【深度好文】3D座標系下的點的轉換矩陣（平移、縮放、旋轉、錯切）
上一節中往我們介紹了2D座標系下點的轉換矩陣，本節將2D座標系擴充套件到3D座標系，來研究對應的轉換矩陣。
1。 平移 （Translation）
在3D空間中，假設我們需要將一個點平移到另一個位置。假設空間中的一點P，其用座標表示為（x，y，z）；將其向 x方向平移 tx，向y方向平移ty， 向z方向平移tz， 設平移後點的座標為（x’，y’，z‘），則上述點的平移操作可以歸納為如下公式：
使用齊次矩陣表示如下：
將上述過程用程式碼實現如下：
%
matplotlib
inline
import
matplotlib
import
matplotlib。pyplot
as
plt
from
mpl_toolkits。mplot3d
import
Axes3D
import
numpy
as
np
X
，
Y
，
Z
=
np
。
mgrid
［
0
：
1
：
5
j
，
0
：
1
：
5
j
，
0
：
1
：
5
j
］
x
，
y
，
z
=
X
。
ravel
（），
Y
。
ravel
（），
Z
。
ravel
（）
def
trans_translate
（
x
，
y
，
z
，
tx
，
ty
，
tz
）：
T
=
［［
1
，
0
，
0
，
tx
］，
［
0
，
1
，
0
，
ty
］，
［
0
，
0
，
1
，
tz
］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
T
=
np
。
array
（
T
）
P
=
np
。
array
（［
x
，
y
，
z
，
［
1
］
*
x
。
size
］）
return
np
。
dot
（
T
，
P
）
fig
，
ax
=
plt
。
subplots
（
1
，
4
，
subplot_kw
=
{
’projection‘
：
’3d‘
}）
T_
=
［［
2。3
，
0
，
0
］，
［
0
，
1。7
，
0
］，
［
0
，
0
，
2。5
］，
［
2
，
2
，
2
］］
for
i
in
range
（
4
）：
tx
，
ty
，
tz
=
T_
［
i
］
x_
，
y_
，
z_
，
_
=
trans_translate
（
x
，
y
，
z
，
tx
，
ty
，
tz
）
ax
［
i
］
。
view_init
（
20
，
-
30
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
x_
，
y_
，
z_
）
ax
［
i
］
。
set_title
（
r
’$t_x=
{0：。2f}
$ ， $t_y=
{1：。2f}
$ ， $t_z=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
tx
，
ty
，
tz
））
ax
［
i
］
。
set_xlim
（［
-
0。5
，
4
］）
ax
［
i
］
。
set_ylim
（［
-
0。5
，
4
］）
ax
［
i
］
。
set_zlim
（［
-
0。5
，
4
］）
plt
。
show
（）
效果如下：
動態效果如下：
2。 縮放 （Scaling）
在3D空間中，對點（x，y，z）常用的另一種操作為相對於另一點（px，py，pz）進行縮放操作，我們不妨x方向的縮放因子為sx，y方向的縮放因子為sy，z方向的縮放因子為sz， 則上述點（x，y，z）相對於點（px，py，pz）的縮放操作可以歸納為如下公式：
使用齊次矩陣表示如下：
將上述過程用程式碼實現如下：
def
trans_scale
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
sx
，
sy
，
sz
）：
T
=
［［
sx
，
0
，
0
，
px
*
（
1
-
sx
）］，
［
0
，
sy
，
0
，
py
*
（
1
-
sy
）］，
［
0
，
0
，
sz
，
pz
*
（
1
-
sz
）］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
T
=
np
。
array
（
T
）
P
=
np
。
array
（［
x
，
y
，
z
，
［
1
］
*
x
。
size
］）
return
np
。
dot
（
T
，
P
）
fig
，
ax
=
plt
。
subplots
（
1
，
4
，
subplot_kw
=
{
’projection‘
：
’3d‘
}）
S_
=
［［
1。8
，
1
，
1
］，
［
1
，
1。7
，
1
］，
［
1
，
1
，
1。9
］，
［
2
，
2
，
2
］］
P_
=
［［
0
，
0
，
0
］，
［
0
，
0
，
0
］，
［
0。45
，
0。45
，
0。45
］，
［
1。1
，
1。1
，
1。1
］］
for
i
in
range
（
4
）：
sx
，
sy
，
sz
=
S_
［
i
］；
px
，
py
，
pz
=
P_
［
i
］
x_
，
y_
，
z_
，
_
=
trans_scale
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
sx
，
sy
，
sz
）
ax
［
i
］
。
view_init
（
20
，
-
30
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
x_
，
y_
，
z_
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
px
，
py
，
pz
，
s
=
50
）
ax
［
i
］
。
set_title
（
r
’$p_x=
{0：。2f}
$ ， $p_y=
{1：。2f}
$ ， $p_z=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
px
，
py
，
pz
）
+
’
\n
‘
r
’$s_x=
{0：。2f}
$ ， $s_y=
{1：。2f}
$ ， $s_z=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
sx
，
sy
，
sz
）
）
ax
［
i
］
。
set_xlim
（［
-
2
，
2
］）
ax
［
i
］
。
set_ylim
（［
-
2
，
2
］）
ax
［
i
］
。
set_zlim
（［
-
2
，
2
］）
plt
。
show
（）
效果如下：
動態效果如下：
3。 旋轉（Rotation）
在3D空間中，對點（x，y，z）常用的另一種操作為相對於另一點（px，py，pz）進行旋轉操作，我們依舊採用右手座標系，即旋轉角的正方向為逆時針方向。旋轉我們可分為繞x軸、y軸、z軸旋轉。假設繞x軸旋轉角度為alpha，繞y軸旋轉角度為beta，繞z軸旋轉的角度為gamma。則相應的變換如下：
1）繞x軸旋轉
公式如下：
使用齊次矩陣表示如下：
2）繞y軸旋轉
公式如下：
使用齊次矩陣表示如下：
3）繞ｚ軸旋轉
公式如下：
使用齊次矩陣表示如下：
將上述過程用程式碼實現如下：
def
trans_rotate
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
alpha
，
beta
，
gamma
）：
alpha
，
beta
，
gamma
=
np
。
deg2rad
（
alpha
），
np
。
deg2rad
（
beta
），
np
。
deg2rad
（
gamma
）
Rx
=
［［
1
，
0
，
0
，
0
］，
［
0
，
np
。
cos
（
alpha
），
-
np
。
sin
（
alpha
），
py
*
（
1
-
np
。
cos
（
alpha
））
+
pz
*
np
。
sin
（
alpha
）］，
［
0
，
np
。
sin
（
alpha
），
np
。
cos
（
alpha
），
pz
*
（
1
-
np
。
cos
（
alpha
））
-
py
*
np
。
sin
（
alpha
）］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
Ry
=
［［
np
。
cos
（
beta
），
0
，
np
。
sin
（
beta
），
px
*
（
1
-
np
。
cos
（
beta
））
-
pz
*
np
。
sin
（
beta
）］，
［
0
，
1
，
0
，
0
］，
［
-
np
。
sin
（
beta
），
0
，
np
。
cos
（
beta
），
pz
*
（
1
-
np
。
cos
（
beta
））
+
px
*
np
。
sin
（
beta
）］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
Rz
=
［［
np
。
cos
（
gamma
），
-
np
。
sin
（
gamma
），
0
，
px
*
（
1
-
np
。
cos
（
gamma
））
+
py
*
np
。
sin
（
gamma
）］，
［
np
。
sin
（
gamma
），
np
。
cos
（
gamma
），
0
，
py
*
（
1
-
np
。
cos
（
gamma
））
-
px
*
np
。
sin
（
gamma
）］，
［
0
，
0
，
1
，
0
］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
Rx
=
np
。
array
（
Rx
）；
Ry
=
np
。
array
（
Ry
）；
Rz
=
np
。
array
（
Rz
）
P
=
np
。
array
（［
x
，
y
，
z
，
［
1
］
*
x
。
size
］）
return
np
。
dot
（
np
。
dot
（
np
。
dot
（
Rx
，
Ry
），
Rz
），
P
）
fig
，
ax
=
plt
。
subplots
（
1
，
4
，
subplot_kw
=
{
’projection‘
：
’3d‘
}）
R_
=
［［
45
，
0
，
0
］，
［
0
，
45
，
0
］，
［
0
，
0
，
45
］，
［
0
，
0
，
0
］］
P_
=
［［
0
，
0
，
0
］，
［
0
，
0
，
0
］，
［
0。5
，
-
0。5
，
0。5
］，
［
1。1
，
1。1
，
1。1
］］
for
i
in
range
（
4
）：
alpha
，
beta
，
gamma
=
R_
［
i
］；
px
，
py
，
pz
=
P_
［
i
］
x_
，
y_
，
z_
，
_
=
trans_rotate
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
alpha
，
beta
，
gamma
）
ax
［
i
］
。
view_init
（
20
，
-
30
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
x_
，
y_
，
z_
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
px
，
py
，
pz
）
ax
［
i
］
。
set_title
（
r
’$p_x=
{0：。2f}
$ ， $p_y=
{1：。2f}
$ ， $p_z=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
px
，
py
，
pz
）
+
’
\n
‘
r
’$\alpha=
{0：03d}
^o$ ， $\beta=
{1：03d}
^o$ ， $\gamma=
{2：03d}
^o$‘
。
format
（
alpha
，
beta
，
gamma
）
）
ax
［
i
］
。
set_xlim
（［
-
2
，
2
］）
ax
［
i
］
。
set_ylim
（［
-
2
，
2
］）
ax
［
i
］
。
set_zlim
（［
-
2
，
2
］）
plt
。
show
（）
效果如下：
動態效果如下：
4。 錯切（Shearing）
在3D空間中，對點（x，y，z）常用的另一種操作為相對於另一點（px，py，pz）進行錯切操作。不妨假設在yz平面的投影相對於y軸的錯切引數為lambaxy，相對於z軸的錯切引數為lambaxz；在xz平面的投影相對於x軸的錯切引數為lambayx，相對於z軸的錯切引數為lambayz；在xy平面的投影相對於x軸的錯切引數為lambazx，相對於y軸的錯切引數為lambazy。則上述點（x，y，z）相對於點（px，py，pz）的錯切操作可以歸納為如下公式：
使用齊次矩陣表示如下：
將上述過程用程式碼實現如下：
def
trans_shear
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
lambdaxy
，
lambdaxz
，
lambdayx
，
lambdayz
，
lambdazx
，
lambdazy
）：
T
=
［［
1
，
lambdaxy
，
lambdaxz
，
-
（
lambdaxy
+
lambdaxz
）
*
px
］，
［
lambdayx
，
1
，
lambdayz
，
-
（
lambdayx
+
lambdayz
）
*
py
］，
［
lambdazx
，
lambdazy
，
1
，
-
（
lambdazx
+
lambdazy
）
*
py
］，
［
0
，
0
，
0
，
1
］］
T
=
np
。
array
（
T
）
P
=
np
。
array
（［
x
，
y
，
z
，
［
1
］
*
x
。
size
］）
return
np
。
dot
（
T
，
P
）
fig
，
ax
=
plt
。
subplots
（
1
，
4
，
subplot_kw
=
{
’projection‘
：
’3d‘
}）
L_
=
［［［
2
，
0
］，
［
0
，
0
］，
［
0
，
0
］］，
［［
0
，
0
］，
［
2
，
0
］，
［
1
，
0
］］，
［［
0
，
1
］，
［
0
，
0
］，
［
0
，
2
］］，
［［
2
，
0
］，
［
0
，
2
］，
［
2
，
0
］］］
P_
=
［［
0
，
0
，
0
］，
［
0
，
0
，
0
］，
［
0
，
1。5
，
0
］，
［
1。1
，
1。1
，
1。1
］］
for
i
in
range
（
4
）：
lambdax
，
lambday
，
lambdaz
=
L_
［
i
］；
px
，
py
，
pz
=
P_
［
i
］
x_
，
y_
，
z_
，
_
=
trans_shear
（
x
，
y
，
z
，
px
，
py
，
pz
，
*
lambdax
，
*
lambday
，
*
lambdaz
）
ax
［
i
］
。
view_init
（
20
，
-
30
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
x_
，
y_
，
z_
）
ax
［
i
］
。
scatter
（
px
，
py
）
ax
［
i
］
。
set_title
（
r
’$p_x=
{0：。2f}
$ ， $p_y=
{1：。2f}
$ ， $p_z=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
px
，
py
，
pz
）
+
’
\n
‘
r
’$\lambda_x^y=
{0：。2f}
$ ， $\lambda_y^x=
{1：。2f}
$ ， $\lambda_z^x=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
lambdax
［
0
］，
lambday
［
0
］，
lambdaz
［
0
］）
+
’
\n
‘
r
’$\lambda_x^z=
{0：。2f}
$ ， $\lambda_y^z=
{1：。2f}
$ ， $\lambda_z^y=
{2：。2f}
$‘
。
format
（
lambdax
［
1
］，
lambday
［
1
］，
lambdaz
［
1
］）
）
ax
［
i
］
。
set_xlim
（［
-
3
，
3
］）
ax
［
i
］
。
set_ylim
（［
-
3
，
3
］）
ax
［
i
］
。
set_zlim
（［
-
3
，
3
］）
plt
。
show
（）
效果如下：
動態效果如下：
5。 總結
有了以上平移、旋轉、縮放和錯切矩陣後，我們就可以透過矩陣乘法求得3D空間下點P任意變化後坐標。
