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是否存在連續函式滿足f（x）=f（2x）且不為常函式？

作者：由香草味戀戀發表于繪畫時間：2022-03-06

洛離2022-03-06 23:18:26

我找到一個f(x)=sin(2π×ln（|x|）÷ln2)

很明顯x不能取0。

但若考慮f（0）=0的話

問題在於在f（0）處時函式值是否連續。

希望有大佬解答。

泥泥2022-03-07 17:04:16

下證

定義域裡不能有0

反證法：若有0

$\because f(x)$

不為常值函式

$\therefore \exists \ a\neq b$

使得

$f(a)\neq f(b)$

又由

知：

$\forall n \in \mathbb{N} ,\ f(\frac{a}{2^n})=f(a),f(\frac{b}{2^n})=f(b)$

又由

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a}{2^n}=0$

及

的連續性知：

同理由

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{b}{2^n}=0$

知：

$f(0)=f(b)\neq f(a)$

矛盾！

故定義域裡不能有0，又由連續性知：定義域要麼

$\subseteq \mathbb{R^+}$

要麼

$\subseteq \mathbb{R^-}$

將答主 @洛離的構造稍加改動就得到了一個定義域為

$\mathbb{R^+}$

的符合條件的

：

$f(x)=\sin\left( 2\pi \cdot \log_2x\right) \qquad(x\in\mathbb{R^+})$

不會數學的數學汪2022-03-07 18:38:41

當年考研背過的題目等有時間我補充一下

煜神學長2022-03-12 11:16:51

即然問存不存在，那麼就

找一個完事兒了

！怎麼找？這裡不妨用一下

數學類比

的思想。

條件要求

：

，即

不一樣的自變數

，對應

相同的函式值

。

搜搜我們腦袋裡面的知識，這和什麼性質類似？

週期性！

週期性不就是

麼！觀察一下，是不是不同的自變數，對應相同的函式值。

接著進行

類比

，即是思考，如何

將

轉變為

這種

。即數學中哪個東西有魔力將

乘變成加

呢？答案：

取對數！

即有：

$log_{2}(2x)=1+log_{2}(x)$

，此時設

$log_{2}(x)=u$

，

，此時進而轉變為了

。接下來只用再找一個週期為1的函式即可，而最容易找的就是

$g(u)=sin2\pi u$

，帶入複合即可。得：

$f(x)=g(u)=g(log_{2}x)=sin(2\pi log_{2}x)$

，最後再確定定義域即可！

以上構造過程用複合函式加工模型很好理解：

複合函式加工模型

從模型能看出，不僅

能找到，

，

等，都可以給你找到。

直接有表示式：

$f(x)=sin2\pi(log_{a}x)$

另外拓展一下：

找滿足

$f(x^{2})=f(x)$

的連續函式。

還是採用類比，我們已經能求出

形式的函式，接下來即考慮如何將

$x^{2}$

變為

或者

的形式呢？誰有這個魔力呢？還是對數！即有

$ln(x^{2})=2ln(x)=2t$

，此時變為熟悉的模樣了，用加工模型表示這一過程，如下：

複合函式加工模型

從圖中可想到滿足

$f(x^{a})=f(x)$

的函式：

$sin2\pi(u)=sin2\pi(log_{a}t)=sin2\pi(log_{a}lnx)$

即

$f(x)=sin2\pi(log_{a}lnx)$

，拓展題為

$f(x)=sin2\pi(log_{2}lnx)$

到此結束！

最後附上我和另一位學長做的考研數學提分利器-思維導圖，更高效的備考。

考研數學個人2個半月上140分的思維導圖

厚百合2022-03-31 00:01:01

如果預設定義域是R的話，這個函式是不存在的。

我剛才順手寫紙上證了一下，簡單來說就是不為常函式那麼一定存在兩個值的函式值不為零，然後0的任意小鄰域裡一定存在兩個足夠小的數，他們的函式值之差還是剛才那個不為零的值，所以就和連續的定義至少在零處衝突。

標簽：函式定義域考研複合類比

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