2.6 同構與同態｜整理總結

作者：由 CuriosityTree 發表于繪畫時間：2021-11-13

一、同構的定義

設

是數域

上的兩個向量空間。如果存在一一對映

$\sigma:V_1\to V_2$

，滿足條件

$\forall\boldsymbol\alpha,\boldsymbol\beta\in V_1,\sigma(\boldsymbol\alpha+\boldsymbol\beta)=\sigma(\boldsymbol\alpha)+\sigma(\boldsymbol\beta)$

；

$\forall\alpha\in V_1,\forall\lambda\in F,\sigma(\lambda\boldsymbol\alpha)=\lambda\sigma(\boldsymbol\alpha)$

。

就稱線性空間

同構

，稱

$\sigma$

為

同構對映

。

特別地，如果

，則成為

自同構。

例如：

從線性方程組到其係數向量的對映，每一個方程作為一個向量

$\boldsymbol\alpha_i$

，其係數作為一個數組向量

$(a_{i1},\cdots,a_{in})$

，就是一個同構對映，方程組向量構成的空間和係數陣列空間同構。

二、同構對映的性質（5條）

零對零、負對負、相關對相關（無關對無關）、基對基、維對維

三、自同構典例：不同基下的座標之間的關係

設

$\boldsymbol\alpha$

在基

$M_1=\{\boldsymbol\alpha_1,\cdots,\boldsymbol\alpha_n\}$

下的座標為

$X=(x_1,\cdots,x_n)$

，在基

$M_2=\{\boldsymbol\beta_1,\cdots,\boldsymbol\beta_n\}$

下的座標為

$Y=(y_1,\cdots,y_n)$

；設

$\boldsymbol\beta_i=p_{i1}\boldsymbol\alpha_1+\cdots+p_{in}\boldsymbol\alpha_n=(\boldsymbol\alpha_1,\cdots,\boldsymbol\alpha_n)(p_{i1},\cdots,p_{in})^T$

；設

$\sigma$

為向量到以

為基的座標的對映，那麼有：

$\boldsymbol\alpha=(\boldsymbol\alpha_1,\cdots,\boldsymbol\alpha_n)\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$

$(\boldsymbol\beta_1,\cdots,\boldsymbol\beta_n)\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$

$=(\boldsymbol\alpha_1,\cdots,\boldsymbol\alpha_n)\begin{pmatrix}p_{11}&\cdots&p_{n1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&\cdots&p_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$

得

$\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}p_{11}&\cdots&p_{n1}\\\vdots&\ddots&\vdots\\p_{1n}&\cdots&p_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$