微納光學- 2007- IEEE表面等離基元波導布拉格光柵

本文導讀：

1， 光柵的橫向和縱向分類；

2， MIM等離基元波導色散；

3， 銀的材料色散與Drude模型；

4， 布拉格缺陷結構與透射峰；

1， 光柵的橫向和縱向分類

光柵結構是光學中非常常見的一種週期結構了。按照週期方向與光傳播方向的關係，大概可以分為兩類，一類是光柵週期沿著橫向的，即衍射光柵，如COMSOL案例庫的plasmonic wire grating，以及我們公眾號介紹過的很多文章：教程福利- 1998Nature Comsol瞬態模擬表面等離激元SPP的EOT現象，還有各種超表面：石墨烯模擬-2013 SR 基於石墨烯的可調法諾共振，還有 Metasurface- 2011 Science 基於metasurface的異常反射與折射；另一類是光柵週期沿著縱向，即與光傳播方向同向的，如典型的PT Symmetry-2011 Science 矽基光路中的非互易性光傳播，還有微納光學-2011 OE一個緊湊的寬頻微光纖布拉格光柵結構，這裡需要多說一點，就是這裡的光纖光柵（fbg）需要三維的模擬，很吃記憶體，結果也並不是很好看。今天模數哥就再介紹另一中表面等離基元波導光柵，即浙江大學何賽靈老師2007年在IEEE上發表的一篇文章，Surface plasmon Bragg gratings formed in metal-insulator-metal waveguides。

2， MIM等離基元波導色散

在介紹布拉格反射之前，我們需要先介紹一種表面等離基元波導（surface plasmon polariton， SPP），如上圖所示，即金屬-介質-金屬波導（所謂的metal-insulator-metal， MIM）。我們知道金屬-介質表面即可支援表面等離基元，並且用有限元方法就可以模擬出不同波長下的色散，見教程-COMSOL模擬表面等離激元SPP的波矢色散。

當兩個金屬表面越來越靠近的時候，介質層的厚度小於了SPP消逝場的厚度，更多的模場被擠壓到了金屬內部，所以這種MIM波導獲得了更小的模場面積，即如圖所示有效傳播常數neff變大。但是由於光場能量被擠壓到了金屬內部，模式的傳輸損耗也隨之變大——事物都有兩面性。在COMSOL中進行二維建模，並採用邊界模式分析（Boundary Mode Analysis），即可模擬計算出MIM波導模式的有效傳播常數，當然了，我們也可以把MIM波導當成三層波導，透過轉移矩陣（transfer matrix）的辦法來求出不同模式的傳播常數，這方面我們可以參考上海交通大學曹莊琪老師的《導波光學》一書，這本書數學簡單，淺顯易懂，十年前帶我走進了波導的世界。今年看到曹老師和陳險峰老師合作，還在PRL上面筆耕不輟，模數哥頓時心生敬意。

我們畫出1600nm波長下MIM波導中模場強度隨傳播長度的損耗，可見10um的傳輸距離，模場強度降為90%，近乎20%的能量損耗。

3， 銀的材料色散與Drude模型

這篇文章研究的問題非常簡單，如上圖（a）所示，就是在MIM波導中引入介質寬度的週期性調製，從而產生布拉格反射的效果。圖（b-c）是不同的光柵形貌，當然會對應不同的反射效果，但是反射峰是由布拉格的週期決定的，這一點需要清楚。採用文章中所給的幾何尺寸以及材料引數建模，我們可以在1。4um~1。8um之間得到很好的濾波效果，即全反射（原文Fig。3）：

我們分別畫出1600nm、1900nm波長下的波導場圖，可以看到在1600nm波長下，有很明顯的布拉格反射條紋（原文Fig。3）：

用波導的中心軸線畫一維線圖，布拉格反射會很清楚，可見只需幾個波長的距離，光場能量就被反射殆盡：

關於這個布拉格反射模型的物理和模擬，裡面有非常多的細節，下面做一些說明和補充：

1，這篇文章中的金屬材料是銀，採用德魯德模型對銀在不同波長下的材料色散進行建模，ε∞ = 3。7，ωp = 13。8 rad/s，γ = 2。736 rad/s。而COMSOL瞬態模型下的金屬德魯德模型入射設定，可以參考模數哥之前的教程：教程福利- 1998Nature Comsol瞬態模擬表面等離激元SPP的EOT現象，作為對比，我們將銀材料換用了材料庫的Ag （Johnson），該材料是銀的實驗測量資料，透過對比結果，可以看出上述德魯德模型，尤其是在紅外波段，對銀的色散定義非常準確：

2，關於模擬方法，其實非常類似於案例庫的Dielectric Slab Waveguide例子，即先要對波導的入射、出射端進行邊界模式分析，再做頻域模擬。需要注意的是，這三個step的頻率設定必須一致，需要掃頻的話則對頻率f0進行引數掃描Parametric Sweep。

3，關於SPP本身，它是一種橫磁（Transverse Magnetic， TM）模式，2D建模的時候，在物理場中設定電場主要在面內（In-plane Vector），這樣可以明顯地減少變數提高模擬速度。

4， 布拉格缺陷結構與透射峰

當我們在布拉格光柵中間設定一個缺陷結構，則兩側的布拉格光柵就類似兩個反射鏡，在缺陷位置形成了一個腔的結構。合理地設定腔的尺寸，使得該腔的共振頻率在原來的布拉格禁帶上，則可以得到一個Q值很高的透射峰。比如文中設定缺陷的長度為728nm，可以得到如下的透反射曲線：

在場圖上，我們也可以清楚地看到透射峰在缺陷處對應的共振增強：