數學分析思想方法第 (2 * 3) 期 -- 分拆法

作者：由 XYZ考研<em>數學< 發表于攝影時間：2020-10-09

大家好，這裡是小張老師。本期繼續鞏固

分拆法

，分拆法是將全體正整數分拆成“有限”、“無限”兩部分，並根據“有限”、“無限”的特性對它們作不同的處理的方法。本期將利用分拆法證明 Stolz 定理，

其中涉及的思想方法對數學專業的同學是十分重要的，非數學專業的同學可以選擇性地學習

。

例題

例題 1 (Stolz定理)

設

$\{ x_{n} \}$

是一個嚴格遞增的無窮大量，

為一個有限數或正負無窮，即

$a \in [-\infty, +\infty]$

。證明：若

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} = a,\\$

則有

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n}}{x_{n}} = a.\\$

分析

這裡我們只考慮

$a \in \mathbb{R}$

的情形，

$a = \pm \infty$

的情形可以類似證明。

首先我們試圖構建條件和結論之間的關係。由條件可得形如下面的不等式：

$\begin{equation} \left| \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} - a \right| < \epsilon, \tag{1} \end{equation}\\$

而我們的目標是得到形如下面的不等式，

$\begin{equation} \left| \frac{y_{n}}{x_{n}} - a \right| < \epsilon. \tag{2} \end{equation}\\$

想要直接構建二者之間的關係似乎比較困難。因此，我們從條件出發，挖掘儘可能多的資訊。既然要使用分拆法，我們先找出劃分“有限”和“無限”的

。利用條件，

$\forall \epsilon > 0,~\exists N \in \mathbb{N}_{+},~s.t.$

當

$n \geq N$

時，有

$\left| \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} - a \right| < \epsilon, \quad \mbox{即}~a - \epsilon < \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} < a + \epsilon \\$

依次寫出有效的式子，

$\begin{gather} a - \epsilon < \frac{y_{N+1} - y_{N}}{x_{N+1} - x_{N}} < a + \epsilon, \nonumber\\ a - \epsilon < \frac{y_{N+2} - y_{N+1}}{x_{N+2} - x_{N+1}} < a + \epsilon, \nonumber\\ \cdots \nonumber\\ a - \epsilon < \frac{y_{n} - y_{n-1}}{x_{n} - x_{n-1}} < a + \epsilon. \nonumber \end{gather}\\$

接下來考慮如下的初等事實，若對

$i = 1,\,2,\,\cdots,\,n$

，有

$a < \frac{p_{i}}{q_{i}} < b$

，且

$q_{i} > 0$

，則有

$a < \frac{p_{1} + p_{2} + \cdots + p_{n}}{q_{1} + q_{2} + \cdots + q_{n}} < b. \\$

應用到上面的一組不等式中（注意這裡利用了

$\{ x_{n} \}$

嚴格遞增），可以得到

$\begin{equation} a - \epsilon < \frac{y_{n} - y_{N}}{x_{n} - x_{N}} < a + \epsilon, \quad \mbox{即}~\left| \frac{y_{n} - y_{N}}{x_{n} - x_{N}} - a \right| < \epsilon. \tag{3} \end{equation}\\$

由式（1）到式（3）的轉化是有意義的，因為式（1）中

和

是協同變化的，而式（3）中只有

是變化的，

是固定值，這為構建與式（2）的聯絡提供了極大的便利。

接下來我們構建

$\left( \frac{y_{n}}{x_{n}} - a \right)$

與

$\left( \frac{y_{n} - y_{N}}{x_{n} - x_{N}} - a \right)$

之間的聯絡。我們注意到，兩個式子裡分子分母均有不同的地方，那麼我們依次對其進行改造。由於對分子的改造較為容易（只需加一項），我們優先改造分母。要實現分母由

$(x_{n} - x_{N})$

到

$x_{n}$

的轉換，乘一項

$\frac{x_{n} - x_{N}}{x_{n}}$

即可。然後我們適當地加一項，便完成了對分子的改造：

$\begin{equation} \frac{y_{n}}{x_{n}} - a = \frac{x_{n} - x_{N}}{x_{n}} \cdot \left( \frac{y_{n} - y_{N}}{x_{n} - x_{N}} - a \right) + \frac{y_{N} - a x_{N}}{x_{n}}. \tag{4} \end{equation}\\$

分析式（4）中的每一個因式，

$\left( \frac{y_{n} - y_{N}}{x_{n} - x_{N}} - a \right)$

可以任意小，且其係數

$\frac{x_{n} - x_{N}}{x_{n}} \rightarrow 1$

。對於

$\frac{y_{N} - a x_{N}}{x_{n}}$

，由於分子視為一個有限量，分母為無窮大量，這一項也可任意小。

證明

討論

乍看之下，Stolz 定理的證明與 Cauchy 命題和分拆法都沒有明顯的聯絡。實則不然，我們考慮以下特殊情況：

$x_{n} = n,~y_{n} = z_{1} + z_{2} + \cdots + z_{n}$

。不難發現，Stolz 定理便退化成了 Cauchy 命題。

再進一步，將以上特例代入式（8）中，我們得到

$\begin{align} &\frac{z_{1} + z_{2} + \cdots + z_{n}}{n} - a = \left( 1 - \frac{N}{n} \right) \left( \frac{z_{N+1} + \cdots + z_{n}}{n-N} - a \right) + \left( \frac{z_{1} + \cdots + z_{N}}{n} - a \cdot \frac{N}{n} \right) \nonumber\\ &\qquad\quad = \underbrace{\left( 1 - \frac{N}{n} \right) \cdot \left( \frac{(z_{N+1}-a) + \cdots + (z_{n}-a)}{n-N} \right)}_{\scriptsize \mbox{無限}} + \underbrace{\frac{(z_{1}-a) + \cdots + (z_{N}-a)}{n}}_{\scriptsize \mbox{有限}}. \nonumber \end{align}\\$

因此，式（8）實際上是將待處理的式子分拆成了“有限”和“無限”兩個部分，從證明的細節也可以看出。一方面，在

$\frac{y_{N} - a x_{N}}{x_{n}}$

中，分子被視為有限量，這實際上用到了“有限”本身的性質；另一方面，式（7）是由式（6）中無限項累加而來，這對應了“無限”，而“無限”對應的條件是數列極限的定義賦予的（式（5））。

練習

本期的例題是

$\frac{*}{\infty}$

型 Stolz 定理，與之對應的還有

$\frac{0}{0}$

型 Stolz 定理，它們在證明方法上有很多相似之處。

$\frac{0}{0}$

型 Stolz 定理留作本期的練習，答案將在下期揭曉。

練習 2

設

$\{ x_{n} \}$

和

$\{ y_{n} \}$

都是無窮小量，且

$\{ x_{n} \}$

嚴格遞減，

$a \in [-\infty, +\infty]$

。證明：若

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n+1} - y_{n}}{x_{n+1} - x_{n}} = a,\\$

則有

$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{y_{n}}{x_{n}} = a.\\$

標簽： stolz 分拆定理無限證明

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