From Brownian Motion to Stochastic Integral

作者：由呦呦Ruming 發表于繪畫時間：2019-12-11

本文分為五部分，第一部分將介紹離散情況下的隨機漫步及其相關性質。第二部分引出連續的隨機過程

布朗運動

。第三部分介紹包含布朗運動的特殊的積分，也就是

隨機積分

。第四部分將解決包含布朗運動的隨機過程的積分表示式即Ito公式。

Part 1。隨機漫步（Random Walk）

我們主要介紹對稱隨機遊走。為了構造隨機遊走，假設我們連續地拋擲一枚硬幣（出現正面H和背面T的機率均為0。5）。拋擲的結果記為

$\omega = \omega_1 \omega_2...$

，設

，如果

$\omega_i =H$

，

，如果

$\omega_i =T$

。同時我們有以下定義：

def 1。1 過程

是一個對稱的隨機漫步，且滿足：

$M_0 = 0, M_k= \sum_{i=1}^{k}{X_i}, i = 1, 2, ... \\$

根據隨機漫步的定義，我們不難發現隨機漫步具有獨立增量。即對於隨機漫步的增量

$M_{k_i+1} - M_{k_i} = \sum_{j=k_i + 1}^{k_{i+1}}{X_j}$

不同時間區間上的隨機漫步的增量是相互獨立的。很容易地我們有：

$\mathbb{E}[M_{k_i+1} - M_{k_i}] = \mathbb{E}[\sum_{j=k_i + 1}^{k_{i+1}}{X_j}] = \sum_{j=k_i + 1}^{k_{i+1}} \mathbb{E}[{X_j}] = 0 \\$

$Var[M_{k_i+1} - M_{k_i}] = Var[\sum_{j=k_i + 1}^{k_{i+1}}{X_j}] = \sum_{j=k_i + 1}^{k_{i+1}} Var[{X_j}] = k_{i+1} - k_i \\$

我們也容易驗證隨機漫步是一個鞅：

$\mathbb{E}[M_s | \mathcal{F}_t] = \mathbb{E}[(M_s - M_t) + M_t|\mathcal{F}_t] = \mathbb{E}[M_s-M_t|\mathcal{F}_t] + M_t = \mathbb{E}[M_s -M_t] + M_t = M_t \\$

def 1。2 隨機漫步的二次變差（Quadratic Variation）

$[M,M]_k = \sum_{j=1}^{k} (M_j -M_{j-1})^2 = \sum_{j=1}^{k} 1= k \\$

接著我們定義按比例縮小的隨機漫步

$W^{n} (t) = \frac{1}{\sqrt{n}} M_{nt} \\$

其中nt是整數。如果nt不是整數，則透過臨近的整數然後透過插值定義

$W^{n} (t)$

。類似於隨機漫步，按比例縮小後其仍具有獨立增量，且容易知道：

$\mathbb{E}[W^{n} (t)-W^{n} (s)] = 0, Var[W^{n} (t)-W^{n} (s)] = t-s \\$

$\mathbb{E}[W^{n} (t)| \mathcal{F}_s] = W^{n} (s) \\$

$[W^{n},W^{n}]_t = t \\$

我們考慮

$W^{n} (t)$

的機率分佈，我們可以從定義出發發現其實隨機漫步本質上是一個二項分佈~B（n，0。5）。自然地，利用

中心極限定理

當

$n\rightarrow \infty$

，其收斂於均值為0，方差為t的

正態分佈

。事實上這就是我們構造布朗運動的方法。

Part 2。布朗運動（Brownian Motion）

def 2。1 設

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

是一個

機率空間

，對每個

$\omega \in \Omega$

，假設存在依賴於

$\omega$

的，滿足W（0）=0的連續函式W（t）（t>= 0）。則W（t）是一個布朗運動如果：

1。具有獨立增量

2。

$\mathbb{E}[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] =0$

3。

$Var[W(t_{i+1}) - W(t_{i})] = t_{i+1} - t_i$

顯然以上定義是根據其構造方法來進行表述的，布朗運動還有其他等價的表達形式在此略。

接著我們討論布朗運動的域流（filtration）。

def 2。2 設W（t）（t>=0）是定義在機率空間

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

上的布朗運動。布朗運動的域流是滿足以下條件的一族

$\sigma-field$

F（t）（t >=0）：

1）

$\mathcal{F}_s \subset \mathcal{F}_t, \forall s < t$

2）

$W(t) 是 \mathcal{F}_t 可測的$

3）

$W(u)-W(t)獨立於\mathcal{F}_t, \forall t<u$

Theorem 2。1 布朗運動是鞅

證明方法類似與之前，此略。

在此給出三條布朗運動的性質：（1）布朗運動處處對時間不可導（2）布朗運動的二次變差為t（3）布朗運動是一個

馬爾科夫過程

。（證明可參考

Part 3。隨機積分

def 3。1 假設我們有

$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$

下的布朗運動

以及相應的域流

$\mathcal{F}_t$

，以及適應的隨機過程

$\Delta(t)$

，我們可以定義以下隨機積分：

$\int_{0}^{T} \Delta(t)dW(t) \\$

定義3。1特殊的地方在於布朗運動不能關於時間求微分，所以我們不能用像通常我們求期望那樣將

勒貝格積分

轉化為我們熟悉的黎曼積分。於是我們首先假設

$\Delta(t)$

是簡單被積函式，在這樣的簡單過程下定義隨機積分，然後推廣到非簡單被積函式的情況。

設

$\Pi = \left\{ t_0,t_1,...,t_n \right\}$

是［0，T］的一個劃分，我們假定

$\Delta(t)$

在每個子區間［

$t_j, t_{j+1}$

）中是常量，這樣的過程

$\Delta(t)$

稱為簡單過程。假設

$t_k \leq t \leq t_{k+1}$

，我們有：

$\int_{0}^{t} \Delta(u)dW(u)= \sum_{j=0}^{k-1} \Delta(t_j)[W(t_{j+1}) -W(t_j)] + \Delta(t_k)[W(t)-W(t_k)] \\$

取t=T時，我們便定義了3。1中的隨機積分。

Theorem 3。1

$\int_{0}^{t} \Delta(u)dW(u)$

是鞅

Theorem 3。2

$\mathbb{E} [\int_{0}^{t} \Delta(u)dW(u)]^2 = \mathbb{E}\int_{0}^{t} \Delta^2(u)du$

Theorem 3。3

$[\int_{0}^{t} \Delta(u)dW(u),\int_{0}^{t} \Delta(u)dW(u)](t) = \int_{0}^{t} \Delta(u)^2du$

（證明可參考

proposition 3。7，proposition 3。4）

現在我們可以假定

$\Delta(t)$

不再需要像之前一樣是一個簡單被積函式。現在我們想定義非簡單過程的隨機積分，只需要用之前的簡單過程對

$\Pi \rightarrow \infty$

即可作為逼近，以上定理及相關性質依然得以繼承。（兩者等價的證明可見上一連結proposition 4。2 4。4）

Part 4。 Ito公式

在此我們再一次強調布朗運動不可微以及具有非0二次變差的性質，這使得布朗運動的微分，或者包含布朗運動的隨機過程的微分無法像普通光滑連續函式那樣簡單地使用

鏈式法則

，而Ito發現的公式則能夠很好地解決這樣的微分問題。

def 4。1 設W（t）是布朗運動，

$\mathcal{F}_t$

是其域流，

$\Delta(t), \Theta(t)$

為

$\mathcal{F}_t$

可測，伊藤過程

滿足：

$dX(t) = \Delta(t)dW(t) + \theta(t)dt \\$

在此我們不加證明的給出以下結論：

$[X, X](t) = \int_0^t \Delta^2(u)du \\$

這個結論也是很好理解的，X（t）的二次變差來源於兩部分，第一部分我們在Theorem 3。3中給出了證明，至於第二部分由於其是光滑的函式，我們很容易理解其二次變差應該為0（證明略，利用

拉格朗日中值定理

等）。

Theorem 4。1 （

伊藤公式

）若X（t）是5。1中定義的一個

伊藤過程

，則

$\mathcal{f}(t, X(t))$

滿足：

$d\mathcal{f}(t,X(t)) = \mathcal{f}_t(t,X(t))dt + \mathcal{f}_x(t,X(t))\Delta(t)dW(t) + \mathcal{f}_x(t,X(t))\Theta(t)dt + \frac{1}{2}\mathcal{f}_xx(t,X(t)) \Delta^2(t)dt \\$