交換環論(5)：關聯素理想

作者：由 ZCC 發表于攝影時間：2021-10-22

關聯素理想

關聯素理想是與準素分解密切相關的一個概念。

對於環

和

-模

，定義

定義 5.1.1[關聯素理想]

的素理想

稱為

的

關聯素理想

（associated prime ideal），若存在

$x\in M$

使得

$P=\mathrm{ann}(x)$

。

註記

這裡associated一詞有許多不同的譯法，除“關聯”外還有“伴隨”、“結合”等。

的所有關聯素理想構成

$\mathrm{Spec}(A)$

的子集

$\mathrm{Ass}_A(M)$

，有時忽略下標

。

對於

$I\leq A$

有商環

，它視為

-模的關聯素理想稱為

的

素因子

（prime divisor）。

定理 5.1.2

對於乘法集

$S\subset A$

和

$S^{-1}A$

-模

。若將

$\mathrm{Spec}(S^{-1}A)$

視為

$\mathrm{Spec}(A)$

的子集，即由所有不與

相交的素理想構成，那麼

$\quad \mathrm{Ass}_{A}(N)=\mathrm{Ass}_{S^{-1}A}(N)$

進一步若

是諾特環，則對

-模

有

$\quad \mathrm{Ass}_{A}(S^{-1}M)=\mathrm{Ass}_{A}(M)\cap\mathrm{Spec}(S^{-1}A)$

證明從略。

作為推論，對於諾特環

上的模

，有

$\quad p\in\mathrm{Ass}_A(M)\iff p^e\in\mathrm{Ass}_{A_p}(M_p)$

定理 5.1.3

對於

-模的短正合列

$\quad 0\to M$

有

$\quad \mathrm{Ass}(M)\subset \mathrm{Ass}(M$

證明

若

$P=\mathrm{ann}(x)\in\mathrm{Ass}(M)$

，則考慮

-模同態

$\quad\begin{align} L_a:A&\to M\\ a&\mapsto ax \end{align}$

可知

存在同構於

的子模(即上述同態的像)

，我們記為

。

而由於

是素理想，因此

對任意非零的

$n\in N$

都有

$P=\mathrm{ann}(n)$

。因此視

為

的子模，若

$N\cap M$

，則

$P\in\mathrm{Ass}(M$

；否則同態

$M\to M$

限制到

上會是一個單同態，從而

$P\in\mathrm{Ass}(M$

。

這裡推導中用到的一些結論(已加粗)在之後一些定理證明中還會用到.

諾特環的關聯素理想

一般來說，只有諾特環的關聯素理想引起我們的興趣。

約定

在這一部分的討論中，若無特殊說明均預設

是諾特環。

定理 5.2.1

設

是非零

-模。若

$a\in A$

使得存在非零的

$x\in M$

滿足

則稱

是

的

零因子

，則偏序集

$\quad \{\mathrm{ann}(x):x\in M-\{0\}\}$

存在極大元

，且

$p\in\mathrm{Ass}(M)$

。進一步，集合

$\quad \bigcup_{p\in\mathrm{Ass}(M)}p$

正是

的零因子構成的集合。

證明

的存在性由

的諾特性保證，

是素理想由其極大性保證，其證明是直接的。顯然上述並集中的元素自然是

中的零因子；反過來若

且

$x\ne 0$

，則

$a\in\mathrm{ann}(x)$

，從而存在一個相關素理想包含

。

如果

是有限生成的，則有一些更良好的結果。

引理 5.2.2

若

是非零的有限生成

-模，則存在一條

-子模的鏈

$\quad 0=M_0\subset M_1\subset\cdots\subset M_n=M$

使得對任意正整數

均存在某個素理想

$P_i\in\mathrm{Spec} (A)$

使得

$M_i/M_{i-1}\simeq A/P_i$

。

證明

可以選取

$P_1\in\mathrm{Ass}(M)$

，則存在子模

$M_1\subset M$

同構於

。這樣歸納構造

：若

$M_{i-1}\ne M$

，則選取

$P_i\in\mathrm{Ass}(M/M_{i-1})$

，從而存在子模

$M_i\subset M$

使得

$M_{i}/M_{i-1}\simeq A/P_i$

。由於

諾特，必定在有限步之後出現

。

定理 5.2.3

若

是非零的有限生成

-模，則

（1）。

$\mathrm{Ass}(M)$

是有限集；

（2）。

$\mathrm{Ass}(M)\subset\mathrm{supp}(M)$

；

（3）。

$\mathrm{Ass}(M)$

和

$\mathrm{supp}(M)$

中的極小元（構成的集合）相同。

證明

（1）。由引理5。2。2，

可以由同構於

的模經過有限次擴張得到，而

只有唯一的關聯素理想

，因此由定理5。1。3，

只有有限個關聯素理想。

（2）。若

$P\in\mathrm{Ass}(M)$

則有自然的正合序列

$\quad 0\to A/P\to M$

由區域性化的正合性（定理3。4。4）有下面序列正合

$\quad 0\to A_P/ P^e\to M_P$

這意味著

$M_P\ne 0$

從而

$P\in\mathrm{supp}(M)$

。

（3）。由（2）只需證明

$\mathrm{supp}(M)$

中的極小元，設為

，也在

$\mathrm{Ass}(M)$

中即可。

由定理5。1。2和上述（2）有

$\quad\begin{align} \varnothing&\ne \mathrm{Ass}(M_p)\\ &=\mathrm{Ass}(M)\cap\mathrm{Spec}(A_p)\\ &\subset \mathrm{supp}(M)\cap\mathrm{Spec}(A_p)\\ &=\{p\} \end{align}$

最後一個等號用到了

的極小性，上式意味著

$p\in\mathrm{Ass}(M)$

。

準素分解

定義 5.3.1[準素子模]

稱

-模

的子模

是

準素子模

（primary submudule），若對任意

$a\in A$

，

$m\in M$

都有

$\quad x\notin N\text{ and } ax\in N\Rightarrow a^vM\subset N \text{ for some }v\in\mathbb{N}.$

這相當於說

是

的零因子蘊含

$a\in\sqrt{\mathrm{ann}(M/N)}$

，因此

是否準素取決於商模

，在有的文獻上直接稱

是準素模。

準素子模是準素理想概念的自然推廣——

的理想

是準素理想當且僅當

作為

的

-子模是準素子模。

類似地當然可以考慮“素子模”作為素理想的推廣，但它並未展現很好的性質。

定理 5.3.2

給定諾特環

上的有限生成模

，其子模

是準素子模，當且僅當

存在唯一的關聯素理想。

進一步，若設

$\mathrm{Ass}(M/N)=\{P\}$

，

$\mathrm{ann}(M/N)=I$

，則

是

的準素理想且

$P=\sqrt{I}$

。此時我們稱

是

的

-準素子模

，或者說

是屬於

的準素子模。

證明概要

$\mathrm{Ass}(M/N)=\{P\}\Rightarrow\mathrm{supp}(M)=V(P)\Rightarrow P=\sqrt{I}$

此時設

是

的零因子，則由定理5。2。1，

$a\in P=\sqrt{I}$

，故

是準素子模。

反之若

是

的準素子模，設

$P\in\mathrm{Ass}(M)$

，則任意

$a\in P$

都是

的零化子從而屬於

$\sqrt{I}$

，即有

$P\subset \sqrt{I}$

。而由定義

$I\subset P$

從而

$\sqrt{I}\subset P$

。因此

$P=\sqrt{I}$

，即

$\mathrm{Ass}(M)$

只有一個元素

$\sqrt{I}$

。

這時不難驗證

準素，具體細節從略。

定理 5.3.3

若

是

的

-準素子模，則

$N_1\cap N_2$

也是

-準素子模。

證明

$M/(N_1\cap N_2)$

可視為

$(M/N_1)\oplus (M/N_2)$

的子模，因此

$\quad \mathrm{Ass}(M/(N_1\cap N_2))\subset \mathrm{Ass}(M/N_1)\cup\mathrm{Ass}(M/N_2)=\{P\}$

約定

我們稱

的子模

是

可約

（reducible）的，若存在不同於

的子模

使得

$N=N_1\cap N_2$

；否則稱

不可約

（irreducible）。需注意，不同情境下“可約”有不同的含義。

定理 5.3.4

若

是諾特模，

是

的子模，則

能表示為有限個不可約子模的交。

證明

所有無法表示為有限個不可約子模的交的子模構成一個偏序集

$\mathcal{F}$

。

若

$\mathcal{F}$

非空，則由

諾特可以取

$\mathcal{F}$

中的極大元

，則存在不同於

的子模

使得

$N_0=N_1\cap N_2$

。而由

的極大性可知

是有限個不可約子模的交，從而

亦然，矛盾。

需注意這樣的表示未必唯一。

一般地，若

能表示為有限個子模的交

$\quad N=\bigcap_{i\in I}N_i$

這裡

是有限集，在這一節中我們稱上述表示式是

的一個

分解

（decomposition）。若對於

的任意真子集

均有

$\quad N\ne\bigcap_{j\in J}N_j$

則稱該分解是

無冗餘的

（irredundant）。如果諸

是不可約（resp。準素）子模，則稱該分解是

不可約

（resp。

準素

）

分解

。

定義 5.3.5[準素分解]

對於

的子模

，我們稱

的準素分解

$\quad N=\bigcap_{i\in I}N_i$

是

最短準素分解

，若它無冗餘，且不同的

屬於不同的素理想

，並將

稱為

的

-準素分支

（primary component）。

根據定理5。3。3，

的任意準素分解均可透過去掉冗餘項再“合併同類項”，即將分解中所有屬於同一素理想的子模合併，而化為最短準素分解。因此常常就將最短準素分解簡稱為準素分解了。

最後我們由如下定理結束本節。

定理 5.3.6

設

是諾特環

上的非零有限生成模，

是

的真子模，則

（1）。

的不可約子模是準素子模；

（2）。

存在最短準素分解

$N=\cap_{i=1}^{n}N_i$

；

（3）。

$\mathrm{Ass}(M/N)=\cup_{i=1}^{n}\mathrm{Ass}(M/N_i)$

；

證明

（1）。由定理5。3。2，不失一般性，只需證明當

$\mathrm{Ass}(M)$

中有至少兩個元素

時，零子模

可約。此時

存在同構於

的（非零）子模

（

），這時對任意

$x\in K_i$

有

$P_i=\mathrm{ann}(x)$

，這意味著

$K_1\cap K_2=0$

，從而

可約。

（2）。由（1）結合定理5。3。4立得。

（3）。不失一般性可設

，此時

$\cap_{i=1}^{n}N_i=0$

從而

$\quad M\simeq \bigoplus_{i=1}^{n}M/N_i$

由定理5。1。3，有

$\quad \mathrm{Ass}(M)\subset\bigcup_{i=1}^{n}\mathrm{Ass}(M/N_i)$

另一方面可取非零的

$x\in \cap_{i=2}^{n}N_i$

，則

$\quad \mathrm{ann}(x)=\{a\in A:ax\in N_1\}$

而

$N_1:M=\{a\in A:aM\subset N_1\}$

與

屬於同一素理想

，從而存在正整數

使得

$P_1^r M\subset N_1$

，因此

$P_1^r\subset \mathrm{ann}(x)$

，此時存在最大的非負整數

使得

$P_1^sx\ne0$

而

$P_1^{s+1}x= 0$

。

再取一非零元

$y\in P_1^sx$

則

即

$P_1\subset \mathrm{ann}(y)$

。注意到

$y\in \cap_{i=2}^{n}N_i$

，因此

$y\notin N_1$

，故由準素子模的定義，

$\mathrm{ann}(y)\subset P_1$

。因此我們有

$P_1=\mathrm{ann}(y)$

於是

是

的關聯素理想。將上述步驟應用於其他的準素子模

（

$i=2,3,\cdots,n$

）即可得到

$\quad \mathrm{Ass}(M)=\bigcup_{i=1}^{n}\mathrm{Ass}(M/N_i).$

補充：次級表示

次級表示可以視為準素分解的對偶版本，相關的工作主要由I。G。Macdonald等人完成，我們這裡僅蜻蜓點水，以資補充（當然書上都有相關命題的證明）。以下給定環

和非零

-模

。

定義 5.4.1[次級模]

稱

是一個

次級模

（secondary module），若對任意

$a\in A$

，

-模同態

$\quad\begin{align} L_a:A&\to M\\ a&\mapsto ax \end{align}$

要麼是滿同態；要麼是冪零的，即存在正整數

使得

$L_{a^n}=0$

。

此時

$P=\sqrt{\mathrm{ann}(M)}$

時素理想，並稱

是

-次級模。而

-次級模的非零商模也是

-次級模。

例子 5.4.2

以下的例子交由讀者驗證。

（1）。整環

的分式域

$\mathrm{Frac}(A)$

是一個

-次級模；

（2）。區域性環

有包含於冪零根

的極大理想

，則

是

-次級模；

（3）。對於環

的極大理想

和任意正整數

，商環

是

-次級模。

定義 5.4.3[次級表示]

若

能表示為有限個次級子模的和

$\quad M=\sum_{i\in I}N_i$

則稱上式是

的一個

次級表示

（secondary representation）。

若上式中的諸

滿足素理想

$\sqrt{\mathrm{ann}(N_i)}$

互不相同，且去掉累加中的任意一項

後等式不再成立，則稱該次級表示是極小的。

下面的引理說明，只要次級表示存在，就必然可以化為極小次級表示：

引理 5.4.4

若

有兩個

-次級子模

，則

也還是

-次級子模。

而與關聯素理想對偶，有附著素理想的概念。

定義 5.4.5[附著素理想]

稱

的素理想

是

的

附著素理想

（attached prime ideal），若

存在一個

-次級商模。

的所有附著素理想構成集合

$\mathrm{Att}(M)$

。

而如果

$M=\Sigma_{i\in I}N_i$

是

的一個極小次級表示，且

是

-次級子模，則

$\quad \mathrm{Att}(M)=\{P_i:i\in I\}$

類似於定理5。1。3我們有

引理 5.4.6

對於

-模的短正合列

$\quad 0\to M$

有

$\quad \mathrm{Att}(M$

定義 5.4.7[不可分解模]

我們稱

是

不可分解的

（indecomposable），若

無法表示為兩個非零真子模的直和。

不可分解模的概念在結合代數中更常用。可以證明

引理 5.4.8

不可分解的阿廷模是次級模。

存在次級表示的模有時也成為

可表模

（representable module）

定理 5.4.9

以下幾類模存在（極小）次級表示：

（1）。阿廷模；

（2）。諾特環上的內射模；

關於次級表示的更多內容，可參考

［1］

。

練習

練習 5.1

找出

$\mathbb{Z}_n$

作為

$\mathbb{Z}$

-模的關聯素理想。

練習 5.2

既約諾特環的全分式環是域的直和。

練習 5.3

素譜具有函子性（見定義3。3。2上的討論），對於諾特環之間的同態

$f:A\to B$

和有限生成

-模

，注意

可以自然視為

-模（見例子1。1。3（4）），則集合

$\mathrm{Ass}_B(M)$

在

$\mathrm{Spec}\, (f)$

下的像為

$\mathrm{Ass}_A(M)$

。

練習 5.4

對於諾特環

上的非零有限生成模

，其真子模

總有（最短）準素分解

$N=\cap_{i=1}^{n}N_i$

。考慮

$\mathrm{Ass}(M/N)$

的極小元

，則

的

-準素分支是

$\varphi_P^{-1}(N_P)$

。

這裡

$\varphi_P:M\to M_P$

是區域性化給出的典範同態。

*練習 5.5

稱

-模

為

餘準素

（coprimary）模，若

有且僅有一個關聯素理想。

定理5。3。2說的就是，若

是諾特環上的有限生成模，則

是

的準素子模當且僅當

餘準素。

（1）。諾特餘準素模

有唯一的關聯素理想

$\sqrt{\mathrm{ann}(M)}$

；

（2）。有限長度模

是餘準素模當且僅當

是次級模；

（3）。次級餘準素模

有極小次級表示

$M=\Sigma_{i\in I}N_i$

，且這些子模的和是直和；

（4）。次級餘準素模

滿足

$\mathrm{Ass}(M)=\mathrm{Att}(M)$

，且其中的元素都是極大理想。

參考

Baig， Muslim， “Primary Decomposition and Secondary Representation of Modules over a Commutative Ring。” Thesis， Georgia State University， 2009。

https：//scholarworks。gsu。edu/math_theses/69

標簽：子模理想次級準素子模定理

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