微波電磁場問題的解（4）-- 振子方程

概述

從前面的描述中我們看到，絕大部分微波電磁場問題的解，都轉化成振子方程形式然後求解，所以把振子和振子方程玩熟了，對相關很多問題的學習變得方便。除此之外，還有更重要的：因為振子類方程是很多領域的基本方程，所以很多問題抽取掉引數的差異，本質上都和振子描述的是類似的變化，可以用彈簧振子直觀的理解，從而讓很多問題的理解變得容易，比如損耗是什麼、噪聲是怎麼回事等、怎麼理解電介質磁導率等；這些問題可以從彈簧振子的對比分析中得到清晰的答案；我以後會介紹個人對於這些問題的理解。這兒先比較詳細的介紹振子方程，作為以後其他分析的基礎。

振子方程

傳統振子方程：

取

有：

可見取

、則

是原方程的解

這只是初始條件t=0、x=0情況的解，如果是任意相位的一般解，有：

可以用複數形式表示的原因，參見複數形式的基礎；這裡的

為複數，可以表示任意相位、任意幅度的解；所以這兒得到如下重要結論

是方程

，其中

這是個齊次微分方程，只有諧振頻率有意義，它是系統的本徵頻率；因為沒有激勵，所以幅度在這兒可以是任何值，或者說幅度不定。還需要補充說明的重要一點是，按一元二次微分方程來說，這個解隱含了

即（

），經常把這一項取做某一個數的平方）的條件，我們研究的大部分問題，是欠阻尼的振盪情況。

重新把這個方程和解寫為更通用的形式，以便後面套用

；通解：

這兒通解的指數項前面加個正負號，因為它們都是原方程的解，只是差了個相位；但對振子方程來說，是研究的振子隨時間的變化，時間是單方向的，所以只能是正號，後面研究空間問題的時候就會發現，可以是正也可以是負。

受迫振動

如果振子還受到一個額外的力有：

外力可以是各種各樣，假設最簡單的情況：

設想振子將在外力的作用下和外力同步運動，所以有特解：

這裡是指穩態的情況，外力足夠強、作用時間夠長，振子總是可以以外力的頻率振盪，所以這樣假設是合理的。其實這個力要把在此之前的運動先停止，所以瞬態情況需要考慮齊次的響應。還有，如果外力比較弱、不足以讓振子按它的方式運動會怎樣呢？照著這個思路往下考慮就是噪聲問題；這個問題以後討論。

帶入方程有：

得到：

則方程的解為：

這

就是受迫振動的解，有意義的事係數C，很多振子的特性，以及具有振子形式的系統的特性，都從這個係數表達始終可以得到；比如：從C表示式中可見，當外加頻率大於固有頻率時，C為負值，意味著振子運動方向和作用力方向不同步，其實是超前，只用這個就可以解釋“超材料”負折射率的相位問題，因為構成材料的每個原子，可以粗略的看做一個振子；且很多材料的電磁特性，也可以由此得到；這個後面在介紹。

這個只是穩態解，或者說是非齊次方程的特解。

用複數再重複處理一遍，之所以要在這重複下，是讓大家看看複數處理的好處。書上有時候用複數、有時候用正弦表示，只是根據編者的習慣不同，初學者容易分不清當成不同的東西，有時候會因此造成困擾。

複數處理方法：

設外力為：

這裡把前面的力：

寫作

，其實是取

的實部；實際的力不可能是複數，之所以這樣處理是為了數學上的計算方便，因為複數相等的時候實數和虛數是分別相等的，只取實數部分就可以還原原來的方程。

同時取

，頻率取一樣是出於同前面一樣的考慮，同時包含一個初始相位，意味著它是滿足任何初始條件的通解。同樣把力和位移x的表示式帶入受迫振動方程：

，從而有

可見，得到和前面的方法一樣的結果，因為有

是實數，所以

和

幅角相同。這種方法是不是看起來更直觀？特別是能把幅度和相位明確的分出來，知道哪些是為了處理幅度問、哪些是為了處理相位問題。

這兒可以看出來，受迫振動（無耗）的響應形式，是和外加激勵一樣的，只需要求出相應的幅度而已。而幅度不僅僅和外力相關，還和振子的質量m，以及振子的諧振頻率

和激勵的頻率

相關。從這個式子中也可以明白諧振是啥情況了吧，上式中分母趨近0，振幅趨於無窮大。

阻尼振子

：

實際的系統都是有損耗的，如果有損耗的受迫振動會是啥樣呢？處理方法完全一樣

阻尼力和速度成正比（為啥成正比？損耗的來源部分有解釋）

其中r是阻尼係數

此時振子方程的表示式比受迫振動多一個損耗項：

方程中第二項是損耗項，想一想為啥損耗的表示式是這樣？我沒有從教課書上找到物理層面的解釋，但是我可以從彈簧振子的工作原理給出非常物理的解釋，這一點等我講噪聲、損耗和熱的時候再講。我們先繼續：

設外力

激勵下、響應

帶入上面方程：

得到：

因為分母是複數，有一個相位角，所以響應落後激勵一個相位：

這個響應的幅度、以及落後的相位差表示式，要好好記住，後面很多問題的物理解釋，都可以從這個表示式中看出來。

頻率已經是作用力的頻率，我們要得到的只是在作用力下、系統響應的幅度，這個幅度和系統的本徵頻率有關係，這是系統本徵頻率的意義；任何系統，從齊次到非齊次時，我們要得到的都是響應的幅度，而解的形式已經由非齊次、或者說系統自身的特性決定了。同時，系統的損耗，也只改變響應的幅度，不影響響應的方式。激勵、或者說作用力，影響響應的幅度和頻率，但是也不改變響應的方式；最終響應依然是

這種形式。

從二階微分方程的解我們知道（參見數學基礎相關部分），這種形式的解，是在

情況下的解，即這兒隱含了這個判定；因為這種情況，即欠阻尼的振盪狀態，是我們大多數情況要處理的，或者說，我們這兒主要是處理振動、波動等振盪狀態的，所以我們先看這種情況，但是我們要知道這兒是隱含了這個前提條件的。在振盪和波的部分，我們專門討論振子在各種情況下的解。

這兒提兩個問題：第一，這個方程的第一項是加速度對應的慣性力、第三項是位移對應的彈簧拉力；第二項損耗是和速度對應的；為什麼損耗對應的事速度而不是其他？這個問題也可以用振子的基本工作原理來解釋，我後面談噪聲的時候專門說這個問題。

第二個問題，沒有損耗的時候，響應幅度要麼是0、要麼是180度；而由損耗的情況響應幅度會是中間某個值；從物理上理解為什麼這樣？這個相位可以很好的解釋超材料的問題。同時，光學中的半波損失和這個有關係嗎（半波損失等於差180度）？

討論：

到損耗的受迫振動，是全振子方程，它的解的每一個細節，都對後面問題的分析有很大幫助；我們這兒把這個方程的響應拿出來再做一點討論：

響應：

如果只看響應幅度和激勵的關係：

當

時，

，或者寫成

，就是單純外力把彈簧拉到和外力平衡的位置。

當

時，

，意味著彈簧沒有任何伸縮，因為彈簧的響應跟不上外力的變化。

在

時振幅有最大值 ：

最大振幅的頻率點可以透過振幅對頻率求導取零得到；它其實是帶損耗時的實際諧振頻率。此時最大拉伸比靜止時的Q倍還略大。可見，振幅的最大值是隨頻率變化的，在略小於諧振頻率點最大。

振子的能量

由基本的振子方程：

，這兒把k換成了

想要知道外力每秒鐘做的功，即功率，有：

，

顯然，方括號中的兩項，分別是振子的動能和彈簧的儲能，這對應著儲能。我們知道，振子的動能和勢能的和是個常數，所以這兩項的和對時間求導為零。

所以有：

，

其中：

、

就是說，外力做的功最終全部被阻尼項吸收、或者說外力的功率只和損耗項有關；這和實際情況相符。

儲能項：

，

前一項顯然是振子的動能、後一項是彈簧的勢能。總的儲能，等於勢能和動能的和；穩態情況下，儲能只是在動能和勢能間轉化，所以可以取儲能或者勢能任意一個的最大值即可，也可以取兩者在一個週期內的平均。

如果取一個週期內動能和勢能的平均值：考慮到x和x的二次倒數都是複數，按我們複數部分介紹的平方的方法得到：

，

Q值定義為，

乘以總儲能，除以每週期做的功，即：

這樣儲能項比上損耗項，就是系統的Q值：

；

在諧振點有：

；

這一部分內容先記住結論，後面遇到相關問題的時候會很有用。

另一種方式看功率

上面已經推導了功率的表示式，這兒用另一種方式看一眼，會有其他一些視角和理解：

設外力：：

、

對應的響應為：

振子的瞬時速度：：

功率為：

一個週期做功為：

可見最終的做功取決於響應和激勵之間的相差，相差90度的時候，一週期做功最多；意味著只要外力和振子的響應之間非正交，就有做功；當響應和激勵之間達到正交的時候，振子不在吸收外力的做功，維持平衡狀態。我前面說過，我們推匯出來的公式中，振子響應和外力的相差公式非常重要，後面很多物理過程的分析中都會用到。

至此，振子和振子方程本身的討論告一段落；我們講的是微波電磁場問題的解，為什麼要花這麼大力氣講彈簧振子的方程？我們把傳輸線方程（下節細講）、LC諧振電路的方程放到一起看，除去符號的差異完全一樣；電磁場因為是三維的，形式上有時候看起來有點差異，其實物理過程是一樣的。這給我們方法論上的啟示是：用力學的方法思考、用電學的方法處理，很多時候會讓物理過程的理解變得簡單；因為力學很多時候比較直觀。其實材料的分析（我後面會講材料電磁引數的物理意義）等一系列問題，都可以藉助振子這個基本模型來理解；這些後續慢慢討論。

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