【線性代數】向量學習筆記

向量在不同的領域中有不同的概念。物理上，向量是空間中的箭頭；計算機裡，向量是有序的數字列表；數學上，向量是有大小和方向的量，可加可乘。

向量a

表示

1。代數表示：一般印刷用黑體小寫字母α、β、γ 或a、b、c 等來表示，手寫用在a、b、c等字母上加一箭頭表示。另外還有個習慣，高等數學中的向量上邊打箭頭，線性代數中的向量上邊不打箭頭。基向量一般用i帽，j帽表示。

2。幾何表示：向量可以用有向線段來表示。有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向。

3。座標表示：向量在各個維度的分量外括一個括號表示。行向量和列向量為了排版的方便，一般都寫成橫式。如果各分量之間是逗號或空格間隔，則是行向量；如果各分量之間是分號間隔，則是列向量。

意義

給物理和計算機領域提供了一個操作空間的方法。向量加法，是運動的疊加；向量和標量的乘法，是運動的縮放。n個線性無關的向量，可以張成n維空間。

點乘與點積/內積/數量積

記做a·b或ab，有地方也用 （a，b）表示，但是這個方式不直觀。內積是一個標量，等於一個向量在另一向量上的投影長度（Prj），乘以後邊這個向量的模。可由兩個向量的各個維度分別相乘再求和得到。是兩個向量的疊加在其中一個向量上產生的效果。所以兩個相互垂直向量，點乘得0。點乘運算滿足交換律和分配率，不滿足結合律和消去律。

叉乘與外積/向量積

記做axb或［ab］，第二種表示同樣不太直觀，易混淆。外積是一個向量，模等於a和b圍成四邊形的面積，方向符合右手螺旋定理（右手拇指和四指垂直，四指握拳時從a的方向握向b的方向，則拇指指的方向就是外積方向）。

外積的概念不是很好理解，下面簡單解釋一下。如果P·X=det（［X，Y，Z］），其中X、Y、Z都是三維列向量，將各列向量座標代入化簡可得P=YxZ。det（［X，Y，Z］）是X、Y、Z圍成的六面體體積，而P·X是X在P上投影長度乘以P的模。如果把X、Y、Z圍成的六面體中Y、Z圍成的四邊形看做底，那麼高的方向就和Y、Z都垂直，且體積就是X在高方向上的投影長度乘以Y和Z圍成四邊形的面積。

所以，X在P上投影長度乘以P的模等於X在高方向上的投影長度乘以Y和Z圍成四邊形的面積。如果P正好是高的方向，且P的模正好是和Z圍成四邊形的面積那不是正好嗎。

外積滿足反交換律，分配率，數因子結合律，不滿足結合律和消去律。

範數

||x||加一下標n，代表向量x的Ln範數。如果無n，則代表L2範數。可以簡單形象的理解為向量的長度，或者兩個點之間的距離。向量的範數非負性||x|| >= 0，齊次性||cx|| = |c| ||x|| ，三角不等式||x+y|| <= ||x|| + ||y||。其值是向量各元素絕對值的n次方相加再開n次方根。L0範數是是向量中非零元素個數。L1範數是曼哈頓距離；L2範數是歐幾里得距離，又叫歐式距離，也是平時所說的模；L∞是切比雪夫距離。

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