請問這樣的數學證明意義在哪裡呢?

其實說白了就是嚴密性的問題

人家Weierstrass搞出ε-N語言和ε-δ語言，就是為了消除之前“某某變數無限趨向於某某數”這種類似“運動”的在數學上含糊不清的、沒有嚴格定義的概念

關於ε語言的好處，你可見我這個回答：

明明現在用的微積分符號都是萊布尼茨發明的，為什麼都說牛頓更偉大？

簡單來說，牛頓、萊布尼茨他們創立的微積分，其基礎——極限的嚴密性一直受到懷疑，質疑者甚至包括馬克思

許多後世的數學家試圖將極限嚴密化

麥克勞林

（Colin Maclaurin，1698年——1746年，蘇格蘭數學家）試圖從瞬時速度方面解釋，

泰勒

（Brook Taylor，1685年——1731年，英國數學家）則試圖用差分法解釋，顯然路子都不對

達朗貝爾

（Jean le Rond d‘Alembert，1717年——1783年，法國數學家、物理學家、天文學家）將微積分的基礎歸為極限，並將極限解釋為“一個變數趨近於一個固定量，趨近的程度小於任何給定的量”，這已經有用ε-語言描繪極限的影子了

之後，

波爾查諾

（Bernard Bolzano，1781年——1848年，波西米亞數學家、邏輯學家、哲學家）、

阿貝爾

（Niels Henrik Abel，1802年——1829年，挪威數學家）、

柯西

等人是真正開始把分析學嚴密化的

柯西

（Augustin-Louis Cauchy，1789年——1857年，法國數學家、物理學家）這麼定義極限：“若代表某變數的一串數值無限地趨向於某一數值，其差可以任意小，則該固定值稱為這一串數值的極限”，並把導數定義為

的極限，把定積分定義為一個和式極限

離最後一步真正的嚴密化，就差一點點了

德國數學家

魏爾斯特拉斯

（Karl Weierstrass，1815年——1897年）邁出了最後一步，他反對“變數無限地趨向於某一數值”這一類籠統的說法，他認為應該將極限描述成變數

在區間

取值時，

在區間

上取值，而這個正數

可以任意小

這樣，最終得到現在通用的邏輯嚴密的函式極限的ε-δ定義：

數列極限的ε-N定義，以及其他形式的函式、數列極限與之類似，這裡不一一列舉

數學中另有其他的嚴密方法描述、定義極限，比如拓撲學中可以用濾子基的語言定義極限，但這顯然比ε語言更復雜，更不適合初學者

不過得承認，對於微積分的初學者，尤其是非數學專業的，確實不應該一上來就用ε語言定義極限，完全可以先講微積分的主要內容，等你對微積分有個大概的瞭解後，再講ε語言

龔昇老師的《簡明微積分》就是這麼安排的：

寫得非常好