傲嬌的小宇宙之二：中子你慢慢飛

作者：由 Yanis Ding 發表于繪畫時間：2016-09-01

本篇提綱：

截面的概念及中子的“守恆”

截面隨中子能量的變化

能譜，慢化

再敘“中子守恆”

能量自屏效應與多普勒展寬

空間自屏效應與反應堆的“堆”

時間：指數增長的遊戲

上篇我們講了裂變的基本物理現象，從基礎物理的角度解釋了為什麼裂變，怎樣裂變，裂變得到了什麼。這一篇我們開始看一些與裂變相關的定量的關係，當中最重要的莫過於中子與裂變的關係了。

1，“截面”的概念及中子的“守恆”

在引入“截面（Cross Section）”的定義之前，我們先用很民科的方式來想象一下中子與原子核的反應。正如上一篇所說，原子核非常非常的小，原子核在原子裡面的相對尺寸，就好像是乒乓球在摩天大廈裡一樣。現在中子就像一顆子彈，它向大廈飛了過來，但是它能夠撞上大廈裡的一個乒乓球嗎？撞上去的機率是多少？如果我們用經典物理的眼光來看，問題其實也很簡單，我們沿著子彈飛來的方向，算一下乒乓球的橫截面積跟大廈的橫截面積的比值，就就可以知道這個機率了。這個理解或許庸俗且謬誤，但是簡單易懂。

接下來我們可以看一看截面的定義，與很多教科書的引入方法一樣，我們還是考慮一束中子流射入一塊物質當中，單位體積的中子數量為n（每立方厘米），速率為v（釐米每秒），我們定義中子流強度為I=nv。選取一塊截面積為A（平方釐米）、厚度為X（釐米）的部分來研究，並且假設這塊物質的原子密度為N（單位體積），那麼單位時間內在中子流的方向上，與原子核發生碰撞了的中子數一定正比於中子流強度I、原子密度N、面積A、厚度X，將這個比例記為σ：

單位時間碰撞次數（/s）

$=\sigma INAX$

對比一下兩邊的量綱，不難發現，這σ果然是一個面積單位。

雖然一開始我們給出的“截面”的通俗理解很粗糙，但這並不妨礙我們對截面的數量級做個估計。原子核的尺度是飛米量級，也就是

$10^{-15}$

m的數量級，對應的面積就是

$10^{-30}m^{2}$

的數量級，換個單位也就是

$10^{-26}cm^{2}$

的數量級。實際上，工程上常用的截面單位是barn，定義為

$10^{-24}cm^{2}$

。

有了截面的概念，科學家和工程師就可以定量的描述核反應發生的速率了。實際上核反應的型別很多，分類方法也很多，為了便於定量分析，對於每一種型別的反應都可以定義對應的截面，並且用下標區分。總的反應截面記為

$\sigma _{t}$

，下標是total的意思。首先把反應分成兩種，中子撞上去被吃掉了（吸收，absorb），撞上去被彈開了（scatter）：

$\sigma _{t}=\sigma _{a}+\sigma _{s}$

被吸收的這部分，可能發生的反應很多，比如吸收了後裂變（fission）了，吸收之後衰變了，衰變的有可以按照衰變放出的粒子分類為alpha，β，γ之類的：

$\sigma _{a}=\sigma _{\alpha}+\sigma _{f}+\sigma _{\beta }$

……

散射的又可以分為彈性散射（elastic）和非彈性散射（inelastic）：

$\sigma _{s}=\sigma _{e}+\sigma _{i }$

這裡討論的“截面”僅僅與核素的種類有關，與其化學形式、物質狀態無關，體現的是原子核的一種本質屬性，我們稱之為“微觀截面”。與之相對的，我們還有“宏觀截面”的概念，也很好理解：比如，同樣的一坨碳原子核，以石墨形式存在的固態，和以二氧化碳形式存在的氣態，兩者的核子密度是不一樣的，在相同的體積下，顯然密度大的那一坨會有更多的機會撞上中子。所以，我們定義核子密度乘以微觀截面，得到的數值為“宏觀截面”，從而直接的體現一坨現實世界物質與中子發生反應的機率：

$\Sigma =N\sigma$

有了這些截面的定量資料，再考慮一些“守恆”關係，那麼描述中子學的方程就呼之欲出了。相信很多理工科geek對於寫方程是很有經驗的，不管是力學還是傳熱還是流體，找到守恆定律再加上本構關係式，對物理現象的建模就算大功告成一大半了，剩下來解方程的事情就可以交給數學家了。對於中子學也是一樣，我們費盡心機引入“截面”的概念，就是為定量描述本構關係鋪平道路；而守恆的方程看起來很簡單：

中子產生=中子消失

這看起來像個廢話。稍微展開一點：

中子產生=裂變產生的中子+衰變產生的中子

中子消失=跑出研究空間的中子（可用

$\sigma _{s}$

衡量）+被吸收了的中子（用

$\sigma _{a}$

衡量）

裂變產生的中子=被吸收了的中子裡面發生了裂變的那部分（用

$\sigma _{f}$

衡量）×每次裂變產生的中子數

衰變產生的中子=被吸收的中子裡面生成的核素衰變的產物中又會衰變出的中子

……

這樣看起來似乎夠讓人頭疼了。然而這還不夠，產生中子的可裂變和易裂變核素可能同時有好幾種，吸收中子的核素更加多，散射中子的幾乎每一個核素都會有，這些方程的數量一下子就增加了好多倍；除此之外，下面我們會看到中子截面還不是一個常數。

2，截面隨中子能量的變化

不同能量的中子的反應截面是不同的，不同反應型別的截面隨能量的變化規律也不盡相同。為了敘述方便，首先把不同能量的中子命名一下。我們一般把能量較高的中子稱作“快中子”，顧名思義，中子運動速度快，能量高，一般以1MeV為界限；與之相對的，但是出乎意料的，我們一般不說“慢中子”，而是說“熱中子”，這是因為其能量與分子熱運動能量接近，大約是0。025eV，對應的中子速率大約是2200m/s，所以在很多工程類的圖表中，熱中子截面的典型值會以2200m/s速率的中子對應的截面來給出。熱中子這個分類的意義在於，中子在與介質的反覆碰撞中，理想的情況下，它應當與周圍介質處在熱平衡的狀態，能量自然是與熱運動類似了。

對於工程界來說，比較重要的截面規律有這麼幾個：

散射截面的恆定值區域

吸收截面的1/v規律

共振吸收區域

輕核的散射截面一般在低能區是常數，高能區下降，並伴有共振吸收峰。典型的比如C原子核的截面。

絕大部分核素在低能區的吸收截面都較好的服從“1/v”律，也就是與中子的速率的倒數成正比。1/v換成能量也就是

$1/\sqrt{E}$

，畫在雙對數座標下就是一條斜率為-1/2的直線。

進入中能區，則出現共振吸收的峰值區域，這一點對於重核尤其明顯，典型的可裂變核素們都會在中能區出現密密麻麻的共振吸收峰。

圖：碳的散射截面和總截面

圖：硼（B-10）的吸收截面，完美的1/v律

圖：金的吸收截面，可以看出低能區的1/v規律，中能區出現的典型的共振吸收峰

圖：U-235的總截面和散射截面，同樣是低能區的1/v律，中能區大量的共振吸收峰

看完典型的中子截面規律，再來比較一下各類可裂變核素與易裂變核素。首先對比一下鈾的兩種主要同位素，U235和U238。不難看出，在熱中子區，U235的裂變截面遠大於U238，直到快中子區，將近10MeV區域，U238才能有接近於U235的截面。所以U238這樣的貨色只配叫和可裂變，U235才能當易裂變。

再看看易裂變核素有哪些，像U235、Pu239、U233這些都是易裂變核素，但是當中只有U235是天然存在的。他們三個的裂變截面比較一下，會發現Pu239的截面更大、更容易裂變。雖然Pu239不是天然存在的，但是可以用U238透過吸收中子再衰變得到：

而U238是大量存在的天然同位素；類似的，U233也可以透過天然同位素Th232吸收中子再衰變得到。這就為我們獲取易裂變核素提供了兩套思路：

想辦法從天然鈾中分離出U235。

想辦法利用核反應將U238轉化為Pu239，化學分離出Pu；U233同理。

對於後者，還需要考慮一點火候的控制，因為在持續的中子輻照下，U238發生一系列吸收中子的反應還會生成更加重的核素，Pu240，Pu241等等。對比一下Pu三兄弟的截面，Pu239、Pu241都還是易裂變核素，但夾在中間的老二Pu240卻是個跟U238類似的貨色。所以，如果只想要易裂變核素Pu239，可千萬不能糊了鍋。

圖：U235與U238裂變截面對比

圖：三種易裂變核素裂變截面對比（U235，U233，Pu239）

圖：Pu家三兄弟裂變截面對比（Pu239~241）

3，能譜，慢化

說完中子截面與中子能量的關係，自然會想看看中子的能量分佈是個什麼情況。熟悉統計力學或者熱力學的一定知道，平衡態的理想氣體分子是服從所謂的麥克斯韋分佈的：

工科生都會把能量分佈叫做能譜。對於中子的能譜，情況要複雜一些，但我們可以先考慮兩種理想情況：

剛剛由裂變產生的中子的能量分佈

理想情況下與周邊介質處在熱平衡態的中子能量分佈

後者，理論上講，應該與麥克斯韋分佈相同；而前者，就是所謂的“裂變譜”：

圖：U235的裂變譜

裂變剛剛放出來的中子，能量是比較高的，峰值大約在1MeV。而如前所述，對於易裂變核素，其裂變截面是熱中子區比較大，自然地，我們要想辦法把裂變中子的能量降低下來。所以，我們回頭來看一看中子與物質發生散射的過程，先做一個高中物理題，兩小球碰撞：

中子的質量數是1，能量是E，動量是p，撞上靜止的某核子，其質量數為A，考慮彈性散射後，中子的能量、動量變為E‘，p’，與入射方向的夾角為θ，碰撞後的某原子核能量為

$E_{A$

，P。計算過程不表，這裡直接給結果：

我們定義E‘/E的最小值為α：

$\alpha =(\frac{A-1}{A+1} )^{2}$

顯然，撞擊的核子的質量數越小，散射過程中越容易降低中子能量，道理很簡單，乒乓球撞乒乓球，很容易互相交換能量；乒乓球撞鉛球，乒乓球近乎原速反彈。所以，比較輕一點的原子核慢化效果更好。與此相關的另一個表徵值（也是中子學計算中常用的數值）定義為平均對數能降

$\xi =\bar{\Delta u}$

，其中

$u=ln(E_{M}/E)$

，

$E_{M}$

設定為中子最大能量，略去一堆中間推導過程：

$\xi =1-\frac{(A-1)^{2}}{2A}ln\left( \frac{A+1}{A-1} \right) \simeq \frac{2}{A+2/3}$

ξ越大，代表單次散射的慢化能力越好。當然，這個指標只考慮了發生彈性散射的情況。接下來我們逐步把其它一些現象加上去。首先是核子除了散射，還會吸收中子，如果某個核素雖然核子質量小但是吸收截面大（比如，He-3，B-10），那麼在把中子能量降低的同時也把中子吸收了；另外一些核素的吸收截面小，那麼就有更多的機會來單純的執行散射的任務。考慮到散射和吸收的競爭關係，可以用

$\xi \Sigma_{s}/\Sigma_{a}$

來衡量一種物質的慢化能力好壞。因此，在這個標準下，重水是最好的慢化劑，雖然其核子質量比輕水大，但是架不住它的吸收截面小呀；石墨（也就是炭）是另一個很好的慢化劑。

4，再敘“中子守恆”

在看完了吸收截面的規律、慢化的基本概念後，我們回頭再看看中子守恆的方程。與統計力學中描述流體裡的玻爾茲曼方程類似，描述中子守恆的方程也可以寫出一個叫做輸運方程的形式，而且這個方程可以由玻爾茲曼方程匯出。典型的玻爾茲曼方程長這個樣子：

中子的輸運方程與之略有不同主要有兩點：

由於中子是電中性的，沒有電磁相互作用引起的摩擦之類的力；在渺小的人類常用的場合，引力作用也幾乎可以忽略；所以，在中子的玻爾茲曼方程裡，外力一項為零；

玻爾茲曼方程中用位置加動量構成所謂的“相空間”，寫出系統中粒子的機率密度函式f（r，p，t）；而對於中子，習慣上用的能量這個物理量並不能體現運動方向，且更關注宏觀上的中子密度，所以，引入了中子注量率這個物理量

$\phi =nv$

，而為了描述其方向性，引入空間角Ω。

這樣，中子的守恆方程（輸運方程）就寫出來了：

$\Omega \cdot \nabla\phi (r,E,\Omega)+\Sigma (r,E)\phi (r,E,\Omega)=Q (r,E,\Omega)$

當中，Ω、r描述了空間位置和方向，E描述了中子的能量，

$\phi$

是中子注量率，右邊的Q是中子源項。

上述方程的一階近似就是擴散方程的形式。為了簡化問題，我們寫下單一能量的、簡化的擴散方程：

$D \nabla^{2}\phi -\Sigma_{a}\phi +s=\frac{1}{v}\frac{\partial \phi }{\partial t}$

這個方程的右邊在描述系統中中子注量率隨時間的變化率，左邊三項分別是擴散項、吸收項、源項。對於一個鏈式反應的系統，當中源項s很顯然是由裂變決定的：

$s=\upsilon \Sigma _{f}\phi$

當中

$\upsilon$

是平均每次裂變釋放的中子數量。

當我們考慮平衡態的時候，我們知道方程的右邊為0，也就是系統的狀態不隨時間變化，此時，每次裂變產生的二點幾個中子在被吸收、擴散掉一部分之後，剛剛好還剩下一個中子會再次引起裂變。如果系統不在平衡態，而我們又希望藉助這一方程對系統進行簡化的研究的話，可以對方程做個技巧性的修改：

$D \nabla^{2}\phi - \Sigma_{a}\phi +\frac{1}{k}\upsilon \Sigma _{f}\phi =0$

略去一大段數學求解，我們直接給出關於k這個數字的含義：中子增殖係數（有時候，為了與另外一個“增殖”的概念區分開來，又稱作中子倍增係數）。這個數字表徵的是經過系統的吸收、散射和裂變後，下一時刻的中子數量與當前時刻系統中的中子數量的比值。當k=1時，我們稱系統處於臨界狀態，系統能夠平衡、穩定的維持在一個持續的鏈式反應中；當k<1時，系統是次臨界的，系統中的中子數量會越來越少；當k>1時，我們說系統是超臨界的，系統中的中子會越來越多。

關於輸運方程和擴散方程的各種數學形式、求解方法，本篇都不會再展開了，那將涉及到汗牛充棟的反應堆物理的專業書籍了。但接下來會再介紹由這些方程可以解出來的兩個重要物理現象：能量自屏和空間自屏。

天之道，損有餘而補不足。

5，能量自屏效應與多普勒展寬

前面說到，中子的吸收截面在中能區會有很多共振吸收峰，自然會想到，這些共振峰會不會吸收掉大量的中子。但其實吸收中子的數量=中子注量率×吸收截面，在吸收截面較大的能量區間，能夠進入到這一區間的中子的數量會變得較小，最終能夠被這個共振峰吸收掉的中子數量其實會受到抑制。

圖：共振峰附近的吸收截面和中子注量率隨能量變化示意圖

這樣的效應，我們稱之為能量自遮蔽效應，這個效應有個特點，共振峰越窄越明顯，此所謂：

欲速則不達。

而共振峰的寬度其實並不是一成不變的。我們描述吸收截面隨中子能量變化的規律時，並沒有說明參照系，因此沒有考慮作為靶子的原子核的運動。如果考慮了原子核的運動的話，共振峰的寬度會變寬：

這樣的效應，有點類似於雷達測速裡面的多普勒頻移，因此叫做多普勒展寬。多普勒展寬這個效應為裂變能的工程應用提供了一個非常有用的特性：負反饋。當核反應的速率加快、功率提升時，核燃料的溫度往往會隨之上升，溫度升高則共振峰展寬，從而增加了中子吸收，會引入降低核反應速率的因素，從而引入了一個負反饋。更重要的是，這一負反饋幾乎是本質性存在的，與核電廠其它的設計特徵關聯很小，簡直就是大自然的饋贈。

6，空間自屏效應與反應堆的“堆”

與能量自屏效應類似的，如果吸收截面較大的核子在空間上有一定的分佈的話，也會發生類似的自屏效應。比如，工程上典型的一種將燃料做成棒狀放在慢化劑當中的情況，由於燃料在熱中子區域的吸收截面大，那麼熱中子相對較難進入到圓柱形燃料的中心區域。

這一效應的結果是，把燃料和慢化劑做成這種離散的、柵格一樣的幾何結構，比把他們均勻的混合在一起更容易實現鏈式反應。

這裡就要插播一段關於反應堆的“堆”這個字的歷史了。1941年7月，費米用泰勒從國會要來的6000美元開始在芝加哥大學的足球場看臺下面建造世界上第一個實現鏈式反應的堆。他把石墨磚塊和二氧化鈾磚塊間隔的堆在一起，用一箇中子源來測量這個系統對中子的增殖係數，前後試驗了29次，測量了各種配比、尺寸下的資料。透過這些資料，費米做了個外推，預估只要把石墨的密度進一步提高，並且做的純一些，去除掉當中吸收中子的雜質，就可以實現一個自持的鏈式反應裝置。1942年10月，費米申請調來52噸天然鈾，1000多噸高純石墨，最終搞定了世界上首個自持的鏈式反應裝置。由於這第一裝置是石墨、天然鈾堆起來的（代號Chicago Pile-1），所以後來我國大陸就一直用“堆”這個鄉土氣息濃厚的字眼來稱呼裂變反應的裝置，哪怕英文裡已經換上了Reactor這樣的高大上的字眼。我們可以透過“堆”這個字眼，看到前輩們的創舉：利用空間自屏效應，讓毫無富集度的天然鈾也能實現自持的鏈式反應。

7，時間：指數增長的遊戲

前面的討論只關注了平衡態的情況。當中，我們為了把問題簡化為平衡態，引入了中子增值係數k：

$D \nabla^{2}\phi - \Sigma_{a}\phi +\frac{1}{k}\upsilon \Sigma _{f}\phi =0$

當k=1的時候，系統是平衡的。既然現在我們關注非平衡的情況，那就考慮k不等於1的時候。但簡化後的上面這個方程裡並沒有時間的物理量。為此，我們從另外一個角度出發，考慮一下中子從產生到發生第一次碰撞的平均時間。為了求出這個時間，我們回顧一下宏觀截面的概念。我們注意到，宏觀截面的量綱是長度的倒數。這有什麼更直觀的物理意義呢？我們仍然考慮一束中子入射物質的簡化情況，從截面的定義出發，可以寫出沿著中子入射方向上，中子流強度隨距離變化的方程：

$-dI(x)=\Sigma _{t}I(x)dx$