卷繞數和高斯-博內定理
卷繞數
卷繞數（ turning number， winding number）。
平面上的閉曲線關於某個點的卷繞數，是一個整數，它表示了曲線繞過該點的總次數。卷繞數與曲線的定向有關，如果曲線依順時針方向繞過某個點，則卷繞數是負數。
這條曲線關於點p的卷繞數是2 （cr：wikipedia）
0 是因為曲線不繞過這個點。（cr：wikipedia）
有時候我們講閉合平面曲線的卷繞數就是預設針對閉合曲線中的點：
圖片來自網路
卷繞數定理：
閉合平面曲線的總曲率等於
乘以卷繞數 k
。
曲率的定義是
單位切向量沿曲線每單位長度轉向的變化率。
所以我們把曲率沿著弧長做積分，當然就能得到總的轉向了，所以上面的卷繞數定理顯而易見。
這個卷繞數定理很有意思，它把曲線的區域性性質-曲率和整體性質給聯絡起來了。
高斯-博內定理
Gauss-Bonnet Theorem 是類似於 Winding Number theorem， 針對的是曲面。
高斯曲率在曲面的積分等於
乘以尤拉示性數
。
補充一點定義：
尤拉示性數 Euler characteristic
在代數拓撲中，尤拉示性數（Euler characteristic）是一個拓撲不變數（事實上，是同倫不變數），對於一大類拓撲空間有定義。它通常記作
。
其中V，E和F分別是點，邊和麵的個數。特別的有，對於所有和一個球面同胚的多面體，我們有
F-E+V=2 在多面體和離散數學中圖有關的部分出現過，也叫尤拉公式（尤拉公式也太多了吧，o（╯□╰）o）
cr： wikipedia
二維拓撲多面體的尤拉示性數可以用以下公式計算：
虧格 genus
閉可定向曲面的尤拉示性數可以透過它們的虧格g來計算
genus居然學名叫做虧格，哈哈，翻譯也很貼切，簡單的理解虧格就是有幾個洞 ，o（╯□╰）o
圖片來自網路
在微分幾何中，高斯-博內定理（亦稱高斯-博內公式）是關於曲面的圖形（由曲率表徵）和拓撲（由尤拉示性數表徵）間聯絡的一項重要表述。
出現了好幾個拓撲概念，此處應該獻上此張 gif 送給 “不會區分甜甜圈和咖啡杯的人的拓撲學家”， o（╯□╰）o
cr： wikipedia
回到高斯-博內定理：高斯曲率在曲面的積分等於
乘以尤拉示性數
：
推廣到有邊界的曲面：
是其邊界。令K為M的高斯曲率，
為
的測地曲率。則有
當然此時的尤拉示性數也需要除去邊界：
當然重點是無論我們改變曲面或者是邊界，但這並不影響總曲率。
像下面這張圖，
並沒有改變，所以積分的結果也並不會改變。另一個理解就是凸起的部分和凹下的部分的正負曲率抵消了。
Gauss–Bonnet定理最簡單的狀況就是：平面三角形內角和為180度。
參考：
wikipedia
Discrete Differential Geometry
