Note | Brown Motions

作者：由 StarValley 發表于繪畫時間：2021-05-18

內容來自清華大學張顥老師在

國科大

開設的隨機過程課程。

布朗運動

布朗運動是最終要的隨機過程之一，彙集了隨機過程中的眾多重要概念。

本節研究作為高斯過程中的一個特例，布朗運動擁有的一些性質。

1. 布朗運動的定義：

現有一隨機過程B（t）：

$1. B(0) = 0;\\ 2. 獨立增量; \\3. B(t)-B(s) \sim N(0, \sigma^2(t-s))$

則稱為布朗運動。性質1（零初值）並不本質，很容易達到這個條件。

也就是說一個獨立平穩增量過程，其平穩的增量分佈服從零均值高斯分佈。

證明布朗運動是個高斯過程:

高斯過程定義：

$\forall n, \forall t_1\leq ...\leq t_n\\ \left(B\left(t_{1}\right), \cdots, B\left(t_{n}\right)\right)^{T}=B\\ B\sim Normal Distribution$

設有：

$\tilde{B}=\left[\begin{array}{c} B\left(t_{1}\right) \\ B\left(t_{2}\right)-B\left(t_{1}\right) \\ \vdots \\ B\left(t_{n}\right)-B\left(t_{n-1}\right) \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc} 1 & & \\ -1 & 1 & \\ & ... & ... & \\ & & & -1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} B\left(t_{1}\right) \\ B\left(t_{2}\right) \\ B\left(t_{n}\right) \end{array}\right]=A B$

顯然A可逆，則有：

$B = A^{-1}\tilde{B}$

若

$\tilde{B}$

服從聯合高斯分佈，則根據

高斯分佈

的線性性質，B也屬於高斯分佈。

根據布朗運動的性質3，可知

$\tilde{B}$

各分量獨立且服從高斯分佈。則：

$f(\tilde{B})\left(x_{1}, \cdots, x_{n}\right)=\prod_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2 \pi\left(t_{k}-t_{k-1}\right)}\sigma} \exp \left(-\frac{\left(x_{k}-x_{k-1}\right)^{2}}{2 \sigma\left(t_{k}-t_{k-1}\right)}\right)$

所以，B服從高斯分佈。可知布朗運動必然屬於高斯分佈。且：

mean：

covariance：

$R_B(t,s) = E(B(t)B(s)) = \sigma^2 min(t, s)$

證明：

$假定t>s\\ \begin{aligned} E(B(t) B ( s)) &=E(( B(t)-B(s)+B(s)) B(s))\\ &=E\left((B(t)-B(s)) B(s)+B^{2}(s)\right) \\ &=E((B(t)-B(s))(B(s)-B(0)))+E\left(B^{2}(s)\right) \\ &=\sigma^{2} s \end{aligned}$

2. 幾個例子

（1）

$\widetilde{B}(t)=B(t+u)-B(u)$

，給定u，判定是否是布朗運動。

判定布朗運動：1.是否是高斯過程 2. 均值和相關函式是否為上文中的結論。

顯然是高斯過程。

$E(\tilde{B}(t)) = 0$

$\begin{aligned} E\left(\tilde{B}(t) \tilde{B}(s)\right)&=E(B(t+u)-B(u))(B(s+u)-B(u))\\ &=R_{B}(t+u, s+u)+R_{B}(u, u)-R_{B}(t+u, u)-R_{B}(s+u, u) \\ &（假設t>s>0,u>0）\\ &=\sigma^{2}(s+u)+\sigma^{2} u-\sigma^{2} u-\sigma^{2} u \\ &=\sigma^{2} s \\ E\left(\tilde{B}(t) \tilde{B}(s)\right)&=\sigma^{2} \min (t, s) \end{aligned}$

（2）

$\tilde{B}(t)=a B\left(a^{-2} t\right)$

顯然是高斯過程

$\begin{aligned} E(\tilde{B}(t)) &= 0\\ R_{\tilde{B}}(t, s)&=E(\tilde{B}(t) \tilde{B}(s))\\ &=a^{2} E\left(B\left(a^{-2} t\right)B\left({a}^{-2} s\right)\right)\\ &=a^{2} \cdot a^{-2} \sigma^{2} \min(t, s)\\ &=\sigma^{2} \min(t, s) \end{aligned}$

（3）

$\tilde{B}(t)=tB\left(\frac{1}{t}\right)$

顯然是高斯過程

$\begin{aligned} E(\tilde{B}(t)) &= 0\\ R_{\tilde{B}}(t,s) &= ts\sigma^2\min(\frac{1}{t}, \frac{1}{s})\\ &= \sigma^2\min(t,s) \end{aligned}$

3. 兩個性質

（1）反射原理

考慮隨機過程：

$\tilde{B}(t)=B (t+T)-B(T) \quad { T: Random\ Variable }$

當T限制為

$T: Stopping\ Time \rightarrow P(T=t) \propto {B(s), s\leq t }$

限制變數為停時變數，其機率分佈只與所考慮的布朗運動在時刻t之前的取值有關。

例子：布朗運動首次達到a取值的時刻

$T_a = \min\{s:B(s) = a\}$

對於隨機過程

$\tilde{B}(t)$

，如果其軌跡為下圖上面那一條，那麼必然等機率存在對稱的下面那條軌跡。因為對於

$\tilde{B}(t)$

，確定時刻T以後，後續軌跡的

隨機取值

已經與時刻T之前的軌跡無關（強馬爾科夫性）。由於

$\tilde{B}(t)$

布朗運動後續各點的取值必然服從零均值高斯分佈（零初始布朗運動），因此

在到達a水平線以後關於a對稱的兩條軌跡等機率，此為反射原理。

利用反射原理可以計算以下兩個

隨機變數

的分佈：

$T_a = \min\{s:B(s) = a\}\\ \bar{B}(t) = \max_{0\leq s\leq t} B(s)$

對於隨機變數

的分佈：

$F_{T_a}(t)=P\left(T_{a} \leqslant t\right)=P(\bar{B}(t) \geqslant a)$

機率思維

：判斷兩個事件是否等價

$A\rightarrow B, B\rightarrow A \Rightarrow A=B$

$\begin{aligned} F_{T a}(t)&=P\left(T_{a} \leqslant t\right)\\ &=P(\bar{B}(t) \geqslant a)\\ &=P(\bar{B}(t) \geqslant a, B(t) \geqslant a)+P(\bar{B}(t) \geqslant a, B(t)<a)\\ P(\bar{B}(t) \geqslant a, B(t) \geqslant a)&=P(B(t) \geqslant a) \leftarrow\{B(t)>a\} \subseteq\{\bar{B}(t) \geqslant a\}\\ F_{T a}(t)&=P(B(t) \geqslant a)+P(\bar{B}(t) \geqslant a, B(t)<a)\\ &=P(B(t) \geqslant a)+P\left(\overline{B^{*}}(t) \geqslant a, B^{*}(t) \geqslant a\right) 反射原理，\bar{B^*}(t)指達a後對稱軌跡\\ &=P(B(t) \geqslant a)+P\left(B^{*}(t) \geqslant a\right)\\ &=2 P(B(t) \geqslant a)\\ &=\frac{2}{\sqrt{2 \pi t} \sigma} \int_{a}^{\infty} \operatorname{eop}\left(-\frac{s^{2}}{2 \sigma^{2} t}\right) d s \end{aligned}$

（2）二次變差（Quadratic Variation）：

布朗運動

$B(t),E\left(B^{2}(t)\right)=\sigma^{2} t \quad B(t) \sim \sqrt{t} \text { ? }$

，B（t）和t的半階似乎有某種關係？

以下假設布朗運動的方差為1（不本質）。

將時間軸分割為若干段增量：

$0=t_{0} \leqslant t_{1} \leqslant t_{2} \leqslant \cdots \leqslant t_{n}=t . \quad B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right), k=1,2, \cdots, n\\ \sum_{k=1}^{n}\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} t$

0-t時刻內無窮項增量的平方和趨近t，意味著方差縮減為0。

證明：

$E\left(\sum_{k=1}^{n}\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(t_{k}-t_{k-1}\right)=t$

$\begin{aligned} &\operatorname{Var}\left( \sum_{k=1}^{n}\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k}-1\right)\right)^{2}\right )\\&=E\left(\sum_{k=1}^{n}\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}-t\right)^{2}\\ &=E\left(\sum_{k=1}^{n}\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}-\sum_{k=1}^{n}\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\right)^{2} \\ &=E\left(\sum_{k=1}^{n}\left(\left( B \left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}-\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\right)\right) ^{2}\\ &=\sum_{k=1}^{n} E\left(\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}-\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\right)^{2}\\&\ \ \ + \sum_{i \neq j} E\left({\left(B\left(t_{i}\right)-B\left(t_{i-1}\right)\right)^{2}-\left(t_{i}-t_{i-1}\right)}\right) {\left(\left(B\left(t_{j}\right)-B\left(t_{i-1}\right)\right)^{2}-\left(t_{i}-t_{j-1}\right)\right)}\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left( E\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{4}-2 E\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\left(B\left(t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}+\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{n}\left(3\left(E\left(B \left( t_{k}\right)-B\left(t_{k-1}\right)\right)^{2}\right)^{2}-2\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2}+\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2}\right)\\ &=\sum_{k=1}^{n} 2\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2}\\ &\frac{n \rightarrow \infty}{\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2}} 0 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{n} 2\left(t_{k}-t_{k-1}\right)^{2} & \leq 2 \max _{k}\left(t_{k}-t_{k-1}\right) \sum_{k=1}^{n}\left(t_{k}-t_{k-1}\right) \\ &=2 \max _{k }(t_k-t_{k-1}) \cdot t \\ n \rightarrow \infty& \rightarrow 0 \end{aligned}$