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相對論質能方程 E＝mc² 和非相對論動能公式 E＝(12)mv² 相比，少了的 12 去哪了？

作者：由 Agkite 發表于遊戲時間：2021-04-24

TravorLZH2021-04-24 23:58:52

根據二項式定理，可知當|z|<1時：

${1\over\sqrt{1+z}}=\sum_{r=0}^\infty\binom{-1/2}rz^r=1-\frac z2+\mathcal O(z^2)$

因此當|v|

$E={m_0c^2\over\sqrt{1-{v^2\over c^2}}}=m_0c^2+\frac12m_0v^2+\mathcal O\left(v^4\over c^4\right)$

Luessiaw2021-04-25 00:48:57

是相對論下物質對應的

總能量

，

$E_k=\frac12mv^2$

是非相對論近似下

物體的動能

。兩者描述不同的物理性質。

根據狹義相對論，物體的動能等於總能量減去靜能，即

$E_k=mc^2-m_0c^2=m_0c^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-1\right).$

取非相對論近似

$v\ll c$

，則上式退化為

$E_k=\frac12m_0v^2$

。

這個

$\frac12mv^2$

實際上是總能量

泰勒展開的二階項，遠小於第一項

，也就是靜能。所以在非相對論情形下，在非核過程中討論物體的總能量和靜能往往沒有太多意義，只關心動能就可以了。

題主問這樣的問題可能是對兩個公式有所誤解。

在質能方程裡代表動質量，而在動能公式裡代表靜質量；動能公式裡的

代表物體的速度，質能方程裡的

卻與物體的速度無關，僅僅是一個比例係數。（比如，在幾何單位制中，取

）

知乎使用者2021-04-25 12:03:30

這兩個不是一樣東西，一個是靜能一個是動能

Albert Wang2021-04-25 20:47:01

物體速度為0時

$m=m_{0}$

，稱

$m_{0}$

為質點的

靜質量

。相應地稱

為

動質量

。即有

$E=mc^2=\frac{m_{0}c^2}{\sqrt{1-u^2/c^2}}$

將質點（物體）速度為0時能量記為

$E_{0}=m_{0}c^2$

，稱為靜能。

於是將質點動能記為

$E_{k}=E-E_{0}=(\frac{1}{\sqrt{1-u^2/c^2}}-1)m_{0}c^2$

質點運動速度

$u\ll c$

時，應用泰勒展開，可近似為

$E_{k}=\frac{1}{2}m_{0}u^2$

茶涼涼涼涼2021-05-05 01:35:57

一個粒子的能量定義為

$\mathscr E:=\boldsymbol p\cdot \boldsymbol v-L$

（對於系統當然是

$\sum_i\dot q_i{\partial L\over \partial \dot q_i}-L$

其中

是拉格朗日函式，它令

$S=\int_{t_1}^{t_2}L\text dt$

的變分

$\delta S=0$

一通計算猛如虎，結果非常amazing。。。

對於粒子，

$L=-m c^2\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}$

動量

$\boldsymbol p={\partial L\over\partial \boldsymbol v }={m\boldsymbol v\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}$

所以

$\mathscr E={mc^2\over \sqrt{1-{v^2\over c^2}}}$

時粒子有

靜能

$\mathscr E=mc^2$

當速度很小的情況下，展開

$\mathscr E$

的表示式

$\large \mathscr E\approx m c^2+{mv^2\over 2}\\$

不去理會靜能，剩下的就是

動能

${mv^2\over 2}$

標簽：靜能動能物體相對論能量

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