Ising模型與Duality——特殊的相變
書接上文
上文我們討論了二維Ising模型的對偶，我們驚喜的發現，二維正方格點Ising模型的高溫理論對偶正是其自身的低溫理論。這使得我們可以得到其臨界溫度。但是對於三維立方格點的Ising模型又是另外一個故事了。
2。1，Ising模型高/低溫展開
與上文的套路一致我們可以進行高溫展開
![\begin{aligned} Z =&(\cosh K)^{3N} \sum_{\{s_i\}} \prod_{<i,j>} (1+s_is_j\tanh K) \\ = & (\cosh K)^{3N} [1+3N (\tanh K)^4+22N (\tanh K)^6+\cdots] \end{aligned} \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/wkHxAwwiRA+WX9U0-kNISk_9EX+mJohPVtJxEv-dnmCeY3o54uDNRtWcBMyqCJ18wtAZDv0J69Bj-Bm5+Xz4JGUHxGlHvP5DxYnhzxeJSyheDhz54XbAOM_q2nMHvP5vVtVBy0CpNiifczwlSYnIW2S0g2U1XN-Gbr3kHWn9lMCBczwlk4D5S1_t1XbHK7PM=VGjy0ybShypzdvZQDDYSM_o1YCD-J=bzr3ppHeJ6jJeDhK6k4DuXr_tqMMHKF=M=4nMFWpQO9MepNi54uj4uVa=4MyqN4LM=4O4y0zpS9rjczWGk4T5Uxv9AnmIXNkpa2vIo659MyVpiBm5+0C4u4lnEt8bY7LMnGueo25ZNiW6cz_u_Zg0UkoHq4BeXNhmUtZ5y0Cps-gix895jpjMCn1Hq4JHvPILl.jpeg)
這裡有恭喜的圖形就是在三維正方格點上的一維閉合圖形了
［1］
。如圖所示
對於低溫展開
![\begin{aligned} Z = 2e^{3KN}[1+N \exp(-6K)^2+3N \exp(-10 K)^2 \cdots] \end{aligned} \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/9AcEqLC5sWlzbOZP8GPDGFIuXHLjDB6JmnREowAiUPeScQmiTwFfm7LpazwydlRg9n9OnwISTCdlkZ5it1hFNDIlCSwRxFGV+BOhTMISTJ0n+ffTc_4UY+wldMBREZWhk6ghtgqSTJJY+ffTt10Fue7DYki61dGOEfQfGMRStc7SBISxGzRgJCwka0SY1d6Q3V+FZGrinwJz_ElzoXZQm7clCmR=1d6j2f6iX.jpeg)
很顯然高溫展開和低溫展開不再是對偶的，那麼3維的Ising模型和誰對偶呢？
2。2，
lattice gauge theory
我們給出如下的Hamiltonian
這個模型被稱為
lattice gauge theory，與Ising模型一樣生活在3維立方格點上，上不過
代表棒取值為
。 這裡的求和代表對所有的plaquettes求和，也就是所有的最小正方形。改變任意格點
，正方形的兩個棒同時變號，並不影響Hamiltonian的取值。也就是說這個模型局域規範不變，This hamiltonnian has a local gauge symmetry。
對於這個模型我們也可也做高低溫展開，先看高溫展開
![\begin{aligned} Z =& \sum_{\{\sigma_i\}} \exp(K \sum_{\square} \sigma_i \sigma_j\sigma_k \sigma_l) \\ = &(\cosh K)^{3N} \sum_{\{\sigma_i\}} \prod_{\square}[1+ \sigma_i \sigma_j\sigma_k \sigma_l \tanh K ] \\ = &(\cosh K)^{3N}2^{3N}[1+ N (\tanh K)^6 + 3N (\tanh K)^{10}+ \cdots] \end{aligned} \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/UphkTkVzJrfcBqCdaqlQCxzcDGf06mtgkRtkRtxatYB6C0XJFj5mBswQAyP9Or6MURYaQt3fvVAUtEfJr9AIVmRSzjh3xGtmSDQXAMsVCrPcHEuYhm5QBWpMlGg2tQwHtqgf5V3QX2h7Djmveika5qmIpR5EkUXxZzY7V2D+UY1aljgJei-K_qzX0H5f-mXDS8TQV2D+UXGRF_7PWOPX3XvQEGnASmeeZz-+TX6h-t1zF5u9AhLSi1_Jzjh3aBeH7qgQV2hWX2kdyO=KkMf9C7GUzjkMZ_t2ZzY7IVdfvVAUyO=KYmhfFqzZ0yPrOB5qOBQVAY8_SXnH=ptJFjII8kCIpMAIZ_t0xpdbQKwfvVk6oyqLYUhMOUzIpMA2tQygZzd7WrsVCY5TDpYmxMgSi1_JBGGdwU6xUBQVAY8_SXnH=pfTeihJOW0_Aw1WwDeHthEkjteiYVLUyO=6fAPX3qzX0CLIZ_p1aDQq5MsqsnPaHpqeYM=S5qz8q_PrPi5qONEoV2PIKMPa0Nuahy5qi1wKzjhs7i5tOB4oWrsqsnPaHq2mXq=S5qz8q_PrP_DeZzd7W88oYrPMp5uYhmBMNUDS2CPD=i5oPyQXAGn4X2-nyOgpfAPX3WvsAHBEZ_t1aDQVAXDaSnPcHK7fW--cBsCIpMAIZ_t0Zz-+E.jpeg)
這裡有貢獻的圖形為plaquettes組成的封閉圖形，比如領頭階的最小立方體。
對於低溫展開，體系的基態為所有的plaquettes值為1，由於規範對稱基態是大量簡併的，簡併數量為
。第一激發態為改變一個棒影響四個plaquettes。
![Z = N_a e^{3KN}[1+3N \exp(-4 K)^2+ 22 N \exp(-6K)^2+\cdots] \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/cMQ9gcc7m2XedGyJZZhxZc=vNGV6adxUfxE9yCavzJsnevcPeHU1QM6PCGpxzvTHTj-mvu0MUuDeRD=dg5EpLA_gtyKnH=Bt+MF5Zu5=PGnWJ__IdtV8L4=zuyKGb2vC7N-LvfO5eGDGODbeiHU0Nt=2vj_nbEftPSCyPba1e2DcRDKoElMpCDXlP.jpeg)
這裡激發態的圖形如圖所示：
2。3，Duality
對比三維Ising模型的高（低）溫展開與三維
格點規範理論的低（高）溫展開不難發現出現了我們上文熟悉的對偶關係。這說明了三維Ising模型的對偶是
格點規範理論。
但是這裡就有一個詭異的問題，我們知道三維Ising模型會發生自發對稱性破缺，這似乎暗示作為其對偶理論的Z2格點規範理論也應該出現自發對稱性破缺。但是Elitur‘s定理告訴我們規範理論是不能自發對稱性破缺的。那麼問題出現在哪裡？
要揭示Z2格點規範理論在高溫低溫下究竟產生了什麼變化我們需要計算Wilson loop。
定義Wilson loop
為沿著一個閉合一維路徑上的棒的乘積。不難發現這個量是規範不變的。
我們在高溫極限下計算
![\begin{aligned} <C_s> =& \frac{(\cosh K)^{3N}}{Z} \sum_{\{\sigma_i\}} \prod_{S} \sigma_i \prod_{\square}[1+ \sigma_i \sigma_j\sigma_k \sigma_l \tanh K ] \\ \approx & (\tanh K)^{S_s} \end{aligned} \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/5D0F9wDyto_k=F9P8jki=w4O2TThSxsmsKKFrv=ZwVLclgBiTmS9tvB35n4NmSKk5KBPqvce-w9iAaw_ZTuqN0ojEJ4VGJ4IfWdiw2w-rTe9AaLTmLLXN0si2TTVlJegEcPO007IGHlJjlPiTSYe6xHheRyqOGBZFw4AcWwkq5icIlHiTmse6xPheMoVl5BV3JT4007fGHleAaLjGKdkMW7w5T0MOGBdMw4Cd6he-1JovILg71uiOp4Fp-7kDx0tEcBT007frVew5J0imLq+N0sSh84kmrdXfeokrvLcn5_gB-IAZUSitVWV1T__70oJ5KBgpu=jHoHw8Fw4n-E8vV55D9sjFTKw5Set1pIkbKYcIcDiTmsjOp4FpTKIE-yxtSdiDMpjGHAVAa7_rQ_Z=6esD9PPOGsaEcBTIk=qGHleB-IAZ-IZt64Bp_Kgl5Bw4KHiwxcjGH3dAa7_n.jpeg)
第一個有貢獻的項為用最少的plaquettes正好鋪滿Wilson loop。
為需要plaquettes的個數可以表徵Wilson loop的面積。
在低溫極限，對於基態Wilson loop的值就為1。但是對於第一激發態，如果Wilson loop正好路過反轉的棒，那麼取值就會變為-1。
![\begin{aligned} &<C_s> \\ =& \frac{ e^{3 K N}[1+(3N - L_s)\exp(-4 K N)^2 -L_s\exp(-4 K N)^2+\cdots]}{e^{3KN}[1+3N\exp(-4 KN)^2+\cdots]}\\ \approx& [1+(3N -2 L_s)\exp(-4 K N)^2 ][1-3N\exp(-4 KN)^2]] \\ \approx& 1 -2 L_s\exp(-8 K N) \\ \approx& \exp( -2 L_s\exp(-8 K N)) \\ \end{aligned} \\](https://img.heatask.com/upload/website_attach/2+ujze_xcGzJQd36vj7V3e9U0ddqPfzL5yqjPOho3eqrRniqdmfu2OuC32NK7aHw2yzUOOr91bpXUvs+lLf8o+yI=s3M=0Njn4=Qu2W9dbprd3HWlL082xlK0GNK749V=FFZQDt0dGVawaRqdSqrdF=M=sxHt=wSzIfOXlXdzehrd3LqdmfrveaWz4sqbM9ylIfWYs091=L2wm_a0UirdFdWua08yusxc06zRfw9d4Gr1tr1lLEGlDGX0dFo4cfVcB5WMfr91bDrUvM9lLsGgfke=sSLt=zbzE=+us+2UsH8hAIFlLDKzDoOpbo8yuyVcB=+QDF0UsH8gcn7uRirdFoWcbE8bDfVcBXOR2mJldaAjZt7vfM2duxWc=wCt=xb=F_TYfwZcslXFpO2lLD6lDGX1BtBt=wSyF5Os2X2Usl6UvM9goVrdFoWc=wCP=3d=FFXOPnCUslKcv7WqSUrgsmWc=N3t=zX=FFYR2mJlGL+lmUqdmf55eb+3es8yuiNzEKkYuXdzehr1tbqvRcrgsJkd99b=doVz=EOR2mJlGL+lmUqdmf55eb+3es8yuiN=FFXOPnCUslKwmi1DSGQ529Qndz63MNfd0bTRfWZF2L22ur1e9VXlDGX=sz9=0NjnKFUOGm6lYaoiF4622qrdfoO=sz9t=zW2.jpeg)
這裡的
為Wilson loop的周長。
可以發現體系的Wilson loop在高溫下用面積表徵，而低溫下由周長表徵，出現了非平凡的變化，這種不能用局域序參量表徵的相變，是一種超出朗道相變理論的特殊相變。其臨界點與3維Ising模型的臨界點一致。
拖了一會還是寫完了。特別感謝Lee小姐貢獻的封面。
參考
^
這是我學的時候參考的note，可惜的是這個note中計算3維高溫展開應該少算了幾種圖形。
https：//ocw。mit。edu/courses/physics/8-334-statistical-mechanics-ii-statistical-physics-of-fields-spring-2014/lecture-notes/MIT8_334S14_Lec16。pdf
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