粒子濾波到底是怎麼得到的？

作者：由怪僧小凡發表于攝影時間：2020-12-05

作者：小L

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一、前言

粒子濾波（particle filter）是一種常見的濾波演算法，廣泛應用於目標跟蹤、移動機器人等領域。網路上有不少關於粒子濾波的資料，但大多是直接給出了粒子濾波的相關公式和證明，或較為直觀上的解釋。作者在學習粒子濾波的過程中對一些概念和操作時常感到突兀，後來發現想要完整了解粒子濾波，需要首先了解前因，逐漸深入才能理解粒子濾波，而不是直接學習粒子濾波這個方法。

本文將側重從“粒子濾波是怎麼來的”這個問題介紹粒子濾波。限於篇幅與易懂性，對一些概念並沒有展開介紹，讀者在瞭解基本思路後可以根據給出的資料深入學習。本文包含了作者自己不嚴謹的理解與闡述，如有疏漏，望批評指正。

二、對“濾波”的一些介紹

2.1 何為“濾波”？

貝葉斯濾波、卡爾曼濾波、粒子濾波……種種這些濾波方法，都涉及到了“濾波”這個詞。那麼到底什麼是濾波，不同的領域有不同的定義。比如在訊號系統領域，濾波是指將訊號中特定波段的頻率濾除的操作。而在移動機器人領域，我暫時沒有看到較為嚴格的定義。我認為可以姑且理解為：透過不斷地觀測，使得對目標狀態的估計變得更加準確。

2.2 貝葉斯濾波

卡爾曼濾波與粒子濾波都是基於貝葉斯濾波框架下的濾波演算法。講粒子濾波便不得不提貝葉斯濾波。貝葉斯濾波的基本思想是根據上一時刻的狀態對當前狀態進行預測，並根據此時的觀測進行更新。基本演算法是：

（圖片來源：《機率機器人》）

可以看出，在預測部分需要求一個積分，而這個積分往往很難求。所以顯有方法可以直接利用原始的貝葉斯進行處理。

2.3 卡爾曼濾波

卡爾曼濾波也是非常龐大的一塊內容，這裡不展開介紹。只在這裡說明，卡爾曼濾波是貝葉斯濾波線上性高斯系統下的一種濾波演算法。而對於非線性系統，則衍生出來了擴充套件卡爾曼濾波。同時指出，無論是卡爾曼還是擴充套件卡爾曼濾波，都是引數化的濾波方法，對於無法用引數化進行表示的，則採用粒子濾波。粒子濾波是一種無參的濾波演算法。

三、積分計算：從蒙特卡洛說起

3.1 分段近似法求積分

3.2 蒙特卡洛取樣求積分

（此處略過蒙特卡洛基本原理）

3.2.1 簡單的均勻取樣

求積分和求期望是相同的。假設我們對一個分佈求取積分，採用最簡單的取樣方式——均勻取樣。我們求取在x滿足均勻分佈u（x）時，f（x）在［a，b］的期望I。按照分佈u（x）進行N次隨機取樣：

可以發現最後一項對f（x）的積分，就是x的期望。所以我們可以發現，當我們按照均勻分佈u（x）對x進行大量取樣，計算對應的f（x）的平均值，就是f（x）的積分。

3.2.2 任意分佈的取樣

下面我們研究，如果不是按照均勻分佈u（x）取樣，而是任意分佈p（x）進行取樣，結果如何。此時

依舊與原始的積分相同。所以我們得出了重要的結論：在蒙特卡洛時，我們可以按照任意分佈進行取樣，再計算對應f（x）的積分。

這一點很好理解，如果我們選擇的分佈p（x）就是真實的分佈，那麼我們從p（x）進行取樣，就和直接從真實分佈進行取樣是一樣的，積分結果當然是沒有誤差的。這提醒我們，在選取p（x）分佈時要儘可能的與實際分佈接近，從而極大程度的降低方差，從而減少需要取樣的數量。

四、重要性取樣與序列重要性取樣

4.1 重要性取樣(Importance Sampling, IS)

4.2 序列重要性取樣(Sequential Importance Sampling, SIS)

4.3 重取樣(Resampling)

在實際過程中，我們發現利用權重更新公式進行更新時，在幾次迭代之後，權重的分佈會極其不均勻，出現個別粒子權重很大接近於1，而其他的都接近於0的情況。這時候採用了一種“重取樣”策略，即每次權重更新之後，根據當前權重對所有粒子進行重取樣，之後將所有權重設定為相同。這樣我們用粒子的數量代替了粒子的權重，避免了權重的不均勻。

5. 粒子濾波(Particle Filter)