MP90：辛勢——餘切叢的正則辛結構

作者：由 jRONI 發表于繪畫時間：2019-01-09

微分流形的餘切叢自然地具有一個

正則辛結構(canonical symplectic structure)

。餘切叢到底流形有自然的投影對映，本講透過這個投影對映所誘匯出的切對映，得到某個特別的閉的

-形式場，這樣對這個

-形式場進行外微分就得到了辛形式。這個

-形式稱為

辛勢(symplectic potential)

。

切對映

我們熟知的一元微積分中，令

，對映

$f:\mathbb R\to\mathbb R$

為可微函式。

的運動透過

確定

的運動，兩者的相對速度由導數

$\frac{df}{dx}$

聯絡。將對映

推廣為平直的線性空間之間的對映

$f: \mathbb R^m \to \mathbb R^n$

，兩邊的相對速度由Jacobi矩陣

$\Big[\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\Big]$

聯絡。正如導數是一元對映的區域性線性化，Jacobi矩陣則是多元對映的區域性線性化。將這種關係推廣到微分流形之間的對映，令

$f:M\to N$

，那麼對應的就是切叢之間的

切對映(tangent map)

$df: TM \to TN$

。相對於

拉回對映(pull-back)

$f^*:T_{f(x)}^*N \to T_x^*M$

，切對映作用於切向量時稱為

推出對映(push-forward)

，記為

$f_*: T_xM \to T_{f(x)}N$

。

過去在介紹切空間時（ref。 MP10：微分流形上的函式和引數曲線），我們曾經將點

$x\in M$

上的切向量視為過這一點的引數曲線的等價類

$[\gamma(t) \subset M],\ \gamma(0) = x$

。流形上的函式（芽）在這一點上對引數曲線的引數求複合導數

$\frac{d(f\circ\gamma)}{dt} \Bigg|_{t=0}$

，具有相同的複合導數則引數曲線等價。切對映限制在點

$x\in M$

時，它是切向量的對映，若我們把切向量視為作用於函式

$\forall g$

的求導運算元：

$\begin{align} f_*: T_xM &\to T_{f(x)}N \\ Xg &\mapsto f_*(X)g = X(f\circ g) \end{align} \tag{1}$

切叢到底流形有自然投影對映，於是以上的對映

$f:M \to N$

和切對映

$df: T_xM \to T_{f(x)}N$

自然誘匯出切叢之間的切對映：

$\begin{CD} TM @>df>> TN \\ @V \pi VV & @V \pi VV \\ M @>f>> N \end{CD} \tag{2}$

餘切叢誘導的對偶空間

下面解釋微分流形

的餘切叢

如何自然地具有一個

正則辛結構(canonical symplectic structure)

。餘切叢到底流形有自然投影對映：

$\begin{align} \pi: T^*M &\to M \\ (x,\alpha) &\mapsto x \end{align} \tag{3}$

類比（2）有誘導的切對映：

$\begin{CD} T(T^*M) @>d\pi>> TM \\ @V \pi_1 VV & @VV \pi_2 V \\ T^*M @>\pi>> M \end{CD} \tag{4}$

這裡出現的最複雜的結構是左上角微分流形

的餘切叢

的切叢

。雖然複雜，它可以有很明確的物理影象。在Hamilton系統中，餘切叢就是相空間，相軌跡是廣義座標和廣義動量在相空間上的軌跡。最自然的相軌跡是時間引數曲線，這樣，相軌跡曲線對時間的導數，也就是相軌跡的切向量就是

中的向量。

注意到，（4）右上角的

和左下角的

對偶。限制在固定點

$x \in M$

上，我們可以考慮各類量的相互作用（否則就需要聯絡）。令

$x \in M$

，

$(x,\alpha) \in T^*M$

。根據（4），餘切叢的切向量

$\xi(x,\alpha,w) \in T(T^*M)$

誘匯出了兩個對映，產生了兩個量，一個是由投影對映產生的：

$\begin{align} \pi_1: T(T^*M) &\to T^*M \\ \xi(x,\alpha,w) &\mapsto \pi_1(\xi) \end{align} \tag{5}$

另一個是由切對映產生的：

$\begin{align} d\pi: T(T^*M) &\to TM \\ \xi(x,\alpha,w) &\mapsto d\pi(\xi) \end{align} \tag{6}$

$\xi(x,\alpha,w) \in T(T^*M)$

由三個引數/座標決定，其中

$x \in M$

，

$(x,\alpha) \in T^*M$

。顯然可以限制在

$x \in M$

上討論。可以簡化記號為：

$\xi(\alpha,w) \in T_\alpha(T_x^*M)$

確定了餘切向量

$\pi_1(\xi) \in T_x^*M$

和切向量

$d\pi(\xi) \in T_xM$

，從底流形上生長出來的這兩個量互為對偶向量。

Tautological 1-形式

我們可以將

$\xi(\alpha,w) \in T_\alpha(T_x^*M)$

所確定的餘切向量

$\pi_1(\xi) \in T_x^*M$

和切向量

$d\pi(\xi) \in T_xM$

寫為雙線性形式——內積：

$\begin{align} \langle \cdot,\cdot \rangle: T_x^*M \times T_xM &\to \mathbb R \\ \big( \pi_1(\xi),d\pi(\xi) \big) &\mapsto \langle \pi_1(\xi),d\pi(\xi) \rangle \\ &\mapsto \langle \pi_1,d\pi \rangle(\xi) \end{align} \tag{7}$

於是有：

$\begin{CD} T_\alpha(T_x^*M) @>d\pi>> T_xM \\ @V \pi_1 VV & @VVV \\ T_x^*M @>>> T_x^*M \times T_xM @> \langle \cdot,\cdot \rangle >> \mathbb R \end{CD} \tag{8}$