發展直觀想象，提升核心素養的幾點思考
摘要：
在直觀想象核心素養的形成過程中，學生能夠進一步發展幾何直觀和空間想象能力，增強運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數形結合的能力，感悟事物的本質，培養創新思維。特別是在公式型法則學習的過程中，運用數形結合思想，能有效地進行知識遷移，深化法則，本文是筆者的幾點思考。
關鍵詞：
核心素養；直觀想象；數形結合；數學之美
在新的課程標準中，給出了數學學科六個核心素養，分別是：數學抽象、邏輯推理、直觀想象、運算能力、數學建模和資料分析。其中，直觀想象是發現和提出數學問題、分析和解決數學問題的重要手段，是探索和形成論證思維、進行邏輯推理、構建抽象結構的思維基礎。在平時的教育教學中，要有針對性地強調數形結合的數學思想，以及對相關知識點的遷移，從而達到更深入的理解程度。
1 巧解多個絕對值之和的最小值，感受數學之美
問題1：
當x= 時，代數式 | x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 | + … + | x – 100 |取得最小值？最小值為多少？
分析：
該題如果按照零點分段來討論，則需要分101段進行討論，過程極其繁瑣。將問題還原成元問題來分析，常常是解決問題的有效方法。
（1）當x= 時，代數式 | x – 1 |取得最小值？最小值為多少？
分析：
由於絕對值的非負性，即| x – 1 | ≥ 0，可得| x – 1 |的最小值為0。該題如果結合絕對值的幾何意義解決起來會更加高效，| x – 1 |取最小值可以看成是在數軸上，一個數x到1的距離最小。結合影象可以很直觀地發現當x = 1時，到數軸上1的距離最小，最小值是0。
（2）當x= 時，代數式 | x – 1 | + | x – 2 | 取得最小值？最小值為多少？
分析：
| x – 1 | + | x – 2 | 的幾何意義可以得，數軸上表示的數x的點到表示數1和2兩點之間的距離之和，所以，數形結合可得，當1 ≤ x ≤ 2時，| x – 1 | + | x – 2 |取最小值，最小值為1，即數1與2兩點之間的距離。
（3）當x= 時，代數式 | x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 |取得最小值？最小值為多少？
分析：
同理，由| x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 |的幾何意義可以得，數軸上表示的數x的點到表示數1、2和3三點之間的距離之和，所以，數形結合可得，當x = 2時，| x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 |取最小值，最小值為2，即數1與3兩點之間的距離。
（4）當x= 時，代數式 | x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |取得最小值？最小值為多少？
分析：
同理，由| x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |的幾何意義可以得，數軸上表示的數x的點到表示數1、2、3和4四點之間的距離之和，所以，數形結合可得，當2 ≤ x ≤ 3時，| x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 | + | x – 4 |取最小值，最小值為1到4的距離，加上2到3的距離之和，即（4 - 1） + （3 - 2） = 4，最小值為4。
到此，問題1的解題思路也清晰了，可以利用其幾何意義，數形結合，從而直觀地看到答案。
巧解：
當50 ≤ x ≤ 51時，| x – 1 | + | x – 2 | + | x – 3 | + … + | x – 100 |取得最小值，可以將其轉化為“數軸上表示數x的點到數軸上表示數1，2，3，…，100的點之間的距離之和最小”的問題。要使距離之和最小，x應該取50到51之間，將絕對值首尾對稱兩兩分組配對，可以發現每對距離之和實質是對稱的兩個數的點之間的距離。即為（100 - 1） + （99 - 2） + （98 - 3） + … + （51 - 50） = 99 + 97 + 95 + … + 1 = = 2500。
對於n個絕對值之和取最小值的問題時，可以轉化為“在數軸上表示n個已知點，一個動點到這n個已知點之間的距離之和最小”的問題。引導學生體會透過零點分段討論的純代數方法，再讓學生體會直觀的幾何方法，突顯出數形結合思想的優越性，以及其數學之美。從而引導學生直觀想象核心素養的逐漸形成。為了培養學生的直觀想象核心素養，還可以透過數形結合深刻理解公式型法則。
2 數形結合深化學習公式型法則
2.1 案例一勾股定理
北京師範大學出版社的八年級上冊數學書裡面的第一章第一節“探索勾股定理”一課，除了按照教材裡面的證明方法，還可以給學生們多多介紹一下其他面積法的證明過程。讓學生更加直觀深刻地去理解勾股定理。
幾何學的產生，源於人們對土地面積的測量需要。年復一年，人們就積累了最基本的幾何知識。幾何學從一開始便與面積結下了不解之緣。連英語中的幾何單詞“geometry”的字首“geo-”，也含有“土地”之意。
勾股定理，這個被譽為“幾何的基石”的重要定理，它被發現與被證明，不管是在中國，還是在古希臘，都與面積相關。這方面的科普也可以讓學生感受知識的深遠歷史，感受古人的聰明與智慧，同時也在學習的過程中形成自己的直觀想象，對勾股定理的更深刻理解與學習。
勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那麼。而在我國古代把直角三角形較短的直角邊叫“勾”，較長的直角邊叫“股”，斜邊叫“弦”。於是，勾股定理由此得名，被敘述為“勾方加股方等於弦方”。
勾股定理的證法如今有500餘種。接下來不妨鑑賞一下出自我國古代無名數學家的一個精彩證法：
證法一：
圖1
如圖1，由四個大小相同的直角三角形的斜邊，圍成一個正方形。它們的直角邊，圍成了一個更大的正方形。（思考一下為什麼？）
有圖可知，大正方形的面積為，小正方形面積為，直角三角形的面積為。故有，即，整理之後得。
證法二：
圖2
該證法是美國第20屆總統加菲爾德的傑作。把兩本大小一樣額書，一橫一豎並排放在一起，如圖2所示。
一方面，梯形ACDG的面積，為；另一方面，該梯形的面積可以看成三個三角形面積和，分別是，面積依次是。即，整理之後便是我們熟悉的勾股定理。
證法二仔細看不難看出，其實是證法一把圖1沿虛線剪掉一半，中國古老證明就變成了加菲爾德的證明！透過學生對這些經典證法的學習，可以更加直觀，深刻地理解勾股定理。
公式型法則透過對其代數形式和幾何意義的學習，有利於培養學生的符號意識，運算能力，有利於發展學生的理解、遷移、應用和創新能力。比如：平方差公式是學生進入初中階段學習的第一個公式，其對學生後續學習方法的遷移、其他數學公式的研究具有指導意義。
2.2 案例一平方差公式：
圖3
學習平方差公式的幾何背景時，可以透過直觀的幾何展示，讓學生們認識到平方差公式的幾何展示。圖3形象生動地給我們展示了一個非常有用的恆等式（平方差公式）：。大正方形去掉小正方形得到兩個梯形。每個梯形的面積恰好是。學習完平方差公式的幾何表示之後，可以繼續設計學習活動之“探究幾何意義”。
剪拼遊戲：如圖4，學校有一片“L”形的空地，現在要對其進行改造，將它改造成長方形，請你來設計，並計算出這片空地的面積。
圖4
讓學生完成剪拼遊戲，不僅表達了a和b具有幾何的實際意義，而且透過數形結合，從幾何層面驗證平方差公式，體現幾何和代數密不可分，使得幾何直觀成為理解代數的利器。數學家華羅庚曾說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”讓學生多動手，多觀察，從中體會“形”與“數”之間的統一。
該剪拼遊戲出了大部分學生透過將其如圖3一樣，剪成兩個梯形將其拼接成長方形之外，還有同學將“L”形空地進行如圖5所示的剪拼，也可以驗證平方差公式。
圖5
2.3 巧用數形結合，直觀理解公式：
新的課程改革提出的數學“三會”：會用數學的眼光觀察世界、會用數學的思維思考世界、會用數學的語言表達世界。數學的語言包括文字語言、符號語言和圖形語言，其中圖形語言表現直觀，可以更好地幫助學生理解和記憶公式。利用幾何圖形對代數知識進行解釋，也體現出代數和幾何之間的內在聯絡與統一。當學生不能抽象地從代數角度理解公式時，幾何圖形的表達能較好地幫助學生直觀感受公式的正確性，而且幾何問題中的字母一般具有實際意義，對培養學生的轉化能力和理解能力有較好的作用。引導學生從幾何的角度審視代數問題，會有“別有洞天”的解決問題的途徑，更有利於深度學習的開展。［1］
3 發展直觀想象，提升核心素養
隨之社會的發展，教學工具也是日新月異，走向資訊化與科技化，教師也應該與時俱進，終身學習並且學以致用。將幾何畫板引入課堂教學就是一個很好的例子，通過幾何畫板強大的動態幾何功能，能最直觀地帶給學生對幾何的學習與理解，也能更好地培養學生的直觀象形能力。同時要確立核心素養導向的學習目標，從啟發、互動、探究、到深度互動，培養學生的認知能力和合作能力，這也是一個從初級能力到高階能力的培養過程。［2］
直觀想象是指藉助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用圖形理解和解決數學問題的過程。主要包括：藉助空間認識事物的位置關係、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯絡；構建數學問題的直觀模型，探索解決問題的思路。
本文從數形結合解決多個絕對值之和最小值問題，讓學生體會代數與幾何的差別與聯絡；勾股定理歷史上的兩種精彩證法，讓學生感受數學文化的源遠流長，體會古人的智慧與數學的魅力，提高學生的興趣同時也讓學生透過這瞭解多種證法，學會從多角度思考問題，一題多解，發展創造性思維；平方差公式的幾何表示，讓學生感受幾何直觀的同時，更加形象與深刻地理解和記憶公式。
數學學科的六大核心素養在數學的教學與學習中，都是融匯其中的。學生透過對直觀想象的練習，對數形結合思想的掌握，可以更好地學習幾何與代數，進而也會促進邏輯思維的形成，更容易地培養學生的建模思想，能夠為學生解決實際問題提供導向，從而培養學生的數學抽象、資料分析、解決實際問題的能力。經歷直觀想象與建模的過程，可以讓學生找到問題的本質，從而更加透徹地理解問題，這對培養學生主動思考問題的習慣具有積極的作用。［3］
參考文獻：
［1］張美娟。指向學生深度學習的數學學習活動設計與實施［J］。新教育（中旬刊），2017（7）：48-49
［2］劉月霞，郭華。深度學習：走向核心素養［M］。北京：教育科學出版社，2018
［3］王紅崗。初中數學教學中，建模思想的應用——以“相似三角形的應用”為例［J］。中學數學教學參考（下旬刊），2020（11）：17-18
［4］張景中，曹培生。從數學教育到教育數學［M］。北京：中國少年兒童新聞出版總社，2011。7
