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關於繩子掃過最大面積的問題如何解決呢？

作者：由 Huxley 發表于攝影時間：2022-09-06

Huxley2022-09-06 12:21:37

以圓柱中心為原點建立平面座標系

，記圓柱半徑

，繩長

，繩和圓柱相切點至圓心的連線與

軸夾角為

$\theta$

，初始時刻繩與圓柱相切，切點位於

處，則繩與圓柱切點矢徑為：

$\textbf r_0=R(\cos \theta \textbf i+\sin\theta \textbf j)$

繩端點矢徑：

$\textbf r=\textbf r_0+(L-\theta R)(-\sin \theta \textbf i+\cos\theta \textbf j)$

計算繩掃過的微面積向量：

$d\textbf S=\frac{1}{2}(\textbf r-\textbf r_0)\times(\textbf r+d\textbf r -\textbf r_0)+\frac{1}{2}(\textbf r+d\textbf r -\textbf r_0)\times d \textbf r_0$

$=\frac{1}{2}(\textbf r-\textbf r_0)\times(d\textbf r +d\textbf r_0)$

$=\frac{1}{2}(L-\theta R)^2d\theta \textbf k=dS \textbf k$

積分得到繩掃過的面積：

$S(\phi)=\int_0^{\phi}\frac{1}{2}(L-\theta R)^2d\theta$

$=\frac{1}{6}\phi\left[L^2+(L-\phi R)^2+L(L-\phi R)\right]$

這裡

$\phi$

是切點繞圓心轉過的角度。注意，如果繩子充分長，此

$S(\phi)$

中將包含重複掃過的面積。特別地，如果取圓柱半徑

，上式退化為：

$S(\phi)=\frac{1}{2}\phi L^2$

這是扇形面積公式，自然理應如此。如果計入重疊，角度

$\phi$

的最大值為

，相應地最大面積為：

$S_{max}=\frac{L^3}{6R}$

如果要求計算繩掃過的不重疊最大面積，此時應取：

$\phi_{max}=\min{(2\pi,\frac{L}{R})}$

對應的繩掃過的不重疊最大面積為：

$\bar{S}_{max}=\frac{1}{6}\phi_{max}\left[L^2+(L-\phi_{max} R)^2+L(L-\phi_{max} R)\right]$

標簽：圓柱切點面積繩掃過重疊

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