[Gelis 2019] 8.6 鬼和酉性

作者：由 Tokamahou Sheiji 發表于繪畫時間：2021-02-19

8.6.1 具體例子

在Abel規範理論中，我們用所有外帶荷粒子在殼的振幅滿足的Ward-Takahashi恆等式，展示了切割規則提供了光學定理的微擾實現。那些恆等式足以保證，內光子線被切割時，所帶的非物理偏振消失。但在非Abel規範理論中，這樣的推理面臨兩條難題：

Ward-Takahashi恆等式比QED中弱，不足以證明酉性。

更高階的圖一般有鬼圈，這些圈被切割該如何解釋還不清楚。

我們將看到，這兩條難題其實是相關的：被切割的鬼線剛好抵消被切割的膠子的非物理偏振。我們先用具體的例子來說明這點。考慮QCD中一對正反夸克在樹圖階湮滅成兩個膠子。對應的圖是

入正反夸克的動量分別記作

，出膠子的動量記作

$k_{1,2}$

（還有Lorentz指標記作

$\mu,\nu$

，色記作

）。

前兩個圖與QED中放出兩光子的類似，在夸克-膠子頂點加上色矩陣就行：

$\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)=ig^{2} \bar{v}(\mathbf{q})\left\{\gamma^{\mu}{t}^{a} \frac{i}{k\mkern-9.5mu/_{1}-q\mkern-9.5mu/-m} \gamma^{\nu} t^{b} +\gamma^{\nu} t^{b} \frac{i}{p\mkern-9.5mu/-k\mkern-9.5mu/_{1}-m} \gamma^{\mu} t^{a}\right\} u(\mathbf{p})\quad \quad (8.49)$

與光子動量

$k_{1\mu}$

縮並，得到

$\left.k_{1\mu}i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)=ig^{2} \bar{v}(\mathbf{q})\left\{k\mkern-9.5mu/_{1}{t}^{a} \frac{i}{k\mkern-9.5mu/_{1}-q\mkern-9.5mu/-m} \gamma^{\nu} t^{b} +\gamma^{\nu} t^{b} \frac{i}{p\mkern-9.5mu/-k\mkern-9.5mu/_{1}-m} k\mkern-9.5mu/_{1} t^{a}\right\} u(\mathbf{p})\quad \quad (8.50)$

第一項的分子上，可以寫

$k\mkern-9.5mu/_{1}=(k\mkern-9.5mu/_{1}-q\mkern-9.5mu/-m)+(q\mkern-9.5mu/+m)\quad \quad (8.51)$

再用Dirac方程

$\bar{v}(\mathbf{q})(q\mkern-9.5mu/+m)=0$

。類似地，對第二項用

$k\mkern-9.5mu/_{1}=(p\mkern-9.5mu/-m)-(p\mkern-9.5mu/-k\mkern-9.5mu/_1-m), \quad (p\mkern-9.5mu/-m)u(\mathbf{p})=0\quad \quad (8.52)$

這給出

$\left.k_{1\mu}i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)=i(i g)^{2} \bar{v}(\mathbf{q}) \gamma^{\nu}\left[t^{a}, t^{b}\right] u(\mathbf{p})\quad \quad (8.53)$

因為非Abel規範理論中Lie代數生成元不對易，這非零。不過，用

$\left[t^{a}, t^{b}\right]=i f^{a b c }{t} ^c$

可知，這與包含三膠子頂點的第三個圖相關。如果對內膠子傳播子用Feynman規範，它的貢獻是

$\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{3}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)=ig \bar{v}(\mathbf{q}) \gamma_{\rho} t^{c} u(\mathbf{p}) \frac{-i}{k_{3}^{2}}g f^{a b c}\left[g^{\mu \nu}\left(k_{2}-k_{1}\right)^{\rho}+g^{\nu \rho}\left(k_{3}-k_{2}\right)^{\mu}+g^{\rho \mu}\left(k_{1}-k_{3}\right)^{\nu}\right]\quad \quad (8.54)$

這裡記

$k_3\equiv -k_1-k_2$

。與

$k_{1\mu}$

縮並得到

$k_{1\mu}\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{3}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)=ig \bar{v}(\mathbf{q}) \gamma_{\rho} t^{c} u(\mathbf{p}) \frac{-i}{k_{3}^{2}}g f^{a b c}\left[g^{\nu \rho} k_{2}^{2}-k_{2}^{\nu} k_{2}^{\rho}-g^{\nu \rho} k_{3}^{2}+k_{3}^{\nu} k_{3}^{\rho}\right]\quad \quad (8.55)$

這個式子中，正比於

$k_{3}^{\nu} k_{3}^{\rho}$

的項為零，因為

$\bar{v}(\mathbf{q}) \gamma_{\rho} t^{c} u(\mathbf{p})k_3^\rho=-\bar{v}(\mathbf{q})[(p\mkern-9.5mu/-m)+(q\mkern-9.5mu/+m)]t^{c} u(\mathbf{p})=0\quad \quad (8.56)$

不過，

不足以抵消

。

令

，將消去

中另一項。如果振幅再與

橫向

偏振向量

$\epsilon_{\lambda\nu}(\mathbf{k}_2)$

縮並，因為

$k_2^\nu\epsilon_{\lambda\nu}(\mathbf{k}_2)=0$

，那麼正比於

$k_2^\nu k_2^\rho$

的項也消去了。於是我們有

$k_{1\mu}\epsilon_{\lambda\nu}(\mathbf{k}_2)\left[ \left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)+\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{3}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\right]_{k_2^2=0}=0\quad \quad (8.57)$

如果振幅同時與

$k_{1\mu}$

和

$k_{2\nu}$

縮並，即使動量

離殼，也有同樣的抵消：

$k_{1\mu}k_{2\nu}\left[ \left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)+\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{3}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\right]=0\quad \quad (8.58)$

圖8。3：描述$q \bar{q} \to q \bar{q}$的單圈圖。

因此，對這一過程，如果第二個膠子滿足特定的額外條件，我們就得到了類似QED中的Ward-Takahashi恆等式（

都是非Abel Ward-Takahashi恆等式

的特例）。這些額外條件導致得到的恆等式比較弱，以至於試圖從單圈

$q\bar{q}\to q\bar{q}$

向前振幅的虛部得到這一振幅時，不足以消去膠子的縱向偏振。特別地，如下切割時，有些非物理的偏振不會消失：

所有貢獻單圈

$q\bar{q}\to q\bar{q}$

向前振幅的圖如圖8。3，帶夸克圈的圖略去了，它與現在的討論無關（因為被切割時不給出任何兩膠子末態）。前五個圖（帶內膠子線的）對光學定理的貢獻很容易計算，只要注意到可由我們剛計算的振幅

$i M_{ab}^{\mu \nu} \left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\equiv\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{1+2}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)+\left.i M_{ab}^{\mu \nu}\right|_{3}\left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\quad \quad (8.59)$

表示如下：

［1］

$\begin{aligned} &\frac{1}{2} \int \frac{d^{4} k_{1}}{(2 \pi)^{4}} \int \frac{d^{4} k_{2}}{(2 \pi)^{4}}(2 \pi)^{4} \delta^{(4)}\left(p+q-k_{1}-k_{2}\right)\\ &\quad \times 2 \pi\left(-g_{\mu \rho}\right) \theta\left(k_{1}^{0}\right) \delta\left(k_{1}^{2}-m^{2}\right) 2 \pi\left(-g_{\nu \sigma}\right) \theta\left(k_{2}^{0}\right) \delta\left(k_{2}^{2}-m^{2}\right)\\ &\quad \times i M_{ab}^{\mu \nu} \left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\left( i M_{ab}^{\rho \sigma} \left(\mathbf{p}, \mathbf{q} | \mathbf{k}_{1}, \mathbf{k}_{2}\right)\right)^* \end{aligned}\quad \quad (8.60)$

如果將這解釋成對光學定理的物理貢獻，那麼將張量

$-g_{\mu\rho},-g_{\nu\sigma}$

用（見

）

$g^{\mu \nu}=\epsilon_{+}^{\mu}(\mathbf{k}) \epsilon_{-}^{\nu}(\mathbf{k})^{*}+\epsilon_{-}^{\mu}(\mathbf{k}) \epsilon_{+}^{\nu}(\mathbf{k})^{*}-\sum_{\lambda=1,2} \epsilon_{\lambda}^{\mu}(\mathbf{k}) \epsilon_{\lambda}^{\nu}(\mathbf{k})^{*}\quad \quad (8.61)$

替換之後，應當只有物理的偏振留下來。這裡，

$\epsilon_{\pm}^{\mu}(\mathbf{k})$

是非物理的偏振（其中

$\epsilon_{+}^{\mu}(\mathbf{k})$

正比於

$k^\mu$

）。其實替換後有幾項沒問題：

只包含橫向偏振

$\epsilon^\mu_{1,2}$

的項完全是物理的。

由於

，包含

$\epsilon^\mu_{1,2}\epsilon^\nu_+$

或

$\epsilon^\mu_+\epsilon^\nu_+$

的項為零。

因此，只需要關注這些項：

$\frac{1}{2}\left[\left(i M_{a b}^{\mu \nu} \epsilon_{-\mu} \epsilon_{+\nu}\right)\left(iM_{a b}^{\rho \sigma} \epsilon_{+\rho} \epsilon_{-\sigma}\right)^{*}+\left(iM_{a b}^{\mu \nu} \epsilon_{+\mu} \epsilon_{-\nu}\right)\left(iM_{a b}^{\rho \sigma} \epsilon_{-\rho} \epsilon_{+\sigma}\right)^{*}\right]\quad \quad (8.62)$

對在殼動量

的積分。由

$\epsilon_{+}^{\mu}(\mathbf{k})=k^{\mu} / \sqrt{2}|\mathbf{k}|$

，

和

，我們有

$\epsilon_{+\mu}\left(\mathbf{k}_{1}\right) i M_{a b}^{\mu \nu}=-\frac{g^{2}}{\sqrt{2}\left|\mathbf{k}_{1}\right|} \frac{1}{k_{3}^{2}} \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{2} k_{2}^{\nu} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p})\quad \quad (8.63)$

類似地，同另一個膠子有

$\epsilon_{+\nu}\left(\mathbf{k}_{2}\right) i M_{a b}^{\mu \nu}=\frac{g^{2}}{\sqrt{2}\left|\mathbf{k}_{2}\right|} \frac{1}{k_{3}^{2}} \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} k_{1}^{\nu} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p})\quad \quad (8.64)$

接著用

$\epsilon_{-}^{\mu}(\mathbf{k})=(k_0,-\mathbf{k}) / \sqrt{2}|\mathbf{k}|$

，得到

$\begin{aligned} &\epsilon_{-\nu}(\mathbf{k}_2)\epsilon_{+\mu}\left(\mathbf{k}_{1}\right) i M_{a b}^{\mu \nu}=-g^2\frac{\left|\mathbf{k}_{2}\right| }{ \left|\mathbf{k}_{1}\right|} \frac{1}{k_{3}^{2}} \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{2} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p})\\ &\epsilon_{+\nu}(\mathbf{k}_2)\epsilon_{-\mu}\left(\mathbf{k}_{1}\right) i M_{a b}^{\mu \nu}=+g^2\frac{\left|\mathbf{k}_{1}\right| }{ \left|\mathbf{k}_{2}\right|} \frac{1}{k_{3}^{2}} \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p}) \end{aligned}\quad \quad (8.65)$

此外，注意

$\bar{v}(\mathbf{q})\left(k\mkern-9.5mu/_{1}+k\mkern-9.5mu/_{2}\right) u(\mathbf{p})=\bar{v}(\mathbf{q})(q\mkern-9.5mu/+m+ p\mkern-9.5mu/-m) u(\mathbf{p})=0\quad \quad (8.66)$

這些方程放在一起，可將帶膠子圈的圖對光學定理的非物理貢獻

寫成

$g^4\frac{1}{(k_3^2)^2}\left[ \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p})\right]\left[ \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} f^{a b d} t^{d} u(\mathbf{p})\right]\quad \quad (8.67)$

如果這就結束了，按本章開頭我們天真地猜測的Feynman規則正是如此，就只能說明Yang-Mills理論違反酉性從而不一致了。幸運的是，圖8。3中還有一個帶鬼圈的圖。我們先計算一下正反夸克對湮滅成正反鬼對的振幅：

$iM_{q \bar{q} \rightarrow \chi \bar{\chi}}=i g \bar{v}(\mathbf{q}) \gamma_{\rho} t^{c} u(\mathbf{p}) \frac{i}{k_{3}^{2}}\left(g f^{a b c} k_{1}^{\rho}\right)\quad \quad (8.68)$

平方再加上鬼圈

［2］

帶來的負號

［3］

，就得到圖8。3中最後一個圖對光學定理的貢獻：

$-g^4\frac{1}{(k_3^2)^2}\left[ \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} f^{a b c} t^{c} u(\mathbf{p})\right]\left[ \bar{v}(\mathbf{q}) k\mkern-9.5mu/_{1} f^{a b d} t^{d} u(\mathbf{p})\right]\quad \quad (8.69)$

剛好抵消非物理膠子的貢獻

。換句話說，含鬼的項造成的抵消非常關鍵，這使光學定理在末態求和只考慮物理模式時是成立的。

8.6.2 Becchi-Rouet-Stora-Tyutin對稱性

前一個例子中的抵消，實際上是普遍發生的：對每個膠子圈，有一個拓撲上相同的圖，其中這個圈換成了鬼圈，它抵消了光學定理中膠子非物理偏振的貢獻。然而，上節的計算很難轉換成一般的證明。這個抵消其實來自規範固定Lagrangian殘留的對稱性：雖然規範固定項破壞了規範對稱性，但

中的有效Lagrangian中還有原始規範對稱性的遺蹟，稱為

Becchi-Rouet-Stora-Tyutin

（BRST）

對稱性

。

回憶一下，在

$\theta_a(x)$

引數化的無窮小規範變換下，規範場和費米場的增量是

$\delta A_{\mu}^{a}(x)=-\left(D_{\mu}^{\text{adj}}\right)_{a b} \theta_{b}(x), \quad \delta \psi(x)=-i g \theta_{a}(x) t_{r}^{a} \psi(x)\quad \quad (8.70)$

是費米子所在的表示。BRST變換與此類似，只是換成了：

$\theta_{a}(x) \rightarrow-\vartheta \chi_{a}(x)$

，

$\vartheta$

是Grassmann常數

［4］

：

$\delta_{\mathrm{BRST}} A_{\mu}^{a}(x)=\left(D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{ab}\left[\vartheta \chi_{b}(x)\right], \quad \delta_{\mathrm{BRST}} \psi(x)=i g\left[\vartheta \chi_{a}(x)\right] t_{r}^{a} \psi(x)\quad \quad (8.71)$

因為BRST變換與局域規範變換結構相同，任何規範場和費米子的規範不變組合也是BRST不變的。對Yang-Mills Lagrangian，和包含費米子與規範場最小耦合的Dirac Lagrangian，正是如此。習慣上為這個變換引入生成元

$\mathbf{Q}_\text{BRST}$

，令

$\delta_{\mathrm{BRST}}\equiv\vartheta\mathbf{Q}_\text{BRST}$

，於是有

$\mathbf{Q}_\text{BRST} A_{\mu}^{a}(x)=\left(D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{ab} \chi_{b}(x) , \quad \mathbf{Q}_\text{BRST} \psi(x)=i g \chi_{a}(x) t_{r}^{a} \psi(x)\quad \quad (8.72)$

沒有說明正反鬼場在BRST下如何變換。讀者往後看會明白，我們應當假定BRST變換冪零，也就是說，對理論中任意場有

$\mathbf{Q}_\text{BRST}^2=0$

。這個要求限制了鬼的BRST變換。事實上，費米子上作用兩次BRST變換，得到

$\begin{aligned} \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}^{2} \psi(x) &=i g\left\{\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \chi_{a}(x)\right) t_{r}^{a} \psi(x)-\chi_{a}(x) t_{r}^{a} \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \psi(x)\right\} \\ &=ig\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \chi_{a}(x)\right) t_{r}^{a} \psi(x)+g^{2} \chi_{a}(x) \chi_{b}(x) t_{r}^{a} t_{r}^{b} \psi(x) \end{aligned}\quad \quad (8.73)$

（BRST生成元是反對易的量，因此第一行的第二項中，與Grassmann場

$\chi_a$

交換後給出負號。）因為

$\chi_a,\chi_b$

反對易，可將

換成

$[t_r^a,t_r^b]/2=if^{abc}t_r^c/2$

。可以看出，如果

為零，那麼

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \chi_{a}(x)=-\frac{1}{2} g f^{abc} \chi_{b}(x) \chi_{c}(x)\quad \quad (8.74)$

然後我們可以計算兩次BRST變換對規範場的作用：

$\begin{aligned} \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}^{2} A_{\mu}^{a} &=\left(D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{ab}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \chi_{b}\right)-g f^{abc}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} A_{\mu}^{c}\right) \chi_{b} \\ &=\left(D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{ab}\left[-\frac{g}{2} f^{bcd} \chi_{c}(x) \chi_{d}(x)\right]-gf^{abc}\left[\partial_{\mu} \chi_{c}-gf^{cde} A_{\mu}^{e} \chi_{d}\right] \chi_{b} \end{aligned}\quad \quad (8.75)$

線性於規範場的項為零，用

$\chi$

的反對易性和結構常數滿足的Jacobi恆等式可以看到：

$\begin{aligned} &\frac{1}{2} g^{2} f^{a b e} f^{b c d} A_{\mu}^{e} \chi_{c}(x) \chi_{d}(x)+g^{2} f^{a b c} f^{c d e} A_{\mu}^{e} \chi_{d} \chi_{b} \\ =&\frac{1}{2} g^{2}[\underbrace{f^{a c e} f^{c b d}-f^{a b c} f^{c d e}+f^{a d c} f^{c b e}}_{0}] A_{\mu}^{e} \chi_{b} \chi_d \end{aligned}\quad \quad (8.76)$

帶導數

$\partial_\mu$

的項也為零：

$\begin{aligned} &-\frac{1}{2} g f^{a c d} \partial_{\mu}\left(\chi_{c} \chi_{d}\right)-g f^{a b c}\left(\partial_{\mu} \chi_{c}\right) \chi_{b}\\ =&\frac{1}{2} g f^{a b c}[\partial_{\mu}\left(\chi_{c} \chi_{b}\right) \underbrace{-\left(\partial_{\mu} \chi_{c}\right) \chi_{b}+\left(\partial_{\mu} \chi_{b}\right) \chi_{c}}_{\ \ -\left(\partial _\mu {\chi _c}\right) \chi_{b}-\chi_c\left(\partial_\mu \chi_{b}\right)\\=-\partial_\mu(\chi_c\chi_b)}]=0 \end{aligned}\quad \quad (8.77)$

鬼場上作用兩次BRST變換也為零：

$\mathbf{Q}_{\text {BRST}}^{2} \chi_{a}=\frac{g^{2}}{2} f^{abc} f^{bde} \underbrace{\chi_{c} \chi_{d} \chi_{e}}_{輪換不變}=0 \quad \quad (8.78)$

因為

$\chi_c\chi_d\chi_e$

輪換不變，可將因子

$f^{abc}f^{bde}$

換成

輪換求和的三分之一，由Jacobi恆等式，這為零。所以，鬼場的BRST變換

給出

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}^{2} \psi=0, \quad \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}^{2} A_{\mu}^{a}=0, \quad \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}^{2} \chi_{a}=0\quad \quad (8.79)$

現在還要確定反鬼場的BRST變換。注意，給出Faddeev-Popov行列式的路徑積分中，正反鬼場獨立（因此得到的是行列式，而不是行列式的平方根）。所以，反鬼的BRST變換未必與鬼的有關。我們記

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \bar{\chi}_{a}(x) \equiv B_{a}(x)\quad \quad (8.80)$

這裡，

是對易的場。

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}$

要冪零，必須要求

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} B_{a}(x)=0\quad \quad (8.81)$

（當然也就有

$\mathbf{Q}^2_{\mathrm{BRST}} B_{a}(x)=0$

。）

現在考慮所有場（包括

）的一個局域函式

$\Xi$

，在Yang-Mills和Dirac Lagrangian中加入它的BRST增量：

$\mathcal{L} \equiv \underbrace{\mathcal{L}_{\text{YM}}+\mathcal{L}_{\text{D}}}_{\text {BRST不變}}+\mathbf{Q}_{\text{BRST}} \Xi \quad \quad (8.82)$

因為

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}}$

冪零，這個Lagrangian BRST不變。選擇

$\Xi \equiv \bar{\chi}_{a}(x)\left[\frac{1}{2 \xi} B^{a}(x)+G^{a}(A(x))\right]\quad \quad (8.83)$

這裡，

$\xi$

是引數，

是規範固定函式。我們可以寫

［5］

$\begin{aligned} \mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \Xi &=\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \bar{\chi}_{a}\right)\left[\frac{1}{2 \xi} B^{a}+G^{a}\right]-\bar{\chi}_{a}\left[\frac{1}{2 \xi}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} B^{a}\right)+\frac{\partial G^{a}}{\partial A_{\mu}^{b}}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} A_{\mu}^{b}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2 \xi} B^{a} B^{a}+B^{a} G^{a}+\underbrace{\bar{\chi}_{a} \frac{\partial G^{a}}{\partial A_{\mu}^{b}}\left(-D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{bc} \chi_{c}}_{\mathcal{L}_{\mathrm{FPG}}} \end{aligned}\quad \quad (8.84)$

注意，最後一項正是之前推出的Lagrangian中的Faddeev-Popov部分。此外，Lagrangian中只有二次於場

的項，那麼對

的路徑積分是平凡的：

［6］

$\int\left[DB^{a}(x)\right] e^{i \int d^{4} x\left(\frac{1}{2 \xi} B^{a} B^{a}+B^{a} G^{a}\right)}=e^{-i \frac{\xi}{2} \int d^{4} xG^{a} G^{a}}\quad \quad (8.85)$

因此，積掉輔助場

後，得到的理論與Faddeev-Popov方法給出的有效Lagrangian完全相同：

$\mathcal{L}_{\mathrm{eff}}=\mathcal{L}_{\text{YM}}+\mathcal{L}_{\mathrm{D}}-\frac{\xi}{2} G^{a} G^{a}+\bar{\chi}_{a} \frac{\partial G^{a}}{\partial A_{\mu}^{b}}\left(-D_{\mu}^{\mathrm{adj}}\right)_{bc} \chi_{c}\quad \quad (8.86)$

因此，由對

作Gauss積分時

與

的關係，有效Lagrangian BRST不變要求反鬼場的BRST增量是

$\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \bar{\chi}_{a}=-\xi G^{a}\quad \quad (8.87)$

8.6.3 BRST流和荷

如果按

選擇函式

$\Xi$

，那麼Lagrangian

具有如下對稱性：

全域性規範對稱性（因為所有色指標縮並了）；

BRST不變；

如果為

$\chi$

賦鬼數

，為

$\bar{\chi}$

賦

，那麼鬼數守恆。

BRST不變意味著存在守恆流

$J_{\mathrm{BRST}}^{\mu} \equiv \sum_{\Phi \in\left\{A_{\mu}, \psi, \chi, \bar{\chi}, \mathrm{B}\right\}} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu} \Phi\right)}\left(\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \Phi\right)\quad \quad (8.88)$

它的0分量給出BRST荷

$\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}} \equiv \int d^{3} \mathbf{x} J_{\mathrm{BRST}}^{0}\left(x^{0}, \mathbf{x}\right)\quad \quad (8.89)$

事實上，荷生成BRST變換：

$i\left[\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}, \Phi\right]_{\pm}=\mathbf{Q}_{\mathrm{BRST}} \Phi \quad\left(\Phi \in\left\{A_{\mu}, \psi, \chi, \bar{\chi}, B\right\}\right)\quad \quad (8.90)$

這裡，如果

$\Phi$

是對易的場，

$[\cdot,\cdot]_\pm$

是對易子；如果

$\Phi$

是反對易的場，則是反對易子。如果考慮自由情形（也就是令

），對正反對易關係

中的所有場作Fourier分解：

$\begin{aligned} A_{a}^{\mu}(x) & \equiv \sum_{\lambda=1,2,+,-} \int \frac{d^{3} \mathbf{p}}{(2 \pi)^{3} 2|\mathbf{p}|}\left\{\boldsymbol{\epsilon}_{\lambda}^{\mu}(\mathbf{p}) a_{a \lambda \mathbf{p}}^{\dagger} e^{+i p \cdot x}+\boldsymbol{\epsilon}_{\lambda}^{\mu *}(\mathbf{p}) a_{a \lambda \mathbf{p}} e^{-i p \cdot x}\right\} \\ \psi(x) & \equiv \sum_{s=\pm} \int \frac{d^{3} \mathbf{p}}{(2 \pi)^{3} 2 E_{\mathbf{p}}}\left\{d_{s \mathbf{p}}^{\dagger} v_{s}(\mathbf{p}) e^{+i p \cdot x}+b_{s \mathbf{p}} u_{s}(\mathbf{p}) e^{-i p \cdot x}\right\}\\ \chi_{a}(x) &\equiv \int \frac{d^{3} \mathbf{p}}{(2 \pi)^{3} 2|\mathbf{p}|}\left\{\alpha_{a\mathbf{p}}^{\dagger} e^{+i p \cdot x}+\alpha_{a \mathbf{p}} e^{-i p \cdot x}\right\}\\ \bar{\chi}_{a}(x) &\equiv \int \frac{d^{3} \mathbf{p}}{(2 \pi)^{3} 2|\mathbf{p}|}\left\{\beta_{a \mathbf{p}}^{\dagger} e^{+i p \cdot x}+\beta_{a \mathbf{p}} e^{-i p \cdot x}\right\} \end{aligned}\quad \quad (8.91)$

我們得到（見習題8。4）

$\begin{aligned} &\left[\mathcal{Q}_{\text {BRST}}, a_{ a\lambda \mathbf{p} }^{\dagger}\right] \propto \delta_{\lambda+} \alpha_{a\mathbf{p} }^{\dagger}, \quad\left\{\mathcal{Q}_{\text {BRST}}, \alpha_{a \mathbf{p} }^{\dagger}\right\}=0\\ &\left\{\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}, \beta_{a\mathbf{p} }^{\dagger}\right\} \propto a_{a-\mathbf{p} }^{\dagger}, \quad\left\{\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}, b_{s\mathbf{p} }^{\dagger}\right\}=\left\{\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}, d_{s \mathbf{p} }^{\dagger}\right\}=0 \end{aligned}\quad \quad (8.92)$

8.6.4 BRST上同調，物理態和酉性

BRST荷冪零這點，也就是

$\mathcal{Q}^2_{\text {BRST}}=0$

，對系統的態有重要意義。

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

的

核

，是

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

湮滅的態的集合：

$\left.\operatorname{Ker}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) \equiv\left\{\psi |\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}} | \psi\right\rangle=0\right\}\quad \quad (8.93)$

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

的

像

，是可由

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

作用在另一個態上得到的態的集合：

$\operatorname{Im}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) \equiv\left\{\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}|\psi\rangle\right\}\quad \quad (8.94)$

因為

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

冪零，它的像是核的子集：

$\operatorname{Im}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) \subset \operatorname{Ker}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) \quad \quad (8.95)$

注意，像中的態非物理，因為範數為零：

$\langle\psi | \psi\rangle= \langle\phi|\underbrace{\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}} \mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}}_{0}| \phi \rangle=0\quad \quad (8.96)$

現在考慮核中態間的如下等價關係：如果兩個態的差在像中，則等價，如圖8。4：

$|\psi\rangle \sim\left|\psi_{0}\right\rangle, \quad 如果|\psi\rangle=\left|\psi_{0}\right\rangle+\mathcal{Q}_{\text {BRST}}|\varphi\rangle \quad \quad (8.97)$

圖8。4：一個等價類$\bar{\psi}_0$可看成平行於$\text{Im}（\mathcal{Q}_\text{BRST}）$的超平面。BRST上同調是所有這樣平面的集合。

$\mathcal{Q}_{\text {BRST}}$

的

上同調

，是這樣的等價類的集合：

$\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) \equiv \operatorname{Ker}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right) / \operatorname{Im}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right)\quad \quad (8.98)$

物理態是上同調中範數非零

［7］

的元素。事實上，用

很容易證明（見習題8。4），如果

$|\psi\rangle$

是上同調中的態，那麼

$a^\dagger_{a\{1,2\}\mathbf{p}}|\psi\rangle\in\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right),\quad b^\dagger_{s\mathbf{p}}|\psi\rangle\in\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right),\quad d^\dagger_{s\mathbf{p}}|\psi\rangle\in\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right)\quad \quad (8.99)$

而

$a^\dagger_{a\pm\mathbf{p}}|\psi\rangle\notin\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right),\quad \alpha^\dagger_{ \mathbf{p}}|\psi\rangle\notin\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right),\quad \beta^\dagger_{ \mathbf{p}}|\psi\rangle\notin\mathbf{H}\left(\mathcal{Q}_{\mathrm{BRST}}\right)\quad \quad (8.100)$