——’
，
label
=
‘fit polynomial’
）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
legend
（）
plt
。
show
（）
［
0。08138754
-
3。38174606
-
0。40298685
5。58384396
0。35245668
-
2。4820491
］
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/Iuw42jhFNcyoI2Pi0LNN4HuC14_-6qCg3-5ia02RGJpNf2H1dd2KeRdRew49Qr8i+wNvP_hROLl++cNR0LvY2APVet2T7S9S+enGMG6DMgQxW02Ff.jpeg)
函式擬合 scipy.optimize.curve_fit
返回值
popt： 最小二乘擬合得到引數
pcov： 協方差矩陣，其中np。sqrt（np。diag（pcov））為標準差
import
numpy
as
np
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
scipy。optimize
import
curve_fit
def
f
（
x
，
a
，
b
，
c
）：
return
a
*
np
。
exp
（
-
b
*
x
）
+
c
xdata
=
np
。
linspace
（
0
，
4
，
50
）
y
=
f
（
xdata
，
2。5
，
1。3
，
0。5
）
# 待擬合函式
rng
=
np
。
random
。
default_rng
（
1
）
ydata
=
y
+
0。2
*
rng
。
normal
（
size
=
xdata
。
size
）
# 加入噪點
plt
。
plot
（
xdata
，
ydata
，
‘-’
，
label
=
‘data’
）
popt
，
pcov
=
curve_fit
（
f
，
xdata
，
ydata
）
# 擬合引數值， 協方差矩陣
（
popt
，
pcov
，
sep
=
‘
\n
’
）
plt
。
plot
（
xdata
，
f
（
xdata
，
*
popt
），
‘-’
，
label
=
‘（unconstrained） fit： a=
%5。3f
， b=
%5。3f
， c=
%5。3f
’
%
tuple
（
popt
））
popt
，
pcov
=
curve_fit
（
f
，
xdata
，
ydata
，
bounds
=
（
0
，
［
3。
，
1。
，
0。5
］））
（
popt
，
pcov
，
sep
=
‘
\n
’
）
plt
。
plot
（
xdata
，
f
（
xdata
，
*
popt
），
‘——’
，
label
=
‘（constrained） fit： a=
%5。3f
， b=
%5。3f
， c=
%5。3f
’
%
tuple
（
popt
））
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
legend
（）
plt
。
show
（）
［
2。60437976
1。33487461
0。48456861
］
［［
0。01160596
0。00478154
-
0。00057784
］
［
0。00478154
0。01401482
0。00394553
］
［
-
0。00057784
0。00394553
0。00212948
］］
［
2。4936018
1。
0。36144807
］
［［
0。01155931
0。00216026
-
0。00169733
］
［
0。00216026
0。01217232
0。00623147
］
［
-
0。00169733
0。00623147
0。00467355
］］
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/UphkTkVzJrftE_xsq+bjCsp_U85Gwi-p7BMmj8H9vIBloAtLFMjZV1UZpjT9tCLr78sZQGn5vX16loUGq+-IAh4eDGfmxGtm-ScSivHPQVno2hCIE.jpeg)
插值
1-D 樣條scipy.interpolate.interp1d
引數
kind： ‘linear’，
‘nearest’
， ‘nearest-up’， ‘zero’，
‘slinear’, ‘quadratic’, ‘cubic’
，
‘previous’, ‘next’
import
numpy
as
np
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
scipy。interpolate
import
interp1d
x
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
11
，
endpoint
=
True
）
y
=
np
。
cos
（
-
x
**
2
/
9。0
）
f1
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘nearest’
）
f2
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘previous’
）
f3
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘next’
）
xx
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
1001
，
endpoint
=
True
）
plt
。
plot
（
x
，
y
，
‘o’
，
label
=
‘data’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f1
（
xx
），
‘-’
，
label
=
‘nearest’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f2
（
xx
），
‘——’
，
label
=
‘previous’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f3
（
xx
），
‘：’
，
label
=
‘next’
）
plt
。
legend
（）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
show
（）
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/Iuw42jhFNcyoI2PX0LNN4HuC14_-6qCg3-5XaolSGJGdf6sQh5Zw2IZUew6e5nmh+4gAa8HiZP2-icNR0LvY2APVet2T7S9S+enGMG6DMgQxW02Ff.jpeg)
import
numpy
as
np
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
scipy。interpolate
import
interp1d
x
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
11
，
endpoint
=
True
）
y
=
np
。
cos
（
-
x
**
2
/
9。0
）
f4
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘linear’
）
f5
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘quadratic’
）
f6
=
interp1d
（
x
，
y
，
kind
=
‘cubic’
）
xx
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
1001
，
endpoint
=
True
）
plt
。
plot
（
x
，
y
，
‘o’
，
label
=
‘data’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f4
（
xx
），
‘-’
，
label
=
‘linear’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f5
（
xx
），
‘——’
，
label
=
‘quadratic’
）
plt
。
plot
（
xx
，
f6
（
xx
），
‘：’
，
label
=
‘cubic’
）
plt
。
legend
（）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
show
（）
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/3Q8DtigmPnirsMQI4GBP0dUFQQdW6MywgnSD57YUyGc8JyARIDoab5JMv31wI8Kp1K+tuWZfcG2xvW_74G5aGLfwvUyV7xGZ22Eu3MKLGU-Wm9=WJ.jpeg)
#FormatImgID_5# 1-D B-樣條scipy.interpolate.splXXX
splrep（x， y， **args） B樣條插值曲線
1 <= k <= 5為曲線次數，預設為3
用作插值時s=0
splev（x， tck， der=0） 求樣條函式值和導數值
spalde（x， tck） 求所有階導數值
splint（a， b， tck） 求積分
import
numpy
as
np
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
scipy。interpolate
import
splev
，
splrep
，
splint
，
spalde
x
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
10
）
y
=
np
。
sin
（
x
）
spl3
=
splrep
（
x
，
y
，
k
=
3
）
# 三次樣條
spl2
=
splrep
（
x
，
y
，
k
=
2
）
# 二次樣條
xx
=
np
。
linspace
（
0
，
10
，
200
）
plt
。
plot
（
x
，
y
，
‘o’
，
label
=
‘data’
）
plt
。
plot
（
xx
，
np
。
sin
（
xx
），
‘——’
，
label
=
‘True’
）
plt
。
plot
（
xx
，
splev
（
xx
，
spl3
，
der
=
0
），
‘：’
，
label
=
‘Spline： k=3’
）
plt
。
plot
（
xx
，
splev
（
xx
，
spl2
，
der
=
0
），
‘——’
，
label
=
‘Spline： k=2’
）
plt
。
legend
（）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
show
（）
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/I4UDk7tLuRHgIdIc61L9+fl00vtH+a6F3S5tlO_DSXa0iRVdtxn5iYgDesTmeb3+i2cB-A7SvPo6_yfw61JBemiPdDKGIARy+c7uShV8Jsu3WbTOS.jpeg)
yders
=
spalde
（
xx
，
spl3
）
plt
。
figure
（）
for
i
in
range
（
len
（
yders
［
0
］））：
plt
。
plot
（
xx
，
［
d
［
i
］
for
d
in
yders
］，
‘——’
，
label
=
f
“
{i}
derivative”
）
plt
。
legend
（）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
title
（
‘All derivatives of a B-spline’
）
plt
。
show
（）
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/3YrJjiXlV2YA1AiGkFWUNHaVahcn_qkQg0Sf171IBcSCbYDGVqlFLrG7yR8f1X49dWrLgg5f9dyCbFg2kFjoBApqyRP7jSEx2FDcyM1tAffLpEv71.jpeg)
def
integ
（
x
，
tck
，
constant
=-
1
）：
x
=
np
。
atleast_1d
（
x
）
out
=
np
。
zeros
（
x
。
shape
，
dtype
=
x
。
dtype
）
for
n
in
range
（
len
（
out
））：
out
［
n
］
=
splint
（
0
，
x
［
n
］，
tck
）
out
+=
constant
return
out
plt
。
plot
（
xx
，
integ
（
xx
，
spl3
），
‘-’
）
plt
。
title
（
‘Integral estimation from spline’
）
plt
。
xlabel
（
‘x’
）
plt
。
ylabel
（
‘y’
）
plt
。
show
（）
![[數學建模-最佳化]擬合與插值](https://img.heatask.com/upload/website_attach/n7N6xn2L6h5dQb+nHc0H7Zsd6t_=eXmpsEovTBXEtSxz+3kDd7WA6SNA-hq4bY_8T05ITqfw-AwB_BeEHcoyKqzHTF2tfDYm7jWeRiS8S3DiCZSGR.jpeg)
參考資料.
Interpolation (scipy.interpolate) — SciPy v1.9.0 Manual
scipy.optimize.curve_fit — SciPy v1.9.0 Manual
Convenience Classes — NumPy v1.23 Manual
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