線性代數-定義與性質
前幾天比比了好多線性代數的直觀表達與背後的代數意義，結果回頭發現最基本的公式和性質卻全忘光了，不應當不應當，再重新複習一遍吧。
封面：電影《雲之彼端》
行列式的定義
行列式是一個數字，它的定義如下：
直觀上看就是第一行的一個數，乘上第二行的一個數……乘上第N行的一個數，這些數不能在同一列，最後乘上-1的這個排列的逆序數的次方確定正負。
逆序數
在一個排列中，如果一對數的前後位置與大小順序相反，即前面的數大於後面的數，那麼它們就稱為一個
逆序
。一個排列中
逆序
的總數就稱為這個排列的
逆序數
。
從前往後數就行了，看第一個數有幾個，第二個數有幾個……
改變排列中兩個數的位置，逆序數的奇偶性改變。
行列式的性質
若行列式不等於0，矩陣可逆。
若行列式不等於0，矩陣各列線性無關。
若行列式不等於0，矩陣的秩等於矩陣的行數（滿秩）。
若行列式不等於0，矩陣的特徵值全都不為0。推論：矩陣的特徵值之積等於矩陣的行列式，矩陣的特徵值之和等於矩陣的跡（主對角線元素之和）
若行列式不等於0，Ax=0僅有零解（僅有唯一解）。
若行列式不等於0，Ax=b僅有唯一解。
A^TA是正定矩陣。
存在一個矩陣B使得AB=E。
等價矩陣
線上性代數和矩陣論中，有兩個m×n階矩陣A和B，如果這兩個矩陣滿足B=Q‘AP（P是n×n階可逆矩陣，Q是m×m階可逆矩陣），那麼這兩個矩陣之間是等價關係。也就是說，存在可逆矩陣，A經過有限次的初等變換得到B。
行列式的性質
行列式與轉置的行列式相等。
互換行列式的兩行，行列式變號。行列式兩行相同，行列式為0。
行列式某一行可以提出一個因子到外面。
行列式兩行成比例，行列式為0。
行列式可以按行分解為兩個行列式之和。
行列式的某一行乘一個數加到另一行上，行列式不變。
代數餘子式
行列式中某個數剔除所在的行列之後的行列式，乘上這個數的-1^（下標和）
行列式的計算
上下三角矩陣的行列式等於主對角線元素乘積。
如果是副對角線的乘積前面需要乘上（-1）^（n）（n-1）/2
範德蒙德行列式：
計算的小trick
每行的和相等時， 把所有的列都加到第一列，然後第一列提出公因式，然後都減去第一行降維。
爪型行列式，如果主對角線有2個以上的0， 最後結果肯定是0。如果有一個0，按那個0的元素按行展開。如果沒有0
矩陣的跡
tr（AB） = tr（BA）
伴隨矩陣
方陣各元素的代數餘子式構成的矩陣的轉置叫做伴隨矩陣。
逆矩陣的求法
A^-1 = A* / |A| 逆矩陣等於伴隨矩陣除以行列式。
2。
用增廣矩陣去求AE = EA^-1。
3。 對角線的
矩陣冪
二項展開式
矩陣乘法
AB=C，C的列向量可以由A的列向量線性表示，C的行向量可以由B的行向量線性標示。
一個對角矩陣左乘一個矩陣，相當於對該矩陣每行乘以對角矩陣對應元素，右乘相當於對每列乘以對角矩陣對應元素。對角陣乘以對角陣相當於對角線逐個相乘。
分塊矩陣
矩陣方程的解法AX=B
使用增廣矩陣構造AB=EX。
XA=B可以先兩邊同時求轉置 變成A’X‘=B’然後用1求。
AXB=C的，求A-1CB-1
矩陣的秩
零向量是任何向量的線性組合，與任何同維的向量正交。
單個向量線性無關，零向量線性相關。
向量組的維數小於向量組的個數時，向量組必相關。
行階梯型矩陣的秩等於其非零行個數。
5。 向量組Ax=E_m有解的充要條件是r（A）=m
6。 r（A） = r（A^T） = r（A A^T）
7。 r（AB） <= min（r（A）， r（B））
8。 r（A+B） <= r（A） + r（B）
9。 max（r（A）， r（B）） <= r（A， B） <= r（A） + r（B）
線性方程組
設A為mxn矩陣，r（A）=m， r（A）=r（A， b） Ax=b一定有解，m 基礎解系的向量個數等於 = 維數 - 秩 2。 Ax=0， Bx=0的解相等，r（A） = r（B） 特徵值與特徵向量 方陣與它的轉置特徵值與特徵向量相同。 若矩陣的特徵值都不同，那麼他們的特徵向量線性無關。 特徵值相乘等於行列式， 特徵值的和等於跡。 k是A的特徵值 k^2是A^2的特徵值 5。 矩陣不可逆，特徵值至少有一個零。 6。 逆矩陣的特徵值是原特徵值的倒數。 相似矩陣 相似矩陣具有相同的秩。 相似矩陣具有相同的行列式。 相似矩陣的跡相同。 相似矩陣的特徵值相同。
